专题2.14 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.14 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 模型1:角平分线+平行线→等腰三角形 模型2:角平分线+垂线→等腰三角形 模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 模型5:等边三角形中含定角问题 模型6:等边三角形中含“手拉手” 模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形 模型8:倍长中线构造等腰三角形 题型目录 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3 【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................4 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形..............5 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形..............6 【题型5】等边三角形中含定角问题.......................................7 【题型6】等边三角形中含“手拉手”.....................................8 【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形..................................9 【题型8】倍长中线构造等腰三角形.......................................9 【题型9】拓展延伸.....................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，分别是和的平分线，且，，则的周长是 ． 【变式1】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【变式2】（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则 ． 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形 【例2】（23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，中，，点在线段上，，，若，则（　　） A．7 B． C．6 D． 【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，在中，是的一条角平分线，交于点，过点，作，交于点，交于点，，且，则 ． 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 【例3】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分交于点，平分的外角交的延长线于点，，，，则 ， ．    【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，点在上，且，，则的度数是 ． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，于点，，，则的长为 ．    【变式3】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，某轮船以20海里时的速度自西向东航行，在处测得有一小岛在北偏东的方向上，航行了2小时到达处，该小岛在北偏东的方向上，则轮船在处时与小岛的距离是 海里． 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例4】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，等腰中，，于点，的平分线分别交、于、两点，于点，连接、．下列结论：①；②为等腰三角形；③为等腰直角三角形；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（22-23八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（  ）    A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【题型5】等边三角形中含定角问题 【例5】（23-24七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考： （2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（    ）． A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定 【变式2】（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，点E，F是等边的边，上的动点，且，连接与交于点G． （1） ；（填“全等于”或“不全等于”） （2）的度数是 °． 【题型6】等边三角形中含“手拉手” 【例6】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点． (1)； (2)； (3)求的度数． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）等边，点D是直线上一点，以为边在的右侧作等边，连接．   (1)如图1，若点D在线段上，求证：； (2)如图2，若点D在的延长线上，线段，，的数量有怎样的数量关系？请加以证明． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，等边中，点为线段上一动点，为边作等边（、、顺时针排列）．将沿对称得到，若，，则 （用含，的式子表示）．    【题型7】倍半角→等腰三角形 【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点． (1)已知，求证：． 下面是两位同学分享的思路： 小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证． 小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形． 请你选择一种思路，完成证明 (2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）． 【变式】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，平分交于，，，于，则 ． 【题型8】倍长中线构造等腰三角形 【例8】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图在四边形中，是的中点，连接，平分，，，则线段的长为 ． 【变式1】（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，为中边上的中线，平分交边于点E，且，若，则线段的长为 ． 第三部分【拓展延伸】 【题型9】拓展延伸 【例1】（（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ①；②； ③点到各边的距离都相等； ④设，，则. 其中正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.14 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 模型1:角平分线+平行线→等腰三角形 模型2:角平分线+垂线→等腰三角形 模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 模型5:等边三角形中含定角问题 模型6:等边三角形中含“手拉手” 模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形 模型8:倍长中线构造等腰三角形 题型目录 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3 【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................5 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形..............8 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形.............13 【题型5】等边三角形中含定角问题......................................16 【题型6】等边三角形中含“手拉手”....................................19 【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形.................................23 【题型8】倍长中线构造等腰三角形......................................26 【题型9】拓展延伸....................................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，分别是和的平分线，且，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由题意易得和都是等腰三角形，然后由三角形周长公式及等量代换进行求解即可． 解： ，分别是和的角平分线， ， ，， ， ， 同理可得， ， ； 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 由平行线的性质、角平分线的性质推知, 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案. 解：∵, ∴， ∵平分, ∴, ∴, ∴， 同理可得: , ∴. 故选:A. 【变式2】（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明得到，然后计算即可． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形 【例2】（23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，中，，点在线段上，，，若，则（　　） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】过作交于，延长与的延长线交于点，由得到，则为等腰直角三角形，于是，由得到平分，根据等腰三角形性质得，即，然后根据“”证明，则，所以． 解：过作交于，延长与的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∴平分， 而， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 故选：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质，掌握判定三角形全等的方法“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的中线，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．延长，交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的中线性质可得，由此即可得． 解：如图，延长，交于点， ∵平分于点， ∴， ∴， ， ， 则的面积为， 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，在中，是的一条角平分线，交于点，过点，作，交于点，交于点，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意判定，从而得到，即可求解； 解：， ， 是的一条角平分线， ， 在和中， ， ， 故答案为： 【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形 【例3】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分交于点，平分的外角交的延长线于点，，，，则 ， ．    【答案】 【分析】①延长线段到，使，证，进而得到结果； ②在射线上找一点，使，证，再利用三角形内角和定理的推论证出，从而得到结果． 解：①延长线段到，使，    ， 平分， ，， 故答案为：； ②在射线上找一点，使，    平分， ， ，， ，， ， 平分， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，点在上，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，通过线段相等得到角相等，再根据三角形内角和为即可求解，根据题意明确各角之间的关系是解答本题的关键． 