专题48 双曲线-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题48 双曲线（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 4 【考点1】双曲线的定义及应用 4 【考点2】双曲线的标准方程 5 【考点3】双曲线的简单几何性质 6 【分层检测】 8 【基础篇】 8 【能力篇】 10 【培优篇】 10 考试要求： 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质. 2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 2.离心率e＝＝＝. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. 4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 6．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 考点突破 【考点1】双曲线的定义及应用 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（    ） A．若圆与圆内切，则圆与圆内切 B．若圆与圆外切，则圆与圆外切 C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 二、多选题 3．（2024·贵州六盘水·三模）（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 三、填空题 5．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是右支上一点，线段与的左支交于点．若为正三角形，则的离心率为 ． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 . 反思提升： 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. 【考点2】双曲线的标准方程 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（    ） A．若，且轴，则的方程为 B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为 C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为 D．若，则的离心率的取值范围是 4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2021·浙江杭州·模拟预测）在四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则 ． 6．（2023·广东韶关·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为S，则 . 反思提升： 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解. 2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0). 【考点3】双曲线的简单几何性质 一、单选题 1．（2024·重庆·模拟预测）过双曲线的右焦点F作与其中一条渐近线垂直的直线分别与这两条渐近线交于两点，若，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．（21-22高三上·湖北黄冈·阶段练习）P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 二、多选题 3．（2024·山东·二模）已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 4．（2024·河北秦皇岛·三模）设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ． 6．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．    反思提升： 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法： (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 2.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0. 分层检测 【基础篇】 一、单选题 1．（2024·山西晋城·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·三模）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（    ） A． B．4 C． D．2 3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 6．（21-22高二上·浙江金华·期中）已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 7．（2021·海南·二模）已知双曲线的离心率为，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的虚轴长为2 C．直线与相交的弦长为1 D．的渐近线方程为 三、填空题 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 ． 9．（2023·吉林延边·二模）已知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 ． 10．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 四、解答题 11．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【能力篇】 一、单选题 1．（2023·河南驻马店·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于点为坐标原点，过点作，垂足为，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线E：过点，则（    ） A．双曲线E的实轴长为4 B．双曲线E的离心率为 C．双曲线E的渐近线方程为 D．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条 三、填空题 3．（2024·河南郑州·三模）已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ． 四、解答题 4．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【培优篇】 一、单选题 1．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 二、多选题 2．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，过的右焦点的直线交双曲线右支于，两点，的内切圆分别切直线，，于点，，，内切圆的圆心为，半径为，则（   ） A．的离心率等于 B．切点与右焦点重合 C． D． 三、填空题 3．（2024·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题48 双曲线（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 11 【考点1】双曲线的定义及应用 11 【考点2】双曲线的标准方程 17 【考点3】双曲线的简单几何性质 24 【分层检测】 29 【基础篇】 29 【能力篇】 37 【培优篇】 41 考试要求： 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质. 2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 2.离心率e＝＝＝. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. 4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 6．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D D AC 1．C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 3．D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 4．AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 5．/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 6．2（满足皆可） 【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值. 【详解】解：，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点” 所以， 又因为，所以， 故答案为：2（满足皆可） 7． 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 考点突破 【考点1】双曲线的定义及应用 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（    ） A．若圆与圆内切，则圆与圆内切 B．若圆与圆外切，则圆与圆外切 C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 二、多选题 3．（2024·贵州六盘水·三模）（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 三、填空题 5．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是右支上一点，线段与的左支交于点．若为正三角形，则的离心率为 ． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C BCD BC 1．C 【分析】利用焦半径三角形及双曲线的几何定义，再结合余弦定理，就可以求得离心率，从而也就可以求得渐近线方程. 【详解】 边接，由关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 即，，由得：， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理得：， ， 即，再由， 故渐近线方程为：， 故选：C. 2．C 【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误. 【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，. 当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于， 即，即，同理，圆与圆内切也等价于； 当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和， 即和，即和. 所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和. 下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）： 由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切； 若，则圆与圆外切，圆与圆内切. 这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误； 若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于， 而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确； 若，则，此时“圆与圆外切”等价于， 而根据双曲线定义，对应的轨迹为， 仅仅是双曲线的半支，D错误. 故选：C. 3．BCD 【分析】由离心率公式和点到直线的距离公式，可得a，b，c，由双曲线的定义可判断A；由焦点三角形的面积公式可判断B；由轴，计算可判断C；由双曲线的定义和内切圆的性质，可判断D． 【详解】渐近线方程为， 由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ， ，所以 或，选项A错； 记，则， 由，可得，即有，所以，选项B对： 因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对； 取点在双曲线的右支上，如图所示， ， 又因为，解得，， 所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对． 故选：BCD． 4．BC 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 5． 【分析】根据题意和双曲线定义求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率. 【详解】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且， 因为为等边三角形，所以，， 由双曲线定义得，， 又由，解得， 则，且， 在中，由余弦定理得， 化简整理得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法： ①直接求出、，可计算出离心率； ②构造、的齐次方程，求出离心率； ③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解. 6． 6 【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得的值，进而求得的面积. 【详解】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为， 则，由双曲线的定义可得， 所以，，由勾股定理得， 即有，∴. 设内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t， 则，则, 解之得 又由内切圆圆心的横坐标为2，得， 故.    故答案为：，6 反思提升： 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. 【考点2】双曲线的标准方程 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（    ） A．若，且轴，则的方程为 B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为 C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为 D．若，则的离心率的取值范围是 4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2021·浙江杭州·模拟预测）在四边形ABCD中，已知，，，，若C，D两点关于y轴对称，则 ． 6．（2023·广东韶关·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为S，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A AD BCD 1．C 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 2．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及椭圆、双曲线的特征判断即可. 【详解】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立； 当时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立； 所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件. 故选：A 3．AD 【分析】由双曲线上一点，及轴，可得的值，即可求得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰的面积，从而判断C；由已知结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从而判断D. 【详解】对于A，若，且轴，则，， 所以，则，所以，则的方程为，故A正确； 对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确； 对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图， 则是直角三角形，所以，故C不正确； 对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故， 则，又，所以，整理得，解得， 所以的离心率的取值范围是，故D正确. 故选：AD. 4．BCD 【分析】设，利用点差法可求两点坐标，求出各线段的长度后可判断各项的正误，我们可可以根据双曲线中的极线是可得判断C，再由及比例的性质可判断B，由B的结论根据比例性质可推出判断A，再由及比例性质可判断D. 