广西柳州高级中学2024-2025学年高三上学期9月自主综合考试数学试题

高三数学自主测试试题(20240916) 一、单选愿 1.已知全U=R,集合M={xx2-2x-3≤0)和N=(xz=2k-1,k=12,…)的关系的韦恩(Vem) 图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有() A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个 2.已知向量a=(1,0),b=(1,1),若2 -可1五,则1=() A.-2 B.0 C.1 D.2 3.己知函数f()=s加(2x+》,将f( )的图象向左平移知(>0)个单位后,得到函数g(x)的图象,若 g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则印的最小值得于() A司 B月 c D.月 4.粥自然数1,2.3,4,5,…按照如因列,我们宽2,4,7,1,16,…都称为拐角数”, 则下列哪个致不是拐角量”() 18 17 161514131210 A.22 B.50 C.37 D.6 5.已如装学役加学科写量学危藩决蔓的8人的成顿(草位1分)为12,7B.60,81,83,86,88, 0,则这组段孤的篇73石分位量是() A.86 B.87 C,的 D.0 6.已知直战x+y-数=0(:>0)写 x2+y2鱼4义予不同的商色A,B.0尼坐标原点,且有 D风+0可之VA可.则安数的取厦备困是《) A.(⑥ B.2同 C.22) D.62w 试色可1质,其4到 7.在 ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2 acosB=c-a,则的最小值为() A.2 B.2V2 C.4 D.42 8.已知f(x)的定义域为R,fx+y)+fx-y)=3fx)f0y),且f()=子,则f(k)=() A月 B.-月 C. D.月 二、多选题 9.欧拉公式e=cosx+isinx(i为虚数单位,xeR)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函 与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式,下列选项正确的是() A.的虚部为 B.emi=-1 C.lex Icosxl lsinxl D.e的共轭复数为-i 10.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星1 其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xO中,A(-2,0),B(2,0),动点P满足IPA PB=! 其轨迹为一条连续的封闭曲线C,则下列结论正确的是() A.曲线C与y轴的交点为(0,1)和(0,-1) B.曲线C关于x轴、y轴对称,不关于原点O对称 C.点P的横坐标的范围是[-3,3] D.10P1的取值范围为[1,2] 11.如图,正方体ABCD-AB1CD的棱长为1,动点P在对角线BD1上,过P作垂直于BD1的平面a, 平面a与正方体ABCD-A,B,CD1的截面多边形(含三角形)的周长为L,面积为S,BP=x,xE(0,V3), 面关于函数L(x)和S(x)的描述正确的是() AS6)最大值为 B.L)在x=时取得极大值: C.L()在(0,上单调递增,在(怎V3)上单调递减: D D.S)在(0,9上单调递增,在(停,V)上单调递减 试卷第2页,共4页 三、填空题 12.已知随机变量X~N(4,o2),若P(X<2)=0.2,P(X<3)=0.5,则P(X<4)的值为 13.已知双曲线E:三-若=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为,R,商心率为2,过点的直线交E的 左支于A,B两点0B=1ORl(0为坐标原点),记点0到直线的距离为d,则号=」 14.已知 ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为BC的中点,E为AD的中点,延长BE交AC于 点F,若b=2,4 sinAsinC=3V3sinB,则 AEF的面积为 四、解答题 15.已知数列{anJ中,a=1,an=2an-1+1(n≥2). (1)求(an)的通项公式: (2)求和: 16.如图,在四按柱ABCD-ABCD中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AD BC,BC=4, AB=AD=DC=AA1=2,2为AD的中点. D (1)在A:D上是否存在点P,使直线CQ/平面ACP,若存在,请确定点P的位置并给出证明,若不存在, 请说明理由: (2)若(1)中点P存在,求平面ACP与平面ABB1A1所成的锐二面角的余弦值. 试卷第3页,共4页 17.