解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中， 即， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，于点，，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】在上取一点，使，由可得，则，从而得出，再根据三角形外角的定义与性质推出，从而得到，再求出的长，即可得到答案． 解：如图，在上取一点，使， ，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【变式3】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，某轮船以20海里时的速度自西向东航行，在处测得有一小岛在北偏东的方向上，航行了2小时到达处，该小岛在北偏东的方向上，则轮船在处时与小岛的距离是 海里． 【答案】40 【分析】首先根据题意可得的度数为，的度数为，由三角形的内角和定理可得的度数；利用等腰三角形的性质可得，易得结果． 解：， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， （海里） 处时与小岛的距离为40海里． 故答案为：40． 【点拨】本题主要考查了与方向角有关的计算，等腰三角形的性质，证得为等腰三角形是解答此题的关键． 【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例4】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形． 证明：在中，， ， 是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ，即， ， 是等腰三角形． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，等腰中，，于点，的平分线分别交、于、两点，于点，连接、．下列结论：①；②为等腰三角形；③为等腰直角三角形；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质即可判断①正确； ②证明，得出，，证明，得出，即可判断②正确； ③证明，得出，证明，，，，即可判断③正确； ④证明，得出，即可判断④正确． 解：平分，， ，故①符合题意， ，， ， ，， ，， ∴， ， ， 是等腰三角形，故②符合题意， 等腰中，，， ，， ，， 是的垂直平分线， ，且，， ， ， ∴， ，， ， ，且， 是等腰直角三角形，故③符合题意， ，，， ， ，故④符合题意； 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式2】（22-23八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（  ）    A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质、等腰三角形的判定可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断． 解：是中线得到， ，故①正确； ，是高， ∴， ， 是角平分线， ， ，， ， ，故②正确； ，， ， 而， ，故③正确． 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；故选：C． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【题型5】等边三角形中含定角问题 【例5】（23-24七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考： （2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 【答案】（1）；（2）①，见解析；②的度数仍为定值，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 【解决问题】由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解； 【拓展探究】①由“”可证； ②由可得，由外角性质可求解． 解：【解决问题】是等边三角形， ，， ，，， ， ， 又， ， ； 故答案为：； 【拓展探究】解：①仍成立． 理由如下：是等边三角形， ，， ， 又， ． ②的度数仍为定值． 理由如下：由（1）知，， ， 而，，， ． 【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（    ）． A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，先证明，得到，在三角形外角性质求解即可． 解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【变式2】（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，点E，F是等边的边，上的动点，且，连接与交于点G． （1） ；（填“全等于”或“不全等于”） （2）的度数是 °． 【答案】 全等于 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角的性质，得出，，进而利用证明； （2）根据全等三角的的性质以及三角形的外角的性质，即可求解． 解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， 故答案为：全等于； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6】等边三角形中含“手拉手” 【例6】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点． (1)； (2)； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出，得证； （2）由，利用全等三角形的对应边相等即可得到； （3）由，利用全等三角形的对应角相等得到，而为三角形的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数． 解：（1）证明：和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ； （3）解：， ， 则 ． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）等边，点D是直线上一点，以为边在的右侧作等边，连接．   (1)如图1，若点D在线段上，求证：； (2)如图2，若点D在的延长线上，线段，，的数量有怎样的数量关系？请加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质， （1）由等边三角形的性质得，，．则有．可证明，有，利用即可证得； （2）由等边三角形的性质得，，，则有可证明，有，进一步得到即可． 解：（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，． ∴． 即． ∴． ∴； ∴， 即； （2）．理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴，，． ∴． 即． ∴． ∴； ∴， 即． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，等边中，点为线段上一动点，为边作等边（、、顺时针排列）．将沿对称得到，若，，则 （用含，的式子表示）．    【答案】/ 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质和轴对称的性质，根据题意画出图形，通过全等三角形的判定与性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．先证明，推出，得出，进而得出，由折叠性质可知，进而可得出答案． 解：如图，    ∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知， ∴． 故答案为：． 【题型7】倍半角→等腰三角形 【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点． (1)已知，求证：． 下面是两位同学分享的思路： 小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证． 小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形． 请你选择一种思路，完成证明 (2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长到，使，连接．证得等腰，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长到E，使，连接CE，证得等腰和等腰，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解． 解：（1）证明：延长到，使，连接． ∵， ∴为线段的中垂线， ∴， ∴． 在中，． 又， ∴． 在中，， ∴． ∴ ∴． 即． （2）解：延长到E，使，连接CE， ∵， ∴为线段的中垂线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 【变式】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，平分交于，，，于，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 延长交于点，根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，，，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后结合已知，可得，从而可得，进行计算即可解答． 解：延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【题型8】倍长中线构造等腰三角形 【例8】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图在四边形中，是的中点，连接，平分，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，证明，得到，，结合角平分线的定义，得到，进而得到，求出的长即可求解． 解：如图，延长、交于点， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式1】（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，为中边上的中线，平分交边于点E，且，若，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】延长至点F，使，连接，再根据证明≌，可得，，结合角平分线的定义及直角三角形的性质，然后根据等角对等边得出答案. 解：如图所示，延长至点F，使，连接． ∵，， ∴≌， ∴，. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴， 即， ∴. 故答案为：10． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，中线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 第三部分【拓展延伸】 【题型9】拓展延伸 【例1】（（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ①；②； ③点到各边的距离都相等； ④设，，则. 其中正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． ①根据角平分线的性质得到，，再由平行的性质得到，即可得出，即可得到结论； ②根据角平分线的性质以及三角形内角和定理即可证明结论； ③根据三角形内心的性质即可得到结论； ④连接，根据三角形面积公式即可得到结论． 解：和的角平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ，故①正确； 和的角平分线相交于点， ， ，故②正确； 和的角平分线相交于点， 故点是的内心， 点到各边的距离都相等，故③正确； 连接， 由于点是的内心，，， ，故④错误． 故正确有个． 故选C． 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等可判断①；延长交于点F，证明和，可得可判断②；由，，可判断③；过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，进而可判断④． 解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故①正确； 延长交于点F，    ∵平分，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③正确； 过点D作于点H，    ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$