解三角形大题题型专练（七大题型）-2025届高三数学一轮复习

解三角形大题题型专练（七大题型）（原卷版） 题型归类 题型一、正（余）弦定理解三角形 题型二、三角形的面积与周长 题型三、范围或最值问题 题型四、与中线有关的解三角形 题型五、与角分线有关的解三角形 题型六、与高线有关的解三角形 题型七、多三角形或四边形的解三角形 题型一、正（余）弦定理解三角形 典例精选 例1．（2024·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知， (1)求； (2)若的面积为，求． 例2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型精练 1． [2024届·陕西宝鸡·模拟考试]在中，内角所对的边分别为， 且. （1）求A； （2）若的面积为，，求的值. 2． [2023届·海南·模拟考试]在中,角所对的边分别为,已知. （1）证明:; （2）若,,求. 3．[2024秋·高三·广东深圳·月考校考]如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 4．[2024秋·高三·山西运城·开学考试校考]在中，角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，，求的值. 题型二、三角形的面积与周长 典例精选 例1．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 例2．（2023·全国乙卷（理）·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 题型精练 1．[2024秋·高三·安徽·月考联考]在中,内角所对的边分别为,. （1）求B; （2）若的面积为,AC边上的高为1,求的周长. 2．[2024秋·高三·河南许昌·开学考试联考]已知的内角的对边分别为，且. (1)求A； (2)若，，求的面积. 3．[2024秋·高三·安徽·开学考试]在中,角的对边分别为,. （1）求角; （2）若的面积,若,且,求的周长. 题型三、范围或最值问题 典例精选 例1．（2022·新高考全国Ⅰ·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 例2．（2020·新课标Ⅱ（理）·高考真题）中，． （1）求A； （2）若，求周长的最大值. 题型精练 1．[2024届·江苏盐城·模拟考试]已知的内角的对边分别为，，且的面积为 （1）求； （2）求周长的最小值. 2．[2024秋·高三·浙江·月考]在中,内角所对的边分别为,满足. (1)若,求; (2)若是锐角三角形,且,求的取值范围. 3．[2024秋·高三·广东·月考联考]在中,角所对的边分别为,,. （1）若,求的值; （2）求面积的最大值. 4．[2024秋·高三·河北邯郸·开学考试]在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值. 5．[2025届·湖南·模拟考试联考]在中，为角对应的边，为的面积.且. （1）求； （2）若，求内切圆半径的最大值. 6．[2023秋·高三·湖北荆州·月考校考]已知的内角的对边分别为,且. （1）求角的大小; （2）若的中点为且,求的最大值. 7．[2024秋·高三·福州市第一中学·开学考试]已知的三个内角的对边分别为,. （1）求； （2）若,求面积的取值范围. 8．[2023秋·高三·江苏·月考联考]在中，角所对的边分别为，且有，求： （1）； （2）的最大值. 9．[2024秋·高三·河北承德·开学考试校考]已知的内角的对边分别为,面积为,,且. (1)证明：为等边三角形; (2)设的延长线上一点满足,又平面内的动点满足,求的最小值. 题型四、与中线有关的解三角形 典例精选 例．（2023·新课标全国Ⅱ·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 题型精练 1．[2025届·福建福州·模拟考试]已知的内角的对边分别为，且 (1)求角C； (2)若,,为中点，求的长. 2．[2024秋·高三·四川绵阳中学·开学考试]记的内角的对边分别为，且. (1)求A； (2)若，，为边上的中点，求的长. 3．[2024·高三·广东揭阳·月考联考]在中,角的对边分别是,已知,. （1）求角的大小; （2）若的面积,设是的中点,求的值. 4．[2024秋·高三·广西·月考]记的内角的对边分别为,面积为,已知. （1）求的大小; （2）若,是的中点,且,求. 5．[2024秋·高三·山西大同·开学考试]已知中,角所对的边分别为,其中,. (1)若,求的面积; (2)若是锐角三角形,为的中点,求长的取值范围. 题型五、与角分线有关的解三角形 典例精选 例1．[2023秋·高三·湖北孝感·月考校考]记的内角所对的边分别是，已知. （1）求角的大小； （2）若点在边上，平分，，，求线段长. 例2．[2023秋·高三·贵州黔东南州·月考校考]在中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)是边上的一点，且，平分，且，求的面积. 题型精练 1．[2024届·浙江·二模联考]已知面积为,角的对边分别为,请从以下条件中任选一个,解答下列问题： ① ② ③ (1)求角; (2)若,是上的点,平分,的面积为,求角平分线的长. 2．[2024秋·高三·湖南师大附中·月考]的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若角的平分线交于点D，，，求的长. 3．[2024秋·高三·江西·月考联考]在中,角的对边分别为,已知. (1)求角的大小; (2)若为上一点,且平分,,求的最大值. 