2024-2025学年北师大版九年级数学上学期第一次月考 第1～2章：特殊的平行四边形 一元二次方程

九年级数学上学期第一次月考 范围：北师大版九上第1~2章：特殊的平行四边形+一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．对于一元二次方程，下列说法错误的是　　 A．二次项系数是2 B．一次项系数是 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】 【解析】原方程一般式为：， 二次项系数是2，一次项系数是，常数项是1，、正确，错误， 当时，，是它的一个根，正确， 故选． 2．已知菱形的面积为24，若对角线，则这个菱形的边长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【解析】由菱形的面积公式，可得另一对角线长． 因为菱形的对角线互相垂直平分， 所以菱形的两条对角线的一半分别为3和4， 根据勾股定理可得菱形的边长． 故选． 3．如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是　　 A．3 B． C． D．4 【答案】 【解析】连接，， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ， 故选． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【答案】 【解析】关于的一元二次方程有实数根， ，且△， 解得：且， 故选． 5．等腰三角形三边长分别为、、4，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为　　 A．30 B．34或30 C．36或30 D．34 【答案】 【解析】等腰三角形三边长分别为、、4， ，或、中有一个数为4． 当时，有， 解得：； 当、中有一个数为4时，有， 解得：， 当时，原方程为， 解得：，， ， 不合适． 故选． 6．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】公路、互相垂直， ， 为的中点， ， ， ，即，两点间的距离为， 故选． 7．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选． 8．关于的方程，下列解法完全正确的是　　 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，， ， ， ， 整理得， 配方得， ， ， ， 移项得， ， 或， ， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】 【解析】甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以的值错误； 丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方； 丁利用解一元二次方程因式分解法，计算正确； 故选． 9．如图，四边形是正方形，点，分别在边，上，连接，，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】如图，把△绕点逆时针旋转得到△，则△△， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 即点，，三点共线， ，， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ， 故选． 10．如图，，，和都是等边三角形，为中点，交于点，下列结论中，正确的结论有　　个． ①； ②四边形是菱形； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解析】①如图，连接， ，为中点， ， 点在的垂直平分线上， 是等边三角形， ， 点在的垂直平分线上， ，①正确； ②是等边三角形，是中点， ，， 四边形不可能是菱形，②不正确； ③是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，③正确； ④四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ，④正确； 正确的结论有3个， 故选． 二．填空题（共6小题） 11．一元二次方程有两个 　不等　实根（填“相等”或“不等” ． 【答案】不等． 【解析】， △ 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：不等． 12．已知菱形中对角线、相交于点，添加条件　或　可使菱形成为正方形． 【答案】或． 【解析】根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 13．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为 　4　． 【答案】4． 【解析】把代入一元二次方程得： ， 解得：， 原方程为：， ， 或， ，， 另一个根的值为4， 故答案为：4． 14．已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，若，则的值为 　3　． 【答案】3． 【解析】关于的一元二次方程有实数根， △，即， 整理得：， 解得：， 该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ，即， 整理得：，即， 解得：（舍去）或， 则的值为3． 故答案为：3． 15．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1； 的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当　3　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　． 【答案】3，大，6． 【解析】 ． ， ． 当时，的最大值是0． 的最大值为6． 即当时，有最大值，最大值是6．． 故答案为：3，大，6． 16．如图，菱形的边长为4，，过点作交于点，连接，为的中点，为的中点，连接和，交于点，则的长为 　　． 【答案】． 【解析】菱形的边长为4，， ，，， 为的中点，为的中点， ，是的中位线， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17．用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， △， 原方程没有实数根； （4）， ， ， ，， ，． 18．如图，已知菱形中，，，分别是，的中点，连接，．求证：四边形是矩形． 【解析】证明：四边形是菱形， ，， ， △是等边三角形， 是的中点， ，， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 19．关于的方程有实数根． （1）求解的取值范围． （2）若为正整数，求此时方程的根． 【解析】（1）关于的方程有实数根， ， ； （2），是正整数， ， 方程为：， ， ． 20．如图所示，在正方形中，点、在上，且． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形． 连接， 四边形是正方形， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 21．已知菱形的边长是5，两条对角线、交于点，且、的长分别是关于的方程的两根． （1）求的值． （2）求菱形的面积． 【解析】（1）由直角三角形的三边关系可得：，由根与系数的关系可得：，， ，整理得：，解得：或5． 又△， ， 解得， ． （2）将的值代入方程得；． 解得，． 菱形的面积． 22．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为和，且满足，求的值． 