2.3有理数的乘方复习讲义2024-2025学年 人教版（2024）数学七年级上册

2.3有理数的乘方复习讲义-数学七年级上册人教版（2024） 知识梳理 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 典例分析 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先计算乘方运算，然后有理数加减运算法则计算即可； （）用乘法的分配律进行计算即可； 本题考查了有理数的四则运算法则，乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1)21 (2)15 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 精选好题 一、单选题 1．下列运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 2．某市文旅局的统计信息显示2020年国庆假日期间本地接待游客9207000人次，该数据可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列各对数中，相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 5．若，则的值是（  ） A．1 B． C． D．无法计算 6．若，则的值是（    ） A． B．1 C．0 D．2 7．若、满足，则（  ） A． B．9 C．6 D． 8．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 二、填空题 9．下列数：，，，，0，，其中非负数有 个． 10．用科学记数法表示23041000，应记作 ， ．（精确到十分位） 11．计算： ． 12．把写成乘方形式 13．将 写成幂的形式 ． 14．已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，则的值是 ． 15．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 16．我们定义一种新运算，规定，例如：，则的值为 ． 三、解答题 17．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 19．阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法三： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 20．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）．如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生． (1)图3中表示学生所在班级序号是 ； (2)该校两校区七年级共有18个班，班级序号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级序号为18的班级．若不能，请你运用数字1，2，结合“”、“”、“”、“”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的最大班级序号． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C D B B B A 1．A 【分析】本题考查了有理数的加减乘除以及乘方运算．根据有理数的加减乘除以及乘方运算，对选项逐个计算求解即可． 【详解】解：A、，结果为正数，故A选项符合题意； B、，结果不为正数，故B选项不符合题意； C、，结果不为正数，故C选项不符合题意； D、，结果不为正数，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定，即可． 【详解】解：； 故选C 3．C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘方运算，根据绝对值的意义，有理数乘方运算法则进行计算逐项判断即可． 【详解】解：A．和不相等，故A不符合题意； B．和，故B不符合题意； C．和相等，故C符合题意； D．和不相等，故D不符合题意． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的减法运算，把代入数值转换器，判断得出结果即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：当时，， 则输出结果为：， 故选：． 5．B 【分析】本题考查有理数的加法，有理数的乘方．根据绝对值的非负性、平方的非负性解得a、b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方等知识．熟练掌握绝对值的非负性，有理数的乘方是解题的关键． 由题意得，，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】∵、满足， ∴，；，； 则． 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 9．3 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值定义，非负数的定义，解题的关键是掌握这些定义．据有理数的乘方，绝对值定义，计算后判断． 【详解】解：，，，，， 其中非负数有，0，，共计3个． 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，求近似数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据四舍五入法取近似数即可． 【详解】解：23041000用科学记数法表示为． 精确到十分位，则． 故答案为：；． 11． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】解：， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的定义，根据题意可知底数为，指数为，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查乘方，根据乘方的定义解答此题即可 【详解】解：根据乘方的定义，． 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握“互为倒数的两数的积是1”、“互为相反数的两数的和为0”是解决本题的关键. 先利用倒数、相反数的定义求出、、的值，再代入代数式计算. 【详解】解：由题意可知：，， ∴ ∴原式， 故答案为：． 15． 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数的乘方的定义化简后，再有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可. 【详解】解：，，， ，，， ， ． 故答案为：． 16． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据☆的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出1☆的值为多少即可． 【详解】解：1☆ 故答案为： 17．(1)29 (2) (3)0 (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算；掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 18．3或7 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，相反数，倒数，绝对值，根据题意得到，，，再把相应的值代入所求的式子进行运算即可； 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， ∴，，， ∴当时， 原式 ； 当时， 原式 ， 综上所述，结果为3或7． 19．(1)① (2)③； 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则，根据有理数除法的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：三种解法中得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 20．(1)9 (2)不能，改编后的新系统规则可表示的最大班级序号为31 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）根据规定了运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围． 【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： ∵， ∴不能用该系统全部识别； ∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位， 改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形， 规则不变，序号改为：， 如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1， 序号为， 第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1， 序号为， 当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1， 序号最大，为， ∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$