题型六、与高有关的解三角形 典例精选 例．（2023·新课标全国Ⅰ·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 题型精练 1．[2023秋·高三·广东·开学考试]记的内角的对边分别为,的面积. （1）求; （2）若,,求边上的中线的长度. 2．[2023秋·高三·四川南充·月考校考]已知在中，，. (1)求； (2)设，求边上的高. 3．[2024秋·高三·湖南永州·月考校考]已知在中，，. （1）求； （2）设，求边上的高. 4．[2024届·吉林松原·模拟考试校考]在中，内角的对边分别为，且，. （1）证明：； （2）若的面积为，求边上的高. 题型十、多三角形或四边形的解三角形 典例精选 例．（2021·全国新高考Ⅰ·高考真题）记是内角的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 精准练习 1．[2023秋·高三·山东滨州·月考校考]在中，内角的对边分别为，且，，. （1）求B； （2）设D是AB边上点，且，求证：. 2．[2024届·江苏南通·模拟考试校考]的内角所对的边分别为，D是边上的一点，且满足，若，，. (1)求B； (2)求三角形的面积. 3．[2024届·厦门双十中学·模拟考试]已知在锐角中,,D为BC边上一点,且. （1）证明:AD平分; （2）已知,求. 4．[2024届·河北·模拟考试]如图，在平面四边形中，，，设. （1）若，求的长； （2）若，求. 5．[2024秋·高三·山东·开学考试联考]如图，在中，，，，P为内一点，. (1)若，求PA； (2)（i）若，求. （ii）求的取值范围. 6．[2024秋·高三·湖南·开学考试联考]如图，在中，D为边上一点，且，，. (1)求； (2)若，求. 7．[2024秋·高三·湖南邵阳·月考校考]在中,内角的对边分别为,且. （1）求的值; （2）若,点D是线段BC上的一点,,,求的值. 8．[2024届·南京市金陵中学·模拟考试]如图，在中，，D为外一点，，记，. (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形大题题型专练（七大题型）（解析版） 题型归类 题型一、正（余）弦定理解三角形 题型二、三角形的面积与周长 题型三、范围或最值问题 题型四、与中线有关的解三角形 题型五、与角分线有关的解三角形 题型六、与高线有关的解三角形 题型七、多三角形或四边形的解三角形 题型一、正（余）弦定理解三角形 典例精选 例1．（2024·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知， (1)求； (2)若的面积为，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 例2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 题型精练 1． [2024届·陕西宝鸡·模拟考试]在中，内角所对的边分别为， 且. （1）求A； （2）若的面积为，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由正弦定理，有， 可化为， 有， 又由，可得； （2）由的面积为，有，可得， 又由，有，可得. 2．[2023届·海南·模拟考试]在中,角所对的边分别为,已知. （1）证明:; （2）若,,求. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）由及正弦定理得, 因为,所以, 所以. 因为,,所以, 所以,或（即,不合题意,舍去）, 所以. （2）由正弦定理可得, 由（1）知,代入上式可得, 所以, 再由条件可得. 3．[2024秋·高三·广东深圳·月考校考]如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或5.2（舍去）， （2）由（1）知，，. . 4．[2024秋·高三·山西运城·开学考试校考]在中，角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由及正弦定理可得，，(*) ， 即， 所以， 整理得， 即， 又A，B是的内角， 所以，， 所以或（舍去）， 即. （2）由及可知，. 由可知，，. 由(*)可得，. 在中，由正弦定理 可得，，解得， 题型二、三角形的面积与周长 典例精选 例1．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 例2．（2023·全国乙卷（理）·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 题型精练 1．[2024秋·高三·安徽·月考联考]在中,内角所对的边分别为,. （1）求B; （2）若的面积为,AC边上的高为1,求的周长. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由,得,① 由,得,② 由①②联立,得, 由,得,所以, 又由,得. （2）因为的面积为, 所以,得. 由,即,所以. 由余弦定理,得,即, 所以,可得, 所以的周长为. 2．[2024秋·高三·河南许昌·开学考试联考]已知的内角的对边分别为，且. (1)求A； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 因为，所以. 所以，即. 因为，所以，即. （2）， 所以. 3．[2024秋·高三·安徽·开学考试]在中,角的对边分别为,. （1）求角; （2）若的面积,若,且,求的周长. