1.1探索勾股定理（教案）-2024—2025学年北师大版数学八年级上册

探索勾股定理 （一）学情分析： 在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形，八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强。 （二）教学任务分析： 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 （三）教学目标： 1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 4．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. （四）教学重点难点 教学重点：探索勾股定理及定理简单应用； 教学难点：用拼图方法证明勾股定理 （五）教学过程： 创设情境，明确目标 2002年国际数学大会在我国北京召开，它是世界上最高水平的数学科学学术会议，被誉于数学的“奥运会”，会徽图案蕴含了人类伟大的发现，它有什么含义呢？意图：紧扣课题，承上启下，自然引入，板书课题。效果：渗透爱国主义教育，激发起学生的求知欲和爱国热情.内容2相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边之间的某种数值关系（动画演示，引导学生从面积角度观察图形）意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究为自主探究做好铺垫. 展示交流、点拨提升 议一议 请同学们拿出我们课前准备的四个全等的直角三角形，以小组为单位，能否今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形. 用拼图的方法验证这个结论，请小组代表展示实践结果。 ( a a b b c c ) ( a b c b c b c b c a a a ) ( a b c a b c b a c a b c ) ( c a b c a b c a b c a b ) 师生互动：教师组织学生拼图验证结论，巡视参与并引导提示：①所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示②所拼图形的面积要用两种不同方法表示，并用等号连结，化简验证； 效果：学生小组交流，动手拼图验证结论，小组代表展示实践结果；师生共同评价，概括归纳勾股定理。 自主探究，归纳结论 ( A B C A B C )探究活动一：探索等腰直角三角形三边之间的关系，完成表格 A的面积 B的面积 C的面积 图1 图2 A、B、C面积关系 等腰直角三角形三边关系 （3）你是怎样得到正方形C的面积的？说一说．（学生可能会做出多种“割”或“补”的方法，教师应给予充分肯定．）学生通过观察，归纳发现： 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 师生互动：教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现方法。 效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 探究活动二 ： 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？师生互动：教师提出问题，引导学生类比上述方法探索，学生思考、动手探索、计算回答问题，师生共同评价，归纳结论。 ( A B C )探索一般的直角三角形三边之间的关系，填空： 如图SA= = 2 SB= = 2 SC= = 2 SA+SB SC 2+ 2 = 2 （1）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．） 图1　　　　　 图2　　　　　 　 图3（2）分析填表的数据，你发现了什么？ 结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个简单的交流环节。效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2. 做一做 内容：（1）你能用直角三角形的边长，，来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ （3）分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理） 意图：引导学生在纸上做直角三角形，通过测量、计算来验证结论的正确性，这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度。 效果：1．通过作图培养学生的动手实践能力，进一步验证结论。 2．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。；想一想1.勾股定理的使用条件？（只适用于直角三角形，而一般的三角形不一定适用。）2.勾股定理可以用来解决什么问题？（已知直角三角形的两边，求第三边的问题） 达标测评、巩固提高 抢答：1.求下列图中正方形的面积和边长。 2.求下列直角三角形中未知边的长。 3.下列阴影部分是一个正方形，求正方形的面积。 ( 15 厘米 17 厘米 ) 师生互动，拓展延伸 师生互动：学生介绍古今中外对勾股定理的证明方法：还有那些拼图验证的方法？ “赵爽弦图”（内敛）、“毕达哥拉斯树”（张扬），拓展学生的知识面，（感受无字证明） 意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）使学生了解东西方思维方式及文化具有差异性，让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛。 效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪。 归纳小结：谈谈你的收获 （1）这一节课我们经历了怎样的过程？学习了哪些知识和思想方法？有什么感想？（2）对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流。在学生自由发言的基础上，师生共同总结：本节课我们经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动。效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识。 作业布置 A组：（必做题）习题1.2 1 ，2，3题。 B组：（选做题）课本问题解决1, C组：（探究题）印度数学家什迦逻曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题。 学科网（北京）股份有限公司 1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. ① 81 144 x y z ② ③ 625 576 144 169 2.求下列直角三角形中未知边的长: 8 x 17 16 20 x 12 5 x $$