基本初等函数图象及性质（指对幂函数和二次函数）讲义-2025届高三数学一轮复习

常见基本初等函数图象及性质 1、 【考点聚焦】 · 常见的基本初等函数： 一次函数： 函数 图象 性质 经过象限 变化规律 （为常数且） 　 过一二三象限　 图象左低右高， 随增大而增大　 （正比例函数） 过一三象限　 　 过一三四象限 过一二四象限 图象左高右低， 随增大而减小　 （正比例函数） 过二四象限　 过二三四象限　 反比例函数： 函数 图象 性质 过一三象限 在每个象限内， 随增大而减小 过二四象限 在每个象限内， 随增大而增大 二次函数： 图象 性质 函数 关于对称； 时有最小值 时，单调递减； 时，单调递增. 关于对称； 时有最大值 时，单调递增； 时，单调递减. 指数函数： 函数 图象 性质 时，； 时，； 在R上单调递增 时，； 时，； 在R上单调递减 对数函数： 函数 图象 性质 时，；时，； 在上单调递增 时，；时，； 在上单调递减 幂函数： 函数 图象 性质 在R上单调递增；奇函数，图象关于原点对称. 在单调递减；单调递增； 偶函数，图象关于轴对称. 在R上单调递增；奇函数，图象关于原点对称. 在单调递增； 在和单调递减；奇函数，图象关于原点对称. · 函数图象的变换： （1） 平移变换：左加右减，上加下减. （2） 伸缩变换： ①． ②． （3） 对称变换： ①． ②． ③． ④． （4） 翻折变换： ①． ②． · 判断函数零点个数的方法： （1）利用零点存在性定理判断法． （2）代数法：求方程的实数根． （3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 2、 【典例分析】 · 二次函数和幂函数 考点一 幂函数图象及性质 幂函数的定义和概念： 例1-1.已知幂函数在上单调递减，则实数 . 例1-2.已知为幂函数，则（ ） A.在上单调递增 B.在单调递减 C.在单调递增 D.在单调递减 幂函数的图象和性质： 例2-1（2023临沂）如图所示是函数的图象，则（ ） A.是奇数，且 B.偶数，是奇数，且 C.是偶数，是奇数，且 D.是奇数，且 例2-2(2023无锡)“”是“幂函数在上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-3（2023长春）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________. 【变式练习】 1.已知幂函数的图象过点，则（ ） 2.已知，则（ ） 3.（多选）下列说法正确的是（ ） A.若幂函数的图象经过点，则其解析式为 B.若函数，则在区间上单调递减 C.幂函数的图象始终经过点和 D.若幂函数的图象关于轴对称，则 考点二 二次函数图象及性质 二次函数的图象及性质 例1-1（2024江西）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A B C D 例1-2（2023银川）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 例1-3（2023兰州）函数的单调递增区间是（ ） A.和 B.和 C.和 D.和 【变式练习】 1.（2023江苏）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） 2.（2024榆林）已知函数，实数满足，则下列关系一定成立的是（ ） 二次方程根的分布情况 例2-1关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ） 例2-2关于的方程的一根在区间内，一根在区间内，则的取值范围是（ ） 【变式练习】 1.关于的方程有两个实数根，且，那么的值为（ ） 2.设为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） 二次函数在闭区间上的最值问题 例3-1（2023镇江）函数在区间是的值域为，则的取值范围是 . 例3-2已知函数. （1） 当时，解关于的不等式； （2） 函数在上的最大值为，最小值是，求实数和的值. 二次函数综合题： 例4-1给定函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ） 例4-2（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值． 【变式练习】 1.已知，且是方程的两根，则的大小关系是（ ） 2.（多选）（2024江西吉安）已知函数，关于的结论正确的是（ ） A.的定义域为R B.的值域为 C.若，则的值是 D.的解集为 3.（2024重庆渝北）已知在R上是单调递减的一次函数，且. （1）求； （2）求函数在上的最小值 4.（2023河北保定）已知函数， (1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； (2)当时，记函数的最大值为，求的最小值． · 指数函数 指数和指数运算 例1-1计算：＝________. 例1-2下列结论中，正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D. 与指数相关的方程和不等式 例2-1若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ） 例2-2（2023·上海）不等式的解集为______． 例2-3不等式的解集为___________. 指数函数图象及性质 例3-1（多选）（2023合肥）已知，函数的图象可能是（ ） A B C D 例3-2（多选）若函数是R上的增函数，则实数的值可以是（ ） 例3-3（多选题）（2023山东聊城）已知函数，则（    ） A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 例3-4（多选）已知函数的图象不经过第三象限，则的取值范围可能为（ ） 例3-5(多选)(2023·重庆模拟)已知函数，则下列结论正确的是(　　) A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 指数函数综合题 例4-1已知函数是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．m＝ B．函数在R上的最大值为 C．函数是减函数 D．存在实数n，使得关于x的方程有两个不相等的实数根 例4-2正实数满足，则的最小值为________． 例4-3已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围． 例4-4已知函数(为常数，且)是奇函数． （1）求的值； （2）若，都有成立，求实数的取值范围． 【变式练习】 1.（多选）函数的图象可能为（   ） A B C D 2.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(　　) 3.若，且满足，则（ ） 4.（多选）已知函数，实数满足，则（ ） ，使得 5.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . · 对数函数 对数运算 例1-1计算： . 例1-2若，则 . 例1-3恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到），可得的值为（ ） 2 3 7 11 13 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114 对数方程和对数不等式等 例2-1方程的解集为 . 例2-2方程的解为 . 例2-3（2024广东潮州）已知不等式的解集为，若函数，则 . 对数函数图象及性质 例3-1函数的大致图象是（ ） A B C D 例3-2（2024浙江）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） 例3-3（2024河北）已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ） 例3-4（多选题）（2023湖北黄冈）已知，则以下结论正确的是（    ） 例3-5已知，且. （1） 求的值及的定义域； （2） 求在的值域. 例3-6（2023全国高三专题练习）已知函数. （1）若，求a的值； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【变式练习】 1.已知，则（ ） 当时，的最小值为 2.（2024山西长治）函数的单调递减区间是 . 3.（2024黄冈）已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 对数函数综合题 例4-1设，则的大小关系是（ ） 例4-2已知正实数满足，则（ ） 可能构成等比数列 关于的方程有且只有一组解 例4-3已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） 例4-4已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 例4-5（2024黑龙江）已知函数. （1） 判断并证明函数的奇偶性； （2） 若，求函数的值域； （3） 是否存在实数，使得函数在区间上的值域为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.已知，则（ ） 2.已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 3、 【课后习题】 1.(2023潍坊模拟)“关于x的方程没有实数解”的一个必要不充分条件是(　　) A．a≤ B．a>1 C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1 2.(2024辽源模拟)已知函数，若，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 3.（多选）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A.函数是偶函数 B.方程有两个解 C.函数有4个单调区间 D.函数最大值为，最小值为 4.(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有(　　) A．存在实数k，使得方程无实根 B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 5.(2023银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 6.（2023浙江）已知函数． (1)当时，解方程； (2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$