现有 n 枚质地不同的游戏币 $$a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } \left( n > 3 \right) ,$$ ,向上抛出游戏币, $$a _ { m }$$ 后,落下时正面朝上的概率为 $$\frac { 1 } { 2 m } \left( m = 1 , 2 , \cdots , n \right)$$ .甲、乙两人用这 n 枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币 $$a _ { 2 }$$ 向上抛出10次,用X表示落下时正面朝上的次数,求X的期望 E(X), ,并写出当k为何值 时, P(X=k) 最大(直接写出结果,不用写过程): (2)甲将游戏币 $$a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 }$$ 向上抛出,用Y表示落下时正面朝上游戏币的个数,求Y的分布列: (3)将这n枚游戏币依次向上抛出,规定若落下时正面朝上的个数为奇数,则甲获胜,否则乙获胜,请判 断这个游戏规则是否公平,并说明理由, 18.已知函数 f(x)=lnx-x+a. (1)若 a=0, ,求曲线 y=f(x) x=1 1处的切线方程; (2)若 x>0时f f(x)<0, ,求 a 的取值范围; (3)若 0<a≤1, ,证明:当 x≥1 时, $$f \left( x \right) + x \le \left( x - 1 \right) e ^ { x - a } + 1 .$$ 19.动点 M (x,y) 到直线 $$l _ { 1 } : y = \sqrt 3 x$$ 与直线 $$l _ { 2 } : y = - \sqrt 3 x$$ 的距离之积等于 $$F - \frac { 3 } { 4 } ,$$ $$, 且 | y | < \sqrt 3 | x | .$$ .记点M的轨迹 方程为 . (1)求 的方程; (2)过 上的点 作圆 $$Q : x ^ { 2 } + \left( y - 4 \right) ^ { 2 } = 1$$ 1的切线PT,T为切点,求 |PT| 的最小值; (3)已知点 $$G \left( 0 , \frac { 4 } { 3 } \right) ,$$ ,直线 l:y=kx+2(k>0) 交于点A,B.T上是否存在点C满足 $$\overrightarrow { G A } + \overrightarrow { G B } + \overrightarrow { G C } = \overrightarrow { 0 } ?$$ 若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由. 试卷第4页,共4页 高三数学自主测试(20240916)多考答案 题号 2 3 4 5 6. 7 8 9 10 11 答案 B D B B B B B ABD AC AD 1.B【详解】由图知,阴影部分所示的集合为M∩N, 由x2-2x-3≤0,得到-1≤x≤3,所以M=(x-1≤x≤3,又N=(xx=2k-1,k=1,2,…), 所以MnN=(1,3),得到阴影部分所示的集合的元素共有2个, 2.【详解】a=(1,0),6=(1,1),a -6=(a-1,-1).因为a-)16,所以(aa-) 6=0, 则(1-1) 1+(-1) 1=1-2=0,解得1=2 3.【详解】解:9(x)=fx+p)=sin(2x+2p+),要g(x)的图象与fx)的图象关于y轴对称,则 96)=f(-x刈=sin(-2x+)=sin(2x+)所以2g+号=号+2 kn.k EZ,故p=g+km,kez, 又p>0,故pm=君 4.B【详解】由题意得第1个“拐角数”为2=1+1,第2个“拐角数”为4=1+1+2, 第3个“拐角数”为7=1+1+2+3,第4个“拐角数"为11=1+1+2+3+4,, 则第n个“拐角数”为1+1+2+3+4+…+n=1+1*m 2 对于A:第6个"拐角数是1+兰=2,故A不合题意: 对于B、C:第7个“拐角数"是1+空=29,第8个拐角数"是1+警=37, 则30不是“拐角数”,故B适合题意,C不合题意; 对于D:第9个“拐角数"是1+=46,故D不合题意 5.B【详解】将数据从小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90,因为8 75%=6, 所以第75百分位数是64=87。 6.C【详解】设AB中点为C,则0C1AB,:OA+0≥V3A, :20c到≥3,≤9oC,:1oc+=4 oc≥4, 即OC≥3,又:直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点 A、B, 答案第1页,共7页 <4,故4>123,则4>() ≥3,k>06≤k<2w2. 