精品解析：沪科版2023-2024学年八年级数学下册期末考试数学试题

2023-2024学年度第二学期沪科版八年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、单选题（本大题包括12小题，每小题3分，共36分．在每小题的四个选项中，只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 3. 若，则=（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 4. 在菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是（ ） A. B. 7 C. D. 1 6. 如图，能判定四边形是平行四边形是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列化简中，正确的是（ ） A B. C. D. 8. 对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. 为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的条形统计图，则参加书法兴趣小组的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.2 D. 0.3 10. 某开发公司2023年投入的科研资金为100亿元．为扩大产品的竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2025年投入的科研资金为400亿元，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交点为E，F，连接， 与相交于点D，连接．若，则的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连结、、，若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共24分．请把答案填写在答题卡上） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 14. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 15. 化简：______． 16. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的中位数的是__________． 17. 如图，将等腰直角沿斜边方向平移得到，若，图中阴影部分面积为2，则线段的长度____________． 18. 如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为______． 三、解答题 （本大题共8个小题，共90分，请把详细解答、证明、计算过程按规定写到答题卡指定位置） 19 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在中，是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求长． 22. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值． 23. 如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 24. 某商场购进一批服装，进价为250元/件．现售价为500元/件，每天可以售出40件，经市场调查发现每降价25元，每天可以多售出20件． （1）当售价为400元/件时，求当天的销售量； （2）要使每天的利润达到17500元，并使顾客得到更多优惠，问每件服装的售价为多少元？ 25. 已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 26. 如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． （1）求菱形的面积； （2）若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； （3）若时，探究的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期沪科版八年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、单选题（本大题包括12小题，每小题3分，共36分．在每小题的四个选项中，只有一个是正确的．请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的运算，先化简，再运算4的算术平方根，即可作答． 【详解】解： 故选：B 2. 若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故选C． 3. 若，则=（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 4. 在菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的邻角互补即可得到答案． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设第三边为a，再分情况讨论即可． 【详解】解：设第三边为a， 当4为斜边时，则， 当为斜边时，则， 四个选项，符合题意是A， 故选：A． 6. 如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意； C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 7. 下列化简中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法以及除法运算，二次根式的性质，据此相关运算法则，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 8. 对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，先根据新运算的法则，列出一元二次方程，再根据判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 9. 为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的条形统计图，则参加书法兴趣小组的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.2 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率的概念和利用统计图获取信息的能力；根据条形统计图可以知道书法兴趣小组的频数，然后除以总人数即可求出加书法兴趣小组的频率． 【详解】解：根据条形统计图知道书法兴趣小组的频数为8， 参加书法兴趣小组的频率是． 故选：C． 10. 某开发公司2023年投入的科研资金为100亿元．为扩大产品的竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2025年投入的科研资金为400亿元，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，根据题意得 故选：D． 11. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交点为E，F，连接， 与相交于点D，连接．若，则的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知，为垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得出，，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得出，进而可得出，由含的直角三角形的性质可得出，由勾股定了可得出，根据三角形周长公式可得出答案． 【详解】解：由作图可知，为垂直平分线， ∴， ∴ ∵在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握这些定理是解题的关键． 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连结、、，若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据，则，根据点是的中点，证明，判断①；根据矩形的性质，证明四边形是平行四边形，结合，即可判断②；由，结合，可判断③；假设，推出与已知矛盾的结论，即可判断④． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 在矩形中，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形．故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故③正确； 若，而， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 与题干条件矛盾．故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共24分．请把答案填写在答题卡上） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是 解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解 ：由题意知，， 解得，， 故答案：． 14. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 15. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的中位数的是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，把数据排序后位于中间位置的数为中位数（若中间位置为两个数，则取它们的平均数），据此即可作答． 【详解】解：结合统计表的情况以及体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩， ∴中位数排在第位， 则， 故答案为：． 17. 如图，将等腰直角沿斜边方向平移得到，若，图中阴影部分面积为2，则线段的长度____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质．根据平移的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是等腰直角三角形， ∴平移后， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 解得， ∴ ∵，是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，先证明是等腰三角形，点Q是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 是等腰三角形，点Q是边的中点， ， ， 解得， 是线段垂直平分线， 点B关于直线的对称点为点， ∴， 的长为的最小值， ∴的最小值． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，垂线段最短，平行四边形的性质，等腰三我的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 三、解答题 （本大题共8个小题，共90分，请把详细解答、证明、计算过程按规定写到答题卡指定位置） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，实数的运算． （1）先算算术平方根，再算加减即可； （2）先算算术平方根，零指数幂，绝对值，再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）左边先进行因式分解，然后令每个因式为0即可． 【小问1详解】 解： 或 或； 【小问2详解】 或 或． 21. 如图，在中，是边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， 的长为14． 22. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值． 【答案】（1）；； （2）被调查同学阅读量的平均数为8.7本，中位数为本； （3）的最大值为3． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解答． （1）由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占，可以求出总人数，然后求出8本占总人数的百分比，最后乘以360即可求出答案； （2）根据平均数的算法及中位数的算法即可作答； （3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由统计图可得平均数为本， 被调查同学阅读量的平均数为8.7本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本， 阅读量的中位数为（本） 【小问3详解】 解：原来阅读量的众数为9本 ，解得， 为正整数， 的最大值为3． 23. 如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，求出，，根据平行四边形的判定得出即可； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，根据矩形的判定得出即可． 【小问1详解】 证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 由（1）知：四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 24. 某商场购进一批服装，进价为250元/件．现售价为500元/件，每天可以售出40件，经市场调查发现每降价25元，每天可以多售出20件． （1）当售价为400元/件时，求当天的销售量； （2）要使每天的利润达到17500元，并使顾客得到更多优惠，问每件服装的售价为多少元？ 【答案】（1）120件 （2）375元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）求出降价100元时多销售的服装数，即可求得当天的销售量； （2）设每件服装降价x元，根据：单件的利润乘销售量等于总利润，列出方程并解之即可． 【小问1详解】 解：每件降价（元），， 所以当天的销售量为：（件）； 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元，一件的利润为：元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 则每件服装的售价为（元）或（元）， 使顾客得到更多优惠，每件服装的售价为元． 25. 已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了非负性、二次根式的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）先根据非负数的性质得出，，再根据勾股定理即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质得出，再根据实数的大小比较得出，然后根据非负数的性质及二次根式的性质化简，最后将值代入即可得出答案． 【小问1详解】 ， ， 当为直角三角形的斜边时， 当为直角三角形的一条直角边时， 综上所述，的值为或； 【小问2详解】 解：由题意得 26. 如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． （1）求菱形的面积； （2）若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； （3）若时，探究的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）32 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，先证明为等边三角形求出，再根据勾股定理求出即可求出，最后根据菱形的面积公式即可求得答案； （2）根据E是中点证明，再证明,，即可证得四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，先证明，再证明，从而得到，进一步得到的表达式，再求出的表达式和的值，最后利用勾股定理建立等式进行变形即可求得答案． 【小问1详解】 如图，连接，交于点， 四边形是菱形， 为等边三角形 在中， ∴菱形的面积 【小问2详解】 如下图所示，连接、， 为中点， ， ， 四边形是菱形， , , 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 过点C作，垂足为H，设，如图所示， 四边形是菱形 ， ， 在中， ， ， ， 在中，，， ，即， 整理得： ． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$