2.2 有理数的乘法与除法 复习讲义-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

2.2有理数的乘法与除法复习讲义-数学七年级上册人教版（2024） 知识梳理 倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 典例分析 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行的各段路程(单位：厘米)依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫是否回到起点P； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间？ 【答案】(1)所以小虫回到起点P (2)小虫共爬行了108秒 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的四则混合运算，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）根据题意，将所给路程数据相加，根据和的符号可得结论； （2）由爬行的路程和除以速度可求得结果． 【详解】（1）解： （厘米）， 答：小虫回到起点P； （2）解： （秒）， 答：小虫共爬行了108秒． 精选好题 一、单选题 1．如图，小李在某运动中，设定了每天的步数目标为8000步，每天超过目标数的步数记为“”，少于目标数的步数记为“”，则从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为（   ） A．8260步 B．8694步 C．8010步 D．8000步 2．如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．若的运算结果为正数，则□内的数字可以为（    ） A．10 B．5 C．0 D． 5．的倒数是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 7．下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法：①若m满足，则；          ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数a，b，c满足，则， 其中正确的是有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．的倒数是 ，的绝对值是 ，的相反数是 ． 10．计算 ． 11．规定“ ”是一种运算符号，且，如，，那么 12．已知，，且，则的值是 ． 13．计算的值等于 ． 14．在数轴上表示a，b两数的点如图所示，则下列判断正确的是 ．（填序号） ①， ②，③，④ 15．有四个互不相等的整数，如果，那么 ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： 18．若“”表示一种新运算，规定． (1)计算：； (2)计算：． 19．学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如下： 每袋与标准重量的差（千克） 0 2 2.5 袋数 1 4 2 3 5 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少? (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克? (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 20．如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为9，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点到达点后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为． (1)当点返回到点时，求的值； (2)当时，求点表示的有理数； (3)当点与原点的距离是1个单位长度时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D C D B B 1．A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据正负数的意义求出这4天的总步数，再除以4即可得到答案． 【详解】解：步， ∴从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为8260步， 故选：A． 2．D 【分析】由数轴得到a，b的符号，根据有理数的加减运算，乘法运算，绝对值的含义可依次判断各个选项． 【详解】解：根据图示，可得，而且， ∴， ∴选项A不正确； ∵，而且， ∴， ∴选项B不正确，选项D正确； ∵， ∴， ∴选项C不正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义和有理数的加减运算，乘法运算，关键是要牢记有理数加减法的法则． 3．B 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．选项A利用乘法分配律进行简便计算；选项B先算小括号里面的，然后再算括号外面的；选项C先算小括号里面的，再算括号外面的乘除法；选项D从左往右依次进行计算；从而作出判断． 【详解】解：A、原式，故此选项不符合题意； B、原式，故此选项符合题意； C、原式，故此选项不符合题意； D、原式，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0．据此求解即可． 【详解】解：∵的运算结果为正数， ∴□内的数字为负数， ∴□内的数字可以为． 故选D． 5．C 【分析】本题主要考查倒数的概念，根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解，掌握倒数的概念和计算是解题的关键． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的乘法，解答本题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则． 根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可． 【详解】解：若，则，或，，故A，B错误； 若，则或，故C错误，D正确． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零． 根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案． 【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意． 故选：B． 8．B 【分析】考查了绝对值，关键是熟悉①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．如果用字母表示有理数，则数 绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．依此即可求解． 【详解】解：①若满足，则，则，当时，，原来的说法是错误的； ②若，则，所以，原来的说法是正确的； ③当时，分四种情况讨论： 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， ④当、、三个都是正数时，则，不符合题意； 当、、有两个正数，一个负数时，不妨设、为正，则， ； 当、、有两个负数，一个正数时，不妨设、为负，则，不符合题意； 当、、三个都是负数时，则，不符合题意； 当三个有理数，，满足，则， 原来的说法是错误的； 故选：B 9． 5 【分析】本题考查了化简多重符号，倒数的定义、绝对值的定义、相反数的定义，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，的倒数是， ∵，， ∴的绝对值是5，的相反数是， 故答案为：，5，． 10． 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的知识点是新定义运算、有理数的混合运算，解题关键是正确理解题意． 根据题中规定的新运算将、分别代入即可求解． 【详解】解：根据可得． 故答案为：． 12．3或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法，先根据绝对值的意义得出，，再根据，得出a和b异号，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴a和b异号， 当，时，， 当，时，， 故答案为：3或． 13． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．利用加法结合律计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．②③ 【分析】本题考查了运用数轴比较有理数的大小，越在数轴的左边的数越小，先得出，再结合每个选项的式子进行整理比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 由数轴得 ∴④是错误的 ∴ 故①是错误的； ∴ 故②是正确的； ∴ 故③是正确的； 故答案为：②③ 15． 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，由四个互不相等的整数，将进行因数分解可知 即可求解，能够将进行准确的因数分解是解题的关键． 【详解】∵是个不相等的整数， ∴， ∴， 故答案为：． 16．(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 17． 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则进行计算即可求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）根据新定义可得首先进行乘法运算，然后从乘积中减去第一个数，即可求解； （2）根据新定义，先计算，再计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 19．(1)最轻的一袋比最重的要轻千克 (2)超过千克 (3)元 【分析】本题考查正负数的意义解实际应用题，涉及有理数加减运算、有理数加减乘法运算等知识，熟练掌握有理数混合运算法则是解决问题的关键 （1）根据题意，列出式子，由有理数加减运算直接计算即可得到答案； （2）根据题意，列出式子，由有理数加减乘法运算直接求解即可得到答案； （3）根据题意，求出土豆总重量，利用有理数乘法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）， 答：最轻的一袋比最重的要轻千克； （2）解： （千克）， 答：与标准重量比较，袋土豆总计超过千克； （3）解： （千克）， （元）， 答：买这袋土豆共需元． 20．(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了数轴的点问题，有理数在数轴上的表示方法，有理数的混合运算； （1）先求得的距离，根据题意，用路程除以速度，即可求解； （2）先求得到达点时用的时间，进而求得从点出发后的所在位置，即可求解； （3）由数轴可知距离原点2个单位长度的位置有和，根据往返情况分类讨论，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∵点从点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴到达点时用的时间为秒， ∵当点到达点后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴当点返回到点时，秒； （2）解：∵到达点时用的时间为秒， 当时，，即时，点到达点； ； ∴当时，点表示的有理数是：； （3）由数轴可知距离原点2个单位长度的位置有和， 当从到到达位置时： 当从到到达位置时： 当从到到达位置时： 当从到到达位置时： 综上，当点P与原点距离是1个单位长度时，t的值为：或或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$