7.B【详解】由余弦定理得cosB=+c2- 2ac ,代入2 acosB=c-a得, 2a.2+c2-=3+c3-b2=c-a,则a2+c2-b2=2-ac,即b2=a2+ac, 2ac (29)'=46e549=46a+90_月69 b2 a2tac 1+ 令1+=t,t>1,则g=4-2-244=t++4之2P+4=8, 当且仅当t=时,t=2,即a=c时等号成立, 此时,a=c,cosB=0,即B=号 ABC为等腰直角三角形时,取到最小值2W2, 8.【详解】由题意知,函数f(x)的定义域为R,fx+y)+fx-y)=3f(x)f6y,且f(1)=, 令x=1,y=0,得f1+0)+f1-0)=3f(1)f0,所以f(0)=3: 令x=0,得f(0+y)+f(0-y)=3f(0)f6y),所以f(-y)=f0y),所以f(x)是偶函数, 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=3f(x)f(1)=f(x)①,所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②, 由①②知f(x+2)+f(x-1)=0,所以f(x+3)+f(x)=0,f(x+3)=-f(x), 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的一个周期是6, 由②得f(2)+f(0)=f1),所以F2)=-是同理f3)+f1)=f2),所以f(3)=-子 又由周期性和偶函数可得:f(④=f(-2)=f(2)=-子f(5)=f(-1)=f(1)=号,f(6)=f0)= 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0, 所以22f()=3372=:f+f()+f2)+f3)=-号 9.【详解】对于A中,由e=cos+isin=+i,其虚部为浮所以A正确: 对于B中,由e=cos +isinn=-1,所以B正确: 对于C中,由ea=cosx+isinx,则le刘=Vcos2x+sin2x=1,所以C错误; 对于D中,由e2=cos+isin=i,故e2的共轭复数为-i,所以D正确。 10.【详解】解:设点P(x,y),因为PA PB1=5,可得[(x+2)2+y] [(x-2)2+y]=25, 整理得:x2+y2=V16x2+25-4, 对于A中,当x=0时,解得y= 1,即曲线C与y轴的交点为(0,-1),(0,1),所以A正确: 对于B中,因为x2+y2=V16x2+25-4, 用-y替换y,方程不变,则曲线C关于x轴对称, 答案第2页,共7页 用-x替换x,方程不变,则曲线C关于y轴对称, 同时用-x替换x,用-y替换y,方程不变,可得曲线C关于原点对称,所以B错误: 对于C中,因为x2+y2=V16x2+25-4,即可得y2=V16x2+25-4-x2≥0, 即V16x2+25≥4+x2,即x4-8x2-9≤0,解得0≤x2≤9, 即-3≤x≤3,所以点P的横坐标的取值范围是[-3,3],所以C正确: 对于D中,因为0P12=x2+y2=V16x2+25-4, 由C项知-3≤x≤3,所以10P2∈[1,9],故1≤10P川≤3,所以D错误. 1.【详解】当x∈(0,时,藏面为等边三角形,如图, 2 C 因为BP=x,所以EF=V6x, A B 所以:=36x,S0)=9x2,x(0, E P 此时L),50)在(0,写上单调递增,且L()s3V2,50)s 当x∈(停,)时载面为六边形,如图: D 设AE=t,则AE=AF=CG=CH=B1N=B1M=t 所以六边形EFGHMNI的周长为:3V2t+3V2(1-t)=3V2为定值: 做NN1⊥平面ABCD于N1,MM1⊥平面ABCD于M1 设平面EFCHMN与平面ABCD所成的角为a,则易c求0sa=号 D 所以SEFDHMN COSa=SPAN,M,CG, 所以SEFDHMN=V3[1-(1-t2-2t=V3(传+t-t2), 在te(0,上递增,在t∈,1)上递减, 所以载面面积的最大值为3传+片-引)=识,此时t=克即x= 所以50)在(停,上递增,在(停,9)上递减x=时,50)最大,为9 当xe(,V)时,易得: )=3V6(3-x,50)=(3-x) 此时(),S)在(,V3)上单调递减,L)<32.S<号 综上可知:AD是正确的,BC错误. 12.0.8 13. 14.9 答案第3页,共7页 12.【详解】因为X~N(4, 2),P(X<3)=0.5,所以4=3, 所以P(X>4)=P(X<2)=0.2,所以P(X<4)=0.8, 13.【详解】令双曲线E的半焦距为c,由离心率为2,得c=2a, 取FB的中点D,连接0D,由|OB1=IOFl,得OD⊥FB,则IOD|=d, 连接F2B,由0为FF2的中点,得BF2/0D,IBF2l=2d,BF2⊥BF1, IF BI 2d 2a, 因此1BF,P+1BR=R,即(2a2+(2d-2a)2=(4a2,整理得白2-吾-是=0, 而>0,所以=5 2 14. ABC的面积为S=)acsinB= (2R)2.sinAsinCsinB, 注意到2R= Fhs=a平=2Xnc所以S=acsinB=(2R)2,sinAsinCsin 2 33 2 因为B,E,F三点共线,所以设AE=AE+(1-)AF, 而点D是BC中点,点E是AD中点, 所以AD=2A正=2AB+2(1-)AF=A店+AC,设A证=uAC, 所以2A正+2(1-)uAC=AB+AC,因为AB,AC不共线, 所以2以=2(1-0加=克解得1=仙=片因为号=光=号发=克 设 AEF的面积为s,则S=片S=9=合 9=号 15.