几何证明题思路及常用定理讲义2024年九年级中考数学复习

【初中数学】几何大题的证明思路及常用原理汇总 （人教版） 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： 1.正向思维（由因导果）。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 2.逆向思维（执果索因）。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 3.正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？ 要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键… *表示证明题不能直接使用的二级结论 一、证明两线段相等： 0.能够完全重合的两线段相等。 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 *8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 ∵∆ADE~∆ABC且相似比为1:2， ∴E为AC中点 9.同圆（或等圆）中等弧、或等圆心角所对的弦相等。 *10.同圆（或等圆）中与圆心等距的两弦相等。 ∵RT∆OMB≌RT∆OND ∴BM=CN ∴AB=CD *11.同圆（或等圆）中等圆周角所对的弦相等。 ∵∠M=∠N ∴∠AOB=∠COD ∴AB=CD 12.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等. 13.圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 14.圆内平分弧的直径也会垂直平分弧所对的弦。 ∵ ∴∠AOM=∠BOM，而OA=OB ∴ON⟂AB，AN=BN 15.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *16.两圆的内（外）公切线的长相等。 ∵OA、OC是⊙O1的切线 ∴OA=OC同理，OB=OD，且OO1平分∠BOD，OO2平分∠BOD ∴AB=CD，且O、O1、O2共线 ∵YE、YG是⊙O1的切线 ∴YE=YG同理，YF=YH ∴EF=GH，且Y、O1、O2共线 17.等于同一线段的两条线段相等。 2、 证明两个角相等： 0.能够完全重合的两角相等。 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角 5.平行四边形的对角相等。 6.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 7.同圆（或等圆）中，等弦（或等弧）所对的圆心角相等。 *8.同圆（或等圆）中，等弦（或等弧）所对的圆周角相等。 ∵AB=CD ∴∠AOB=∠COD ∴∠M=∠N *9.弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 ∵PT切⊙O于点P ∴OP⟂PT，∠QPT+∠APQ=90° ∵∠Q=90°，∠APQ+∠A=90° ∴∠QPT=∠A 10.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 11.相似三角形的对应角相等。 *12.圆的内接四边形的外角等于内对角。 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠B+∠ADC=180° 又∵∠ADT+∠ADC=180° ∴∠ADT=∠B 13.等于同一角的两个角相等。 三、证明两条直线互相垂直： 1.两条直线相交成直角则两直线垂直。 *2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 ∵OA=OB=OC ∴点A、B、C共圆且AC为直径 ∴∠ABC=90° 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 *4.邻补角的平分线互相垂直。 ∵OD、OE分别平分∠AOC、∠COB ∴ *5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 ∵a⟂l ∴1=90° ∵ ∴2=90° 6.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。 *11.在圆中平分弧的直径垂直于弦。 ∵ ∴∠AOM=∠BOM，而OA=OB ∴ON⟂AB 11.利用半圆上的圆周角是直角。 四、证明两直线平行： 1.平面内，不相交的两直线平行。 *2.平面内，垂直于同一直线的两直线平行。 ∵a⟂l b⟂l ∴1=2=90° ∵ 3.平行于同一直线的两直线平行。. 4.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 5.平行四边形的对边平行。 6.三角形的中位线平行于第三边。 *7.梯形的中位线平行于两底。 ∵梯形ABCD中，作AMCD，E、N、F都是中点 ∴有平行四边形AMCD，ANFD，NFMC；ENBM ∴ ∴E、N、F共线，EF即为梯形中位线 *8.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 ∵，A为公共角 ∴∆ADE~∆ABC ∴ADE=B ∴DEBC 五、证明线段的和差倍分： 1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。 5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。 六、证明角的和差倍分： 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分线的定义。 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 七、证明线段不等： *1.同一三角形中，大角对大边。 已知C>B，作BC的垂直平分线EF，则EC=BE，故AB=AE+EC>AC，即AB>AC 2.垂线段最短。 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 *4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 ∆ABC与∆ABD中，AC=AD，∠BAD>BAC 则BCD>BDC，∴BD>AC *5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。 ∵∴∠AOC >∠AOB，∴AC>AB ∴OA×COS∠AOE>OA×COS∠AOF 即OE>OF 6.全量大于它的任何一部分。 八、证明两角的不等： *1.同一三角形中，大边对大角。 已知AB>AC，作AC边关于BAC的平分线的对称部分，则C=C’E>B 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。 *3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。 *4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 九、证明比例式或等积式： 1.利用相似三角形对应线段成比例。 *2.利用内外角平分线定理。 ∵AD平分∠BAC ∴ ∵AD平分∠GAC ∴ 3.平行线截线段成比例。 *4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。 ∵∆ACD~∆ABC ∴ ∵∆ACD~∆CBD ∴ ∵∆CBD~∆ABC ∴ *5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。 ∵∠A=∠D ∴∆ACD~∆ABC ∴PD ∵TP切⊙O于点P ∴∠TPQ=∠THP ∴∆TPQ~∆THP ∴TH 由切割线定理有 6.利用比例式或等积式化得。 十、证明四点共圆： *1.对角互补的四边形的顶点共圆。 已知圆的内接四边形对角互补。 反证法。 *2.外角等于内对角的四边形内接于圆。 *3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。 已知∠BAC=∠BCD， 可证得对角互补。 *4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。 ∵∆ACB、∆ADB是直角三角形 ∴OD=OA=OC=OB ∴A、B、C、D共圆 5.到顶点距离相等的各点共圆。 学科网（北京）股份有限公司 $$