13.4课题学习 最短路径问题 将军饮马课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

最短路径之饮马返厩 万载县罗城初级中学 邬晓荣 由NordriDesign提供 www.nordridesign.com LOGO 欣赏 古从军行 “白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。 LOGO 将军饮马 欣赏 LOGO 复习 1、直线公理 两点确定一条 。 直线 LOGO 复习 2、线段公理 两点之间线段 。 两点的所有连线中，线段最短。 连线1 连线2 连线3 连线4 最短 LOGO 复习 3、画点的对称点 如右图， 性质一：对称点的连线段会被对称轴垂直平分。 性质二：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 LOGO 复习 4、什么是平移 所谓平移，就是把一个物体沿某直线方向移动一定的距离。 LOGO 复习 5、平行四边形的对边 相等 AB=CD BC=AD LOGO 复习 6、三角形内的不等式 AB+AC>PB+PC （课本P29题9） 延长BP交AC于点D 在△ABD中，AB+AD>BD，即AB+AD>PB+PD ① 在△DPC中，PD+CD>PC ② ①＋②得，AB+AD+PD+CD>PB+PD+PC 整理得，AB+AC>PB+PC即三角形两边之和大于，内部任一点到第三边两端点的距离之和。 LOGO 饮马返厩 之一： 如左图，马群在 A 处，牧马人需赶马群到小溪 l 处饮水，然后回马厩 B 处。求最短的路径。 如右图，连接A、B，交 l 于C，即在C处饮马，A→B直线路径最短。 LOGO 饮马返厩 之二： 如左图，马群在 A 处，牧马人需赶马群到小溪 l 处饮水，然后返回马厩 B 处。求最短的路径。 如右图，作点B关于 l 的对称点B’，连接A、B’交 l 于C，即在C处饮马，A→C→B直线路径最短。 LOGO 饮马返厩 之三： 如左图，马群在 A 处，牧马人需赶马群到小溪 l 处饮水，然后返回马厩 B 处。现处旱季，且小溪边水草丰茂，牧马人决定沿小溪走100m 后再返回马厩。求最短的路径。 如右图，点A沿 l 平行方向向右平移100m至A’, 作A’关于 l 的对称点A”，连接A” 、B交 l 于C’，C’左平移100m 至C，则在C处开始饮马，C’处离开，A→C→C’→B直线路径最短。 LOGO 饮马返厩 之四： 如左图，马群在 A 处，牧马人需赶马群到大河处饮水，然后回马厩 B 处。为了安全起见，马群需以最短时间过河。求最短的路径。 如右图，点A垂直向河平移 “河宽”的长度至A’, 连接A’、B交河对岸 b于点C’,作C’C⊥a于点C，则在C处开始饮马过河，C’处离开，A→C→C’→B直线路径最短。 LOGO 饮马返厩 之五： 如左图，由于地形和饮马的需要，牧马人上午赶马群往小溪OE方向牧马并饮马，下午往小溪OF方向牧马并饮马，最后返回马厩A(B) 处。求最短的路径。 如右图，分别作点A关于OE、OF的对称点A’,A”, 连接A’、A”分别交OE、OF于点C、C’，则上午在C处饮马，下午在C’处饮马，A→C→C’→A直线路径最短。 LOGO 饮马返厩 之六： 如左图，由于地形和饮马的需要，牧马人上午从A处赶马群往小溪OE方向牧马并饮马后，下午往小溪OF方向牧马并饮马后，再回马厩B处。求最短的路径。 如右图，作点A关于OE的对称点A’,作点B关于OF的对称点B’, 连接A’、B’分别交OE、OF于点C、C’，则上午在C处饮马，下午在C’处饮马，A→C→C’→B直线路径最短。 LOGO 饮马返厩 思考： 如左图，由于地形和饮马的需要，牧马人上午从A处赶马群往小溪OE方向牧马并饮马后，下午往小溪OF方向牧马并饮马后，再回马厩B处。求最短的路径。 当∠EOF变大时，A’B’与OE、OF还会有交点吗？ LOGO 饮马返厩 思考： 如左图，由于地形和饮马的需要，牧马人上午从A处赶马群往小溪OE方向牧马并饮马后，下午往小溪OF方向牧马并饮马后，再回马厩B处。求最短的路径。 分析：随着∠EOF的增大，∠A'OB'也逐渐增大，且P与Q会向点O靠近。注意到∠EOF=（∠AOE+∠BOF）+∠AOB. (1)、当∠A'OB'<180°时，此时2∠AOE+∠AOB+2∠BOF<180°，∠AOE+∠BOF<90°-(∠AOB/2)，即∠EOF<90°+(∠AOB/2)，A'B'与射线OE、OF分别交于P、Q，即有两交点。 (2)、当∠A'OB'=180°时，此时2∠AOE+∠AOB+2∠BOF=180°，∠AOE+∠BOF=90°-(∠AOB/2)，即∠EOF=90°+(∠AOB/2)时，A'B'与射线OE、OF交于O，即有一个交点。 (3)、当∠A'OB'>180°时，此时2∠AOE+∠AOB+2∠BOF>180°，∠AOE+∠BOF>90°-(∠AOB/2)，即∠EOF>90°+(∠AOB/2)时，A'B'与射线OE、OF无交点。 LOGO 饮马返厩 思考： 如左图，由于地形和饮马的需要，牧马人上午从A处赶马群往小溪OE方向牧马并饮马后，下午往小溪OF方向牧马并饮马后，再回马厩B处。求最短的路径。 分析： (1)、当∠EOF<90°+∠AOB/2时，A'B'与射线OE、OF分别交于P、Q。 线路A→P→Q→B为最短路径。 LOGO 饮马返厩 思考： 如左图，由于地形和饮马的需要，牧马人上午从A处赶马群往小溪OE方向牧马并饮马后，下午往小溪OF方向牧马并饮马后，再回马厩B处。求最短的路径。 分析： (2)、当∠EOF=90°+∠AOB/2时，A'B'与射线OE、OF交于O。 线路A→O→B为最短路径。 LOGO 饮马返厩 思考： 如左图，由于地形和饮马的需要，牧马人上午从A处赶马群往小溪OE方向牧马并饮马后，下午往小溪OF方向牧马并饮马后，再回马厩B处。求最短的路径。 分析： (3)、当∠EOF<90°+∠AOB/2时，A'B'与射线OE、OF无交点。 每当确定了点P，则连接PB'交OF于点Q，此时的路线局部最优。 由复习6可知，P2比P1更优，也就是说，点P越靠近点O，路线越短。故线路A→O→B为最短路径。 LOGO 饮马返厩 作业： 课本P93页第15题。 LOGO 感谢您的关注 LOGO Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) Lavf58.46.101 $$