【详解】法1：设，不妨设. 由题设可得，故即为， 故，而，， 故，所以， 所以，故，故， 故，故，. 故的直线方程为：，故 故， ， ，， ，， 故，故A错误. 而，故B成立， 又，故C成立. 又，故成立， 故D成立， 故选：BCD . 法2：如图， 点的极线是，故成调和点列，即，故C正确； 又，所以，所以， 所以，故B正确； ，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD 5． 【分析】设，依题意可得，即，整理即可得到的顶点C的轨迹方程，由，设，求出的轨迹方程，再将D的轨迹方程沿y轴翻折得到，与双曲线求交点坐标，即可得解； 【详解】解：设，，由得， 当点C在x轴上方时，，故有 当点C在x轴下方时，，故有 两者都有，所以 则，化简得 的顶点C的轨迹方程为 由，设，得点D的轨迹方程为 ，把圆沿y轴翻折得到，与联立消元，得到 解得或（舍去），所以 故答案为： 6．40 【分析】设，，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，即可得结果. 【详解】设，， 由在以为直径的圆上可得：， 故，且四边形为矩形， 由双曲线可知：， 即， 又因为，则， 可得， 则， 所以. 故答案为：40. 反思提升： 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解. 2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0). 【考点3】双曲线的简单几何性质 一、单选题 1．（2024·重庆·模拟预测）过双曲线的右焦点F作与其中一条渐近线垂直的直线分别与这两条渐近线交于两点，若，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．（21-22高三上·湖北黄冈·阶段练习）P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 二、多选题 3．（2024·山东·二模）已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 4．（2024·河北秦皇岛·三模）设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ． 6．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．    参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D C ACD CD 1．D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由向量关系可得，再结合三角形面积关系列式计算得解. 【详解】双曲线的渐近线为，令，由对称性不妨令直线垂直于直线， 而，则，由，得，则， 显然，，由， 得，解得，则， 所以该双曲线的焦距为4. 故选：D 2．C 【分析】画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案. 【详解】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2， ，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小. 此时的最小值为：. 故选：C. 3．ACD 【分析】由双曲线的性质和离心率可得A正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径可得B错误；若满足的直线恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得，可判断C正确；若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，可得，可推导出D正确. 【详解】A：当时，因为，所以，故A正确； B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点） 当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为， 代入双曲线方程为，解得，此时弦长为， 由于不一定等于，故B错误； C：若满足的直线恰有一条， 由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交， 所以， 此时，故C正确； D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交， 所以，所以， 又，所以，故D正确； 故选：ACD. 4．CD 【分析】利用直线对称的夹角关系，分类讨论结合双曲线的性质计算即可. 【详解】由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为. 当时，则，即，， 即，所以. 当时，，即，， 即，所以. 综上，双曲线的离心率的平方为. 故选：CD 5．3 【分析】由已知可求得，进而可得，求解即可. 【详解】由双曲线左支上一点，可得， 又，所以， 又，所以，所以， 所以该双曲线离心率的最大值为. 故答案为：. 6． 【分析】由直线，其中，分别联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中，    联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同, 反思提升： 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法： (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 2.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0. 分层检测 【基础篇】 一、单选题 1．（2024·山西晋城·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·三模）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（    ） A． B．4 C． D．2 3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 6．（21-22高二上·浙江金华·期中）已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 7．（2021·海南·二模）已知双曲线的离心率为，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的虚轴长为2 C．直线与相交的弦长为1 D．的渐近线方程为 三、填空题 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 ． 9．（2023·吉林延边·二模）已知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 ． 10．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 四、解答题 11．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A D B AC BCD BC 1．D 【分析】根据题意求圆C的圆心和半径，利用点到直线距离可得焦点到渐近线的距离，结合题意分析求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 又因为双曲线的一条渐近线为，即， 双曲线的左焦点到渐近线的距离， 由题意可知：，可得， 所以该双曲线的方程为. 故选：D. 2．A 【分析】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及的关系即可求解. 【详解】由对称性，不妨设，双曲线的渐近线是， 则由题意，解得，故所求为. 故选：A. 3．D 【分析】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解. 【详解】，点到渐近线的距离为，即， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：. 在中，由余弦定理得：. 因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：D 4．B 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 5．AC 【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围. 