(1)因为an=2an-1+1(n≥2), 所以an+1=2(an-1+1)(n22),又a1+1=2, 所以数列(an+1)为首项为2,公比为2的等比数列, 所以an+1=2n,所以{an)的通项公式为an=2n-1. 2)a=器五=∑器则斯=+6+与++ 由(1)可得bn=所以S=京+是+务+…+, 所。=克+++…+品所,=计片+京+…+品-器 所=+膏器 所以=1+4作-动)-品所以=3-9,所以∑”=3- (=11+a 答案第4页,共7页 16.(1)存在,证明如下: 在四棱柱ABCD-A:B:C1D,中,因为平面ABCD/平面A1B1CD1 所以可在平面A:B1C1D内作C1PICQ, 由平面几何知识可证 CDP兰 CDQ,所以D1P=DQ,可知P是A1D1中点, 因为CPc平面AC,P,所以CQ/平面ACP, 即存在线段A1D的中点,满足题设条件. 满足条件的点只有一个,证明如下: 当CQ/平面ACP时,因为CQ/平面A1B1C1D 所以过C1作平行于C2的直线既在平面A:C1P内,也在平面AB1C1D1内, 而在平面A1B1C1D内过C1只能作一条直线C1PICQ, 故满足条件的点P只有唯一一个 所以,有且只有A1D的中点为满足条件的点P,使直线CQ/平面AC,P (2)过点D作DF⊥BC,垂足为F,又因为DD1⊥平面ABCD, 所以DA,DF,DD两两互相垂直, 以D为坐标原点,分别以DA,DF,DD,所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图的空间直角坐标系D一yz, 则A(2,0,0),P(1,0,2),C1(-1,V3,2),A1(2,0,2),B(3,V3,0), PA=(1,0,-2),PC=(-2,V3,0),A丽=(1,3,0),AA=(00,2) 设平面PAC,的法向量为元=G,y2,则有 P =0,即 x-22=0, 元,PC=0, -2x+V3y=0. 令x=23,得y=4,z=V3,所以元=(2W3,4,3 设平面AB,A1的法向量为元=xy,2).则有丽 元=0即红+V③y,=0, AA1 i=0,2z=0. 令x=3,得y=-1,z=0,所以元=(W3,-1,0) 所以os优m)=调=赏-织 2V31 31 故平面AC,P与平面ABB1A1所成的锐二面角的余弦值为 17.(1)依题意得:每次抛游戏币2落下时正面向上的概率均为 故X~B(作,10),于是E()= 10=多当k=2时,P(X=k)最大 (2)记事件Ak为“第ak枚游戏币向上抛出后,正面朝上”, 则P(Ak)=,k=1,23,Y可取0,12,3.由事件Ak相互独立, 则P(Y=0)=PAA2A=PaP(a2Pa=((1-(1-(1-君)= 答案第5页,共7页 PY=1)=P(AA2A+本A2A+A1A2Ag)=P(AA2A+P(AA2i)+P瓜A2Ag)= (1-) (1-)+(1-) (1-)+(1-(1-用) 对 =xx+x + 得 PY=2)=P(aA2+P(24)+PaA24)=x (1-月+x(1-) +(1-) xg =x+ + = P(Y=3)=P(AA2A3)=xx= 故分布列为: 0 2 5 23 3 1 16 48 16 48 (3)不妨假设按照a1,a2,…,an的顺序抛这n枚游戏币: 记抛第ak枚游戏币后,正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为P,k=1,2, ,n: 于是P=Pk-1(1-动)+1-Pe-)京=Pe-1-安+元-安=(1-)P-1+式 即Pe=《g.P-1+录即kPk=k-1)Pe-1+k≥2 记bk=kPk,则be-bk-1=k22, 故数列(bn}为首项是1 P=公差为的等差数列: 故bk=+(k-1) =克则kP= 故Pk=k=1,23,…,n,则R=因此公平. 18.(1)当a=0时,f)=nx-x,则f'()=-1,所以k=f'(1)=0, 又f(1)=-1,所以切线方程为y+1=0. (2)f')=-1=兰,当0<x<1时,f'()>0,f)单调递增: 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)≤f(1)=-1+a,又f(x)<0, 所以-1+a<0,即a<1,所以a的取值范围为(-m,1) (3)由f(x)+x≤(x-1)e*-a+1可得(x-1)ex-a-lnx+1-a≥0, 即证当0<a≤1,x≥1时,(x-1)ex-a-lnx+1-a≥0, 答案第6页,共7页