2.1有理数的加法与减法复习讲义-　2024—2025学年人教版数学七年级上册

2.1有理数的加法与减法复习讲义-数学七年级上册人教版（2024） 知识梳理 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 典例分析 1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)23 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟知运算法则及加法的运算律是正确解决本题的关键． 各个小题均先根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，然后交换加数位置，进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 精选好题 一、单选题 1．将数轴上一点A沿数轴向左平移7单位到点B，再由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点，则点A表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．比小3的数是（    ） A． B． C．0 D．2 3．不改变原式的值，将写成省略加号的和的形式是（ ） A． B． C． D． 4．大于且小于的整数的和为（　　） A．0 B． C． D． 5．下列各组数中，相加等于0的是（   ） A．与 B．1与 C．2与 D．1与 6．已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 7．设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 8．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 二、填空题 9．计算 10．若、互为相反数， ． 11．绝对值大于3，且小于5的整数有 ，这些整数的和为 12．若，则的值为 ． 13．比较：，，的大小，用“”连接起来： ． 14．如图，A，B两点在数轴上(A在B的右侧)，点A表示的数是2，，点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数是 ． 15．将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 ．    16．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程的值是 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．下表列出了国外几个城市与北京的时差，如果现在的北京时间是，那么： 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h (1)现在的东京时间是多少？ (2)小丽现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？ 20．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 21．还记得小时候经常玩的填数游戏吗？一起用有理数来试试吧！ (1)请在图①的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个数的和； (2)如图②，在圆圈内填上恰当的数，使每条线上的3个数之和为0； (3)如图③，将中心处的0改为，那么怎样填写才能使每条线上的3个数之和为？ 22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数和的两点之间的距离是4，则的值为______． (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B B A D B C 1．D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离距离计算，根据题意可得点C向左平移6个单位得到点B，点B向右平移7个单位得到点A，据此求解即可． 【详解】解：∵由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点， ∴点B表示的数为， ∵点A沿数轴向左平移7单位到点B， ∴点A表示的数为， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查有理数减法的应用，根据题意列式计算即可． 【详解】比小3的数是， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了省略加号的和的形式，正确理解省略加号和括号的形式是正确进行加减运算的基础．根据多重符号的化简法则即可把每个加数中的括号去掉，从而得到． 【详解】解：， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数比较大小，先根据题意求出大于且小于的整数，再把这些整数求和即可． 【详解】解：大于且小于的整数有， ∴大于且小于的整数的和为， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查绝对值相反数的定义，以及有理数的加法运算，根据相反数的定义及绝对值的定义先化简，再求和即可解答． 【详解】A、，故选项A符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 6．D 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】∵，，且， ∴或， ∴或 ， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数的加法运算，分为整数和不是整数两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当为整数时：，， ∴， 当不是整数时，例如：， 则：，， ∴； 综上：等于0或； 故选B． 8．C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 9． 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，绝对值的意义，根据绝对值的意义和有理数减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了相反数的定义及有理数加法，掌握相反数的性质是解答本题的关键．根据互为相反数的两个数的和为解答即可． 【详解】解：因为、互为相反数， 所以， 所以， 故答案为：． 11． 0 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法运算，注意掌握互为相反数的两个数的绝对值相等，互为相反数的两个数的和是0，难度适中．绝对值大于3且小于5的整数绝对值有4，因为的绝对值是4，又因为互为相反数的两个数的和是0，即可得到答案． 【详解】解：∵绝对值大于3而小于5的整数为：， ∴其和为：， 故绝对值大于3且小于5的所有整数的和为0． 故答案为：；0． 12． 【分析】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）算术平方根．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 根据非负数的性质列出方程求出x和y的值，再根据加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查有理数的大小比较、有理数的减法、化简多重符号，掌握有理数大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， 可知，， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示数等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，在数轴上表示数是解题的关键． 由题意知，，则点C表示的数是，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 15．23 【分析】本题主要考查了宫格数阵问题．熟练掌握数阵链特点，尝试填数，是解决问题的关键． 根据中间三个数加了两次，和最大是24 ，9个数的和为45，即可求出每条线上数的和最大为23，据此尝试填数（答案不唯一）． 【详解】由图可知，中间三个数加了两次，这三个数的和最大是： ， ∵数字的和为：， ∴． ∴每条线上的4个数的和最大为23． 故答案为：23．    16． 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键．依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是： 故答案为：． 17．(1) (2)80 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）先把减法运算统一成加法运算，再负数与负数结合，正数与正数结合计算，最后根据异号两数相加的运算法则计算即可； （2）先根据有理数的减法法则、绝对值的定义计算，再让互为相反数的两个数结合，正数与正数结合计算，最后根据0加上任何数都等于这个数即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算统一成加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法运算统一成加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1)现在的东京时间是 (2)不合适 【分析】本题主要考查了有理数加减运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：（时）， 答：现在的东京时间是． （2）解：（时）， 因此巴黎现在是，小丽打电话不合适． 20．(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法．根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则求出与数字相邻的圆圈里的数，然后依此类推即可求解． （2）根据0两边的数互为相反数求解，答案不唯一． （3）两边的数相加为，答案不唯一． 【详解】（1）解：如图①所示 （2）如图②所示，答案不唯一 （3）如图③所示，答案不唯一 22．(1)6，7 (2)2或 (3)有，最小值为4 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，绝对值方程，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可； （3）由于所给式子表示x到和3的距离之和，当x在和3之间时和最小，故只需求出和3的距离即可． 【详解】（1）解：解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是，数轴上表示 2 和的两点之间的距离是， 故答案为：6，7； （2）解：根据题意，得：， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或2； （3）解：∵表示x到和3的距离之和， ∴当x在和3之间时距离和最小，最小值为， 故有最小值，最小值为4． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$