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）由正弦定理有, 所以, 所以, 又,故, 所以,由于,故. （2）由（1）得, 故,又,且, 所以, 又, 所以, 所以,结合解得或, 当,时,, 故,此时三角形周长为; 当时,, 故,此时三角形周长为. 题型三、范围或最值问题 典例精选 例1．（2022·新高考全国Ⅰ·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 例2．（2020·新课标Ⅱ（理）·高考真题）中，． （1）求A； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）（方法一） 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. （方法二）设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． 题型精练 1．[2024届·江苏盐城·模拟考试]已知的内角的对边分别为，，且的面积为 （1）求； （2）求周长的最小值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，得， 即，则， 由，得. （2），得， 由余弦定理，有，得， 周长， 当且仅当时取等号，所以周长的最小值为. 2．[2024秋·高三·浙江·月考]在中,内角所对的边分别为,满足. (1)若,求; (2)若是锐角三角形,且,求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)因为,由正弦定理可得, 则, 整理得, 因为,则,则,即, 由,得,则,. (2)因为是锐角三角形,则,解得, 则, 由正弦定理得,得, 可得,所以b的取值范围为. 3．[2024秋·高三·广东·月考联考]在中,角所对的边分别为,,. （1）若,求的值; （2）求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由正弦定理,可得, （2）,, 由余弦定理可得, ,, ,, 当且仅当时,等号成立,此时面积取得最大值 4．[2024秋·高三·河北邯郸·开学考试]在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，及正弦定理得， 因，代入可得，， 因为，所以，又，所以. （2）由（1）得，因为，所以. 由， 可得. 又，可得，即. 由基本不等式可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 由，可得， 所以， 所以的面积的最小值为. 5．[2025届·湖南·模拟考试联考]在中，为角对应的边，为的面积.且. （1）求； （2）若，求内切圆半径的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）设内切圆的半径为r， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为. 6．[2023秋·高三·湖北荆州·月考校考]已知的内角的对边分别为,且. （1）求角的大小; （2）若的中点为且,求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为,所以由正弦定理得, 所以,所以, 又,所以,所以,又,所以; （2）设,则在中,由知, 由正弦定理得,所以 ,, 又,所以,,所以 , 因为,所以,所以,所以, 所以的最大值为. 7．[2024秋·高三·福州市第一中学·开学考试]已知的三个内角的对边分别为,. （1）求； （2）若,求面积的取值范围. 【答案】（1）2；（2） 【详解】（1）因为, 由正弦定理得, 又因为,可得,所以, 因为,可得,所以. （2）由（1）知,即, 如图所示,AD为边BC上的高,不妨设B为锐角, 设, 当C为锐角时,则,故,, 当C为钝角时,则,故,, 因为,所以,整理得, 所以的面积为, 因为,可得, 当时,取得最大值,最大值为1,且, 所以的面积的取值范围为. 8．[2023秋·高三·江苏·月考联考]在中，角所对的边分别为，且有，求： （1）； （2）的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 所以. 又因为， 所以. （2）法一： 由（1）可知，，所以， 所以，当时，， 所以的最大值为. 法二：由余弦定理得：， 由基本不等式得：，当且仅当，等号成立，所以，所以的最大值为. 9．[2024秋·高三·河北承德·开学考试校考]已知的内角的对边分别为,面积为,,且. (1)证明：为等边三角形; (2)设的延长线上一点满足,又平面内的动点满足,求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)10 【详解】(1)因为,由正弦定理得,c不是最大边, 面积,所以,,所以, 由余弦定理,化简得,, ,. 所以 所以是等边三角形. (2)如图建系,,,, 设点,当时,因为,所以 ,,, 所以,化简得,其中, 当时,,因为,则此时不合题意,则, 当时,,因为,则此时不合题意,则, 因为是由双曲线向右平移4个单位得到的, 易知双曲线的焦点坐标为,则平移后焦点坐标为和, 作出双曲线,的图象如图所示： 根据双曲线定义知,则,则 , 当且仅当C,B,P三点共线时取等号, 当时,此时,,故此时不可能满足,舍去; 综上所述的最小值为10. 题型四、与中线有关的解三角形 典例精选 例．（2023·新课标全国Ⅱ·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）（方法1）：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. （方法2）：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）（方法1）：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. （方法2）：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 题型精练 1．