【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确； 对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误； 对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确； 对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误． 故选：AC. 6．BCD 【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可. 【详解】由双曲线的定义可得， 因为，所以，故A错误； 因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为， 所以，所以的面积为，故B正确； 由勾股定理得，即，所以，故C正确 因为，所以，即 所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确 故选：BCD 7．BC 【解析】由双曲线的方程可判断A；由的离心率求得解得可判断B；把代入双曲线的方程求得可判断C；由B选项得且，且焦点在x轴上可判断D. 【详解】由可知双曲线的焦点在轴上，A错误； 的离心率，解得，的虚轴长为，故B正确； 由B选项知，把代入双曲线的方程得，故弦长为1，C正确； 由B选项知且，且焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为，故D错误. 故选：BC. 8． 【分析】由圆锥曲线是双曲线，方程表示成标准方程，由离心率求的值. 【详解】圆锥曲线的离心率为，则该圆锥曲线是双曲线， 将方程化成焦点在轴上的标准形式， 由离心率， 有，得． 故答案为： 9． 【分析】设，根据题意可知OD垂直平分，利用两直线垂直斜率之积为-1和中点坐标公式可得且，求出m、n，得出点M坐标，代入双曲线方程得到关于a、c的方程，结合离心率的定义化简即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，， 不妨设点在第二象限，则， 由D为的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分， 则，有，且， 解得，，所以， 将即，代入双曲线的方程， 得，化简可得，即； 当点M在第三象限时，同理可得． 故答案为：. 10．4 【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可. 【详解】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距， 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形， 令，则，由双曲线定义可知， 故有，即，即，， 中，由余弦定理， ， 即，得， . 故答案为：4. 11．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可； （2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明． 【详解】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为经过点， 所以，解得， 故的方程为． （2）若直线的斜率存在，设， 由，消去得， 则，即， 设，则， 因为，所以，即， 所以，整理得， 设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以， 又，所以； 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为， 不妨设直线的斜率为1，则， 将点的坐标代入方程，得， 所以， 所以． 综上，为定值． 12．(1) (2) 【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【详解】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    不妨设， 所以． 【能力篇】 一、单选题 1．（2023·河南驻马店·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于点为坐标原点，过点作，垂足为，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线E：过点，则（    ） A．双曲线E的实轴长为4 B．双曲线E的离心率为 C．双曲线E的渐近线方程为 D．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条 三、填空题 3．（2024·河南郑州·三模）已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ． 四、解答题 4．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 参考答案： 题号 1 2 答案 C AB 1．C 【分析】根据题意得到，取得，得到，，在中，由余弦定理化简得到，即，即可求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，直线的斜率为，可得其倾斜角为， 由题意得，则， 因为，所以，所以，则， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理得，即， 又因为，解得. 故选：C. 2．AB 【分析】由点在双曲线上代入可得双曲线方程，然后可得实轴长可判断A正确，由离心率的定义可得B正确，由渐近线方程可得C错误；由两条与渐近线平行，斜率相等，一条与双曲线相切，直曲联立，由判别式为零可得D错误. 【详解】由得，. 对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，由得，故C错误； 对D，有3条，两条与渐近线平行，分别为，， 第三条与双曲线相切，设切线的斜率为， 则，消去可得， ，， 令，解得，所以，故D错误. 故选：AB. 3． 【分析】利用离心率求得，继而得到渐近线方程：，由向量等式推得点为的中点，设出点,求得点坐标，代入双曲线方程，化简得，最后利用面积即可求得的值. 【详解】 如图，由可得，故双曲线的渐近线方程为， 不妨设，因则点为的中点，则， 将其代入中，整理得：， 又,且,则的面积为， 即，解得,故双曲线的实轴长为. 故答案为：. 4．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 【培优篇】 一、单选题 1．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 二、多选题 2．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，过的右焦点的直线交双曲线右支于，两点，的内切圆分别切直线，，于点，，，内切圆的圆心为，半径为，则（   ） A．的离心率等于 B．切点与右焦点重合 C． D． 三、填空题 3．（2024·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ． 参考答案： 题号 1 2 答案 C ABD 1．C 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】由双曲线方程可知：， 可知双曲线方程的左、右焦点分别为，， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，，，，则， 可得 ， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解. 2．ABD 【分析】A选项，根据渐近线方程求出，得到离心率；B选项，由双曲线定义和切线长定理得到，得到切点与右焦点重合；C选项，根据双曲线定义和的内切圆的半径得到；D选项，作出辅助线，得到，利用万能公式得到答案. 【详解】A选项，由题意得，解得，故离心率，A正确； B选项，， 由双曲线定义可得，， 两式相减得，即， 故切点与右焦点重合，B正确； C选项，的内切圆的半径为， 故 ，C错误； D选项，连接，则平分， 其中， 故， 所以 . 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点与右焦点重合，从而推理得到四个选项的正误. 3． 【分析】引入参数，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，运用余弦定理可得出，结合离心率公式即可得解. 【详解】     在中，设，由正弦定理得，则， 所以由双曲线的定义可知，， 故， 在中，，解得， 所以在中，，，， 又，解得， 所以离心率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与的关系，进而结合离心率公式即可得解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$