第四讲 有理数综合 数轴类探究2024-2025学年苏科版数学七年级上册

第四讲：有理数综合-数轴类探究 题型一：跳跃 1.在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 题型二：相遇类 2.已知，如图，A、B、C分别为数轴上的三个点，A点对应的数为60，B点在A点的左侧，并且与A点的距离为30，C点在B点左侧，C点到距离是B点到A点距离的4倍． （1）求出数轴上B点对应的数及AC的距离． （2）点P从A点出发，以3单位/秒的速度项终点C运动，运动时间为t秒． ①点P点在AB之间运动时，则BP=_______．（用含t的代数式表示）； ②P点在A点向C点运动过程中，何时P、A、B三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t． ③当P点运动到B点时，另一点Q以5单位/秒速度从A点出发，也向C点运动，点Q到达C点后立即原速返回到A点，那么Q点在往返过程中与P点相遇几次？直接写出相遇是P点在数轴上对应的数． 3.已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣24、﹣10、10，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题． （1）当点P运动10秒时，PA＝　 　，PB＝　 　，PC＝　 　； （2）当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA＝　____ 　， PB＝　_____ 　，PC＝　_____　； （3）经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ （4）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由． 4.【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为： ①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离________， A、B两点的中点M表示的数为________； （2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． （3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________． （4）按上述方式运动， A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度． 题型三：中点类 5.已知数轴上有A、B、C三点分别表示数-24，-10,10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为2个单位秒，乙的速度为3个单位秒． （1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （2）问多少秒后甲到A、B、C三点的距离之和为46个单位？若此时甲调头往回走，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能求出相遇点，若不能请说明理由． （3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁，Q表示乙蚂蚁）分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的倍，乙的速度不变时，写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所在连线段的中点． 6.【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 题型四：和倍差类 7.如图，A，B（A在B的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为﹣4，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P，Q的运动过程中，M，N始终为AP，BQ的中点，设运动时间为t（t0）秒． （1）当P，Q重合时，求t的值； （2）当MN=AB时，求t的值； （3）当AP=2AB时，点P，Q停止运动，此时点M，N也随之停止运动，将线段MN沿数轴以每秒2个单位长度的速度滑动，从此刻开始，经过t秒后满足时，求t的值． 8.在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且|a+6|+|b﹣10|＝0，记AB＝|a﹣b|． （1）求AB的值； （2）如图，点P、Q分别从点A、B出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动．速度是每秒3个单位长度．经过多少秒，点C与点P、Q的距离相等； （3）在（2）的条件下，点M从对应﹣8的点出发沿数轴向左运动，速度是每秒4个单位长度， 求MP+MC﹣3MQ的值． 9.已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”，例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A、B的“4节点”． 请根据上述规定回答下列问题： （1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝　 ． （2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为 　 　； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的一半，且此时点E为点A、B的“n节点”，求出n的值． 题型五：翻折类 10.【思考背景】数轴是数学中一个重要工具，利用数轴可以将数形完美地结合，帮助我们更直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动：如图1，数轴上的一点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点B． ①b=________（用含a的代数式表示）； ②将点A沿着数轴先向右移动（b-5a+2）个单位长度，再向左移动（1-3a）个单位长度得到点P，求 点P表示的数； ③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是__________． （2）翻折变换： ①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点E与点F恰好重合，则点与点表示的数e、f满足关系：______； ②若以表示-1的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示-987的点重合的点在数轴上表示的数是__； ③如图2，一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是-20、8，现以点P为折点，将数轴向右对折重合，若点M、N对应重合的点分别为点、，点与点N相距2个单位长度，请直接写出点P表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 题型六：定值类 11.已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为-1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．    （1）若AP=BP，求x的值； （2）若AP=3，求x的值； （3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP-AP的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 12.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． （1）分别求a，b，c的值； （2）若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； （3）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得3AC-kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型七：线段平移类 13.在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0， c＝3，d＝8． （1）求m和n的长度； （2）小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s） ①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 14.如图：在数轴上点表示数a，B点示数b，C点表示数c,b是最大的负整数，A在B左边两个单位长度处，C在B右边个单位处。 （1）a= ；b= ；c= ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_ __表示的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC，则AB=_ _，AC=_ _，BC=__ _；（用含t的代数式表示） （4）请问:5BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 题型八：新定义类 15.点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点． 例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点． 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5． （1）数 　　所表示的点是{M，N}的奇点；数 　　所表示的点是{N，M}的奇点； （2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？ 课后作业： 1.如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（   ）次移动到的点到原点的距离为20. 2.如图，点A、B、C在数轴上对应的数分别是、b、c，且b、c满足，动点P从点A出发以单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒． （1）b=____，c=____，A、C两点间的距离为____个单位； （2）①若动点P从A出发运动至点C时，求t的值； ②当P、Q两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当t=___时，P、Q两点到点B的距离相等． 3.如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA=10cm，AB=30cm，BC=20cm.点P从点O出发，沿OM方向 以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动. （1）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P，Q两点相遇？ （2）当PB=2PA时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度; （3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求的值. 4.阅读下面材料：若点在数轴上A、B分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB， 且AB=|a-b|；回答下列问题： （1）①数轴上表示和2的两点A和B之间的距离是 ___ ； ②在①的情况下，如果AB=3，那么x为 ____ ； （2）代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ． （3）若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c，a是最大的负整数，且， ①直接写出a、b、c的值． ②点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    5.已知：数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发． （1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？ （2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度． 6.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值． （3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值． 7.如图，数轴上点、表示的数分别为和3，点为原点．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点运动． 设点运动时间为秒． （1）当时，点表示的数为_________；当点与点重合时，的值为_________； （2）①在点由点向点运动的过程中，点表示数为_________（用含的代数式表示）； ②当_________时，、第一次相遇； （3）点从点返回后，当时，求点运动的时间的值； （4）若在点运动的同时，点从点以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当时，直接写出的值． 8.已知两点A、B在数轴上，，点A表示的数是a，且a与互为相反数． （1）写出点B表示的数； （2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到达点5时，运动停止．在整个运动过程中，当时，求点P、Q所表示的数； （3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当时，求动点P、Q运动的速度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$