12.3角的平分线的性质 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.3 角的平分线的性质 学习目标： 　1．会用尺规作角的平分线，知道作法的合理性。 　2．探索并证明角的平分线的性质． 　3．能用角的平分线的性质解决简单问题． 学习重点： 探索并证明角的平分线的性质． 复习导入 1.什么是点到直线的距离？ 从直线外一点，到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 A B P M 2.什么叫一个角的角平分线？ 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线 。 C 思考：在纸上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ A O B C 量角器、对折 打开折叠后的纸片 看看折痕OC与∠AOB有何关系？ 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在∠A的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？ A B C D E 你从中受到哪些启发？如何用尺规作一个角的平分线？ 解：在△ABC和△ADC中 AB=AD BC=DC AC=AC（公共边） ∴△ABC ≌△ADC （SSS） ∴∠CAB=∠CAD（全等三角形的对应角相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线. ③ 作射线OC.射线OC即为求. ① 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，OB于点N； ② 分别以点M、N为圆心，大于 1/2 MN为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C; 01 任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD,PE,并作比较，你得到什么结论？ PD=PE 在OC 上再取几个点试一试，通过以上测量，刚刚得到的结论仍然成立吗？ 01 04 通过测量，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”。 （3）点到角两边的距离. 所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该角平分线上； 你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 01 04 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE． 证明：∵OC是∠AOB的角平分线 ∴∠AOC=∠BOC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90 ° 在△DOP和△EOP中 ∠AOC=∠BOC ∠PEO=∠PDO OP=OP ∴ △DOP≌△EOP（AAS) ∴ PD=PE 01 04 “角的平分线上的点到角的两边的距离相等” 几何语言表示： ∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E ∴ PD=PE 推理的理由有“一角平分，两垂直”，共三个条件，必须写完全，不能少了任何一个。 　　用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等。 01 04 1.明确命题中的题设和结论; 2.根据题意，画出图形,写出已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程。 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ 练一练 01 04 【判断】 1.如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE。 ( × ) 04 2.如图，点P在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE． ( × ) C 3、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. 则点P到AB的距离为____4___.△APB的面积是___28____. 4.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：BE=CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF,∠E=∠DFC=90° 在Rt△DBE和Rt△DCF中 DE=DF BD=CD ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL） ∴BE=CF 5.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 拓展提高： 如图，在Rt△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，AC=BC，AB=15cm，求△DBE的周长． 小结 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一角平分：角平分线上的点； 二垂直：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线添加 过角平分线上一点向一边或两边作垂线段 $$