[2025届·福建福州·模拟考试]已知的内角的对边分别为，且 (1)求角C； (2)若,,为中点，求的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得 因为，则，所以， 由于，则； （2）因为为中点，故， 所以 . 所以的长为. 2．[2024秋·高三·四川绵阳中学·开学考试]记的内角的对边分别为，且. (1)求A； (2)若，，为边上的中点，求的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 在中，， 则， 得， 因为，， 所以，即，， 又，则，则，所以. （2）因为，， 由， 所以，解得， 在中，由余弦定理得 ， 则，又为边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得 则， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 3．[2024·高三·广东揭阳·月考联考]在中,角的对边分别是,已知,. （1）求角的大小; （2）若的面积,设是的中点,求的值. 【答案】（1）;（2）. 【详解】（1）, 由正弦定理得,, 即, 即, 即, 即, ,,, ,; （2）, . 在中,由正弦定理得,, 在中,由正弦定理得,, ,, . 4．[2024秋·高三·广西·月考]记的内角的对边分别为,面积为,已知. （1）求的大小; （2）若,是的中点,且,求. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由 , 又B为三角形内角,所以. （2）如图所示: 因为是的中点,所以, 因为,所以. 所以. 又,所以. 所以.所以. 所以. 故. 5．[2024秋·高三·山西大同·开学考试]已知中,角所对的边分别为,其中,. (1)若,求的面积; (2)若是锐角三角形,为的中点,求长的取值范围. 【答案】(1)1 ；(2) 【详解】(1)因为,由正弦定理可得,故, 又,故, 因为,而为三角形内角,故, 所以. (2)在中,由; 在中,由; 而,所以, 故, 而是锐角三角形,故,即, 故, 故即. 题型五、与角分线有关的解三角形 典例精选 例1．[2023秋·高三·湖北孝感·月考校考]记的内角所对的边分别是，已知. （1）求角的大小； （2）若点在边上，平分，，，求线段长. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由已知， 根据正弦定理，得， 因为，所以， 故有， 即有， 因为，所以，则， 所以，，则. （2）依题意，， 即，也即为， 所以. 在中，根据余弦定理， 有，即， 解得，或（舍去）， 所以. 例2．[2023秋·高三·贵州黔东南州·月考校考]在中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)是边上的一点，且，平分，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由及正弦定理知： 所以 由，得， 由，所以，则， 由，所以. （2）如图，由， 且，平分， 得， 令，则，又，且， 因为， 所以 ， 即：， 化简得，所以，即，， 故的面积. 题型精练 1．[2024届·浙江·二模联考]已知面积为,角的对边分别为,请从以下条件中任选一个,解答下列问题： ① ② ③ (1)求角; (2)若,是上的点,平分,的面积为,求角平分线的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)选①, 即,又,则, 又,故;选②, 则,又,则, 所以,所以, 又,则,解得,故; 选③,则, 又,则则,所以, 故; (2),所以, 又, 故, 又, 所以. 2．[2024秋·高三·湖南师大附中·月考]的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若角的平分线交于点D，，，求的长. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得， 则， 所以，整理得， 因为B，C均为三角形内角，所以，， 因此，所以. （2）因为是角C的平分线，，， 所以在和中，由正弦定理可得，，， 因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即， 解得，所以. 又，即 ， 即，所以. 3．[2024秋·高三·江西·月考联考]在中,角的对边分别为,已知. (1)求角的大小; (2)若为上一点,且平分,,求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)在中,由及正弦定理, 得, 整理得,由余弦定理得, 而,所以. (2)由平分,得,而, 则,即,又, 因此, 当且仅当,即时取等号,则, 所以的最大值为. 题型六、与高有关的解三角形 典例精选 例．（2023·新课标全国Ⅰ·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1)；(2)6 【详解】（1），，即， 又， ， ，， 即，所以，. （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ，. 题型精练 1．[2023秋·高三·广东·开学考试]记的内角的对边分别为,的面积. （1）求; （2）若,,求边上的中线的长度. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意,所以,因为, 所以. （2）由余弦定理：, 又,所以, 因为D为边的中点,所以, 所以,. 2．[2023秋·高三·四川南充·月考校考]已知在中，，. (1)求； (2)设，求边上的高. 【答案】(1)；(2)6 【详解】（1），， ，即， 又 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， 3．[2024秋·高三·湖南永州·月考校考]已知在中，，. （1）求； （2）设，求边上的高. 【答案】（1）；（2）6 【详解】方法一：（1）在中，，又，所以. 又因为，即， 所以. 又因为，，所以，， 所以. （2）在中，记内角所对的边分别为a，b，c， 因为，，，， 所以由正弦定理， 可得，解得，. 设边上的高为，由三角形的面积公式可得， 即， 解得，即边上的高为6. 方法二：（1）因为，，所以. 因为，所以， 所以，即. 因为，，所以. （2）如图，过点B作于G，过点C作于H， 由（1）知. 因为，所以，所以. 因为，所以， 所以. 所以， 即边上的高为6. 4．[2024届·吉林松原·模拟考试校考]在中，内角的对边分别为，且，. （1）证明：； （2）若的面积为，求边上的高. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：，， 由正弦定理，及余弦定理得， ①，又，② 由①②得，， （2）由（1）得，， （或由余弦定理得） ， 的面积， ， 设边上的高为h，则的面积， ，即边上的高为. 题型十、多三角形或四边形的解三角形 典例精选 例1．（2021·全国新高考Ⅰ·高考真题）记是内角的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）（方法一） 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． （方法二）如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． 精准练习 1．[2023秋·高三·山东滨州·月考校考]在中，内角的对边分别为，且，，. （1）求； （2）设是边上点，且，求证：. 【答案】（1）；（2）详见解析 【详解】（1）在中，内角的对边分别为，， ，又，， ， 又，， ； （2）， ， ∵，，， ， ， . 2．[2024届·江苏南通·模拟考试校考]的内角所对的边分别为，D是边上的一点，且满足，若，，. (1)求B； (2)求三角形的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 整理可得，即， 且，则，可得， 因为，所以. （2）因为，可得， 两边平方得，即， 整理可得，解得（舍负）， 所以三角形的面积. 3．[2024届·厦门双十中学·模拟考试]已知在锐角中,,D为BC边上一点,且. （1）证明:AD平分; （2）已知,求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）由题意,,且, 所以, 即, 所以, 又因为为锐角三角形,所以, 所以, 由正弦定理得. 在中,由正弦定理得, 在中,由正弦定理得, 因为, 所以, 所以, 又因为,即,且, 所以, 所以AD平分. （2）由（1）知,, 因为,且为锐角三角形, 所以, 即, 则,故. 在中,由余弦定理得 , 解得, 所以. 4．[2024届·河北·模拟考试]如图，在平面四边形中，，，设. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在中，由正弦定理得： ， 即， 解得， 在中，由余弦定理得， . （2）由已知，， 在中，， ，， ，， 在中，， ， . 5．[2024秋·高三·山东·开学考试联考]如图，在中，，，，P为内一点，. (1)若，求PA； (2)（i）若，求. （ii）求的取值范围. 【答案】(1)；(2)（i），（ii） 【详解】（1）由已知易得，所以. 在中，由余弦定理得，故. （2）（i）设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即. （ii）设，则. 根据题意知道，. 则. 由于，则.则. 则.则的取值范围. 6．[2024秋·高三·湖南·开学考试联考]如图，在中，D为边上一点，且，，. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1)6；(2)3. 【详解】（1）设，则， 由余弦定理可得， 即，得， 所以. （2）由，得，则. 由正弦定可得，解得. 由余弦定理得， 即，而，所以. 7．[2024秋·高三·湖南邵阳·月考校考]在中,内角的对边分别为,且. （1）求的值; （2）若,点D是线段BC上的一点,,,求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为, 由正弦定理得, 所以 . 即, 由正弦定理得, 又、,则或（舍去）. 所以. （2）因为,设中BC边上的高为h, 所以,所以, 设, 由,,, 所以,则,,, 在中,由余弦定理得, 设AC的中点为E,连接DE, 如图所示,由,则, 在中,, 所以, 解得或（舍去）, 所以. 8．[2024届·南京市金陵中学·模拟考试]如图，在中，，D为外一点，，记，. (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，由余弦定理，得 ， 在中，由余弦定理，得， 所以， 所以，. （2）由题意知，， 所以 ， 由（1）知，，所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$