【解析】（1）证明：△， 无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得，， ， ， 即， 解得：，， 的值为：1或． 23．如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件 　①②③　（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 【解析】（1）解：使得四边形是菱形的条件为①②③， 故答案为：①②③； （2）证明：， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ①四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形； ②四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形； ③四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形． 24．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外）？ 答：　四边形是平行四边形　；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【解析】（1）四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； （2）如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 25．阅读下列材料，并解答问题： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为：，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 　③　；（从序号①②③中选择） （2）请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据）写出解答过程； （3）构图序号①对应的方程是 　　． 【解析】（1）将方程变形得：， ， 需构造长比宽大4的四个小矩形且每个矩形的面积为21个平方单位． 对于①，长比宽大1，不符合题意；对于②，每个矩形的面积为个平方单位，不符合题意；对于③，长比宽大4且每个矩形的面积为21个平方单位，符合题意． 故答案为：③． （2）将方程变形为：，于是可构造如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是， 其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 所以大正方形的面积又可表示为， 进一步可知大正方形的边长为8， 所以， 解得． （3）构图序号①中，每个矩形的长与宽相差1个长度单位，如设长为个长度单位，则宽为个长度单位；如设宽为个长度单位，则长为个长度单位，每个矩形的面积为个平方单位． 构图序号①对应的方程是：或． 故答案为：或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期第一次月考 范围：北师大版九上第1~2章：特殊的平行四边形+一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．对于一元二次方程，下列说法错误的是　　 A．二次项系数是2 B．一次项系数是 C．常数项是1 D．是它的一个根 2．已知菱形的面积为24，若对角线，则这个菱形的边长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是　　 A．3 B． C． D．4 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．且 5．等腰三角形三边长分别为、、4，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为　　 A．30 B．34或30 C．36或30 D．34 6．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为　　 A． B． C． D． 7．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 8．关于的方程，下列解法完全正确的是　　 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，， ， ， ， 整理得， 配方得， ， ， ， 移项得， ， 或， ， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．如图，四边形是正方形，点，分别在边，上，连接，，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．如图，，，和都是等边三角形，为中点，交于点，下列结论中，正确的结论有　　个． ①； ②四边形是菱形； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．一元二次方程有两个 　 　实根（填“相等”或“不等” ． 12．已知菱形中对角线、相交于点，添加条件　 　可使菱形成为正方形． 13．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为 　 　． 14．已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，若，则的值为 　 　． 15．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1； 的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当　 　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　 　． 16．如图，菱形的边长为4，，过点作交于点，连接，为的中点，为的中点，连接和，交于点，则的长为 　 　． 三．解答题（共9小题） 17．用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．如图，已知菱形中，，，分别是，的中点，连接，．求证：四边形是矩形． 19．关于的方程有实数根． （1）求解的取值范围． （2）若为正整数，求此时方程的根． 20．如图所示，在正方形中，点、在上，且． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 21．已知菱形的边长是5，两条对角线、交于点，且、的长分别是关于的方程的两根． （1）求的值． （2）求菱形的面积． 22．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为和，且满足，求的值． 23．如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件 　 　（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 24．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外）？ 答：　 　；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 25．阅读下列材料，并解答问题： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为：，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 　 　；（从序号①②③中选择） （2）请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据）写出解答过程； （3）构图序号①对应的方程是 　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$