第5单元圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第5单元圆讲义-数学六年级上册人教版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 1、 圆的认识 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1÷2。用字母表示为：d=2r或r=d÷2 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是： 长方形；只有3条对称轴的图形是： 等边三角形；只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 １１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。 二、圆的周长  1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）。 发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即３倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母π表示。 3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。　 4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd   (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d = C ÷π或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍， 用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C ÷ 2π） 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)、周长的一半：等于圆的周长÷2  计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r） 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。 2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。　长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 3、圆面积的计算方法： 因为：长方形面积  = 长 ×宽 所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 即S = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr2 圆的面积公式：S圆 =πr2→ 　　  r2 = S÷ π 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度.) 圆环 = πR2 -πr2 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　 10、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 第二部分 典型例题 1．在办公楼前一块长为20米，宽为18米的长方形空地上，要修建一个周长是31.4米的圆形喷水池，剩下的面积种草，请计算出种草的面积是多少平方米？ 【答案】281.5平方米 【分析】种草的面积＝长方形的面积－圆的面积。长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。根据圆的周长＝，得出圆的半径是5米，再根据圆的面积＝得出的圆的面积，相减即可得出种草的面积。 【详解】20×18＝360（平方米） 31.4÷3.14÷2＝5（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 360－78.5＝281.5（平方米） 答：种草的面积是281.5平方米。 2．一个木工要做一张能坐10人的圆桌，按每人座位宽约62.8厘米计算，这张圆桌的面积约是多少平方米？如果给这张圆桌配一块同样大小的玻璃，每平方米玻璃售价为600元，这块玻璃大约需要多少钱？ 【答案】3.14平方米；1884元 【分析】每人座位宽约62.8厘米计算，用乘法得出10个人的宽就是628厘米，也就是圆的周长是628厘米。根据圆的周长＝得出圆的半径，再根据圆的面积＝，代入数据得出圆的面积。每平方米玻璃售价为600元，先换算单位将31400平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，低级单位转化为高级单位用除法得出圆桌是3.14平方米，再用乘法得出需要的钱数。 【详解】62.8×10÷3.14÷2 ＝628÷3.14÷2 ＝200÷2 ＝100（厘米） 3.14×1002＝31400（平方厘米）＝3.14（平方米） 3.14×600＝1884（元） 答：这块玻璃大约需要1884元。 第三部分 跟踪训练 一、选择题 1．下面四个圆中，（    ）面积最小。（π取3.14） A．直径3厘米的圆 B．半径2厘米的圆 C．周长3.14厘米的圆 D．面积3.14平方厘米的圆 2．学校要为一个面积为50m2的圆形花坛安装自动旋转喷灌装置，以下几种射程的旋转喷灌装置，你认为选（    ）的比较合适。（装置都安装于圆心处） A．1m B．2m C．3m D．4m 3．把一个圆平均分成若干个扇形（偶数个），可以拼成一个近似的长方形，近似的长方形的长相当于（    ）。 A．圆的半径 B．圆的直径 C．圆的周长 D．圆的周长的一半 4．如下图， 图①图②图③，比较空白部分与图形总面积的比值，关系正确的是（    ）。 A．图①＜图②，图①＞图③ B．图①＝图②，图①＞图③ C．图①＝图②，图①＞图③ D．图①＝图②＝图③ 5．圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长就扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的（ ）。 A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍 6．《九章算术》中记载着一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”。意思是：圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差。这种方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）。在这个过程中，面积保持不变。如果梯形的上底是6.28米，下底是12.56米，那么圆环形地垫的面积是（    ）平方米。 A．6.28 B．9.42 C．18.84 D．37.68 二、填空题 7．如图，把一个半径是10cm的圆平均分成若干份（偶数），从圆心剪开拼成一个近似的长方形后，长方形的周长是( )，面积是( )。 8．如下图所示，圆的周长是( )cm，圆的面积是( )cm2。 9．一个圆的面积是28.26cm2，它的周长是( )cm。 10．在一张边长是6cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 11．一台时钟的分针长6cm，经过2小时，分针的尖端走了( )cm。 12．大圆的半径是3厘米，小圆的半径是2厘米，小圆面积是大圆面积的( )。 三、判断题 13．当圆的直径和正方形的边长相等时，正方形的面积比圆的面积大。( ) 14．是我国历史文化遗产《易经》中的主要图像——太极图，图中黑白两部分的周长和面积分别相等。( ) 15．圆与正方形面积相等，则圆的周长比正方形短。( ) 16．圆的半径从4厘米增加到6厘米，圆的面积增加了6.28平方厘米。( ) 17．直径为3cm的圆的圆周率比直径为2cm的圆的圆周率大。( ) 四、计算题 18．求阴影部分的面积。 五、解答题 19．一个圆形花坛的周长是37.68m，在它的里面按5∶3的面积比种植百合花和玫瑰花。花坛里百合花和玫瑰花的面积各是多少？ 20．在周长是50.24米的圆形水池周围修一条宽2米的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 21．如图所示，圆的周长是31.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等。图中阴影部分的周长是多少厘米？ 22．礼堂里的一扇窗户，上面是一个半圆，下面是一个长方形。已知长方形的长是1.6米，宽是1.2米。这扇窗户的面积大约是多少平方米？ 23．如图，儿童公园有一个圆形花圃，在它的周围铺一些半径1米的圆形砖块。铺砖的面积一共是多少平方米？ 共12个圆形花圃 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D D D C B 1．C 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2可知，半径越小的圆，面积就越小；根据半径＝直径÷2，半径＝周长÷π÷2，半径的平方＝圆的面积÷π，求出各选项中圆的半径，比较大小，得出结论。 【详解】A．半径：3÷2＝1.5（厘米） B．半径2厘米的圆； C．半径： 3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（厘米） D．半径的平方：3.14÷3.14＝1（平方厘米） 因为1＝1×1，所以圆的半径是1厘米； 综上所述，0.5＜1＜1.5＜2； 周长3.14厘米的圆的半径最小，那么它的面积也最小。 故答案为：C 【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，明确圆的面积大小是由圆的半径大小决定。 2．D 【分析】分别计算选项中旋转喷灌装置的喷灌面积，喷灌面积接近50m2的装置最合适。 【详解】A．（m2）； B．（m2）； C．（m2）； D．（m2）。 故答案为：D 【点睛】掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。 3．D 【分析】如图，把一个圆剪拼成近似的长方形，这个长方形的长等于圆的周长的一半（πr），宽等于圆的半径（r），长方形面积＝圆的面积，长方形面积＝长×宽，所以圆的面积＝πr×r＝πr2，据此分析。 【详解】根据分析，把一个圆平均分成若干个扇形（偶数个），可以拼成一个近似的长方形，近似的长方形的长相当于圆的周长的一半。 故答案为：D 【点睛】关键是熟悉并理解圆的面积公式推导过程。 4．D 【分析】分别计算出三个图形中空白部分与图形总面积的比值，找关系即可。 【详解】把图①、图②中正方形的边长看作2，则图①中半圆的半径是1，图②中圆的半径是2÷4＝0.5，图③中长方形的长看作2，则半圆的半径是1。 图①（3.14×12）∶（2×2）＝3.14∶4＝ 图②（3.14×0.52×4）∶（2×2）＝3.14∶4＝ 图③（3.14×12÷2）∶（2×1）＝1.57∶2＝＝ 所以图①图②图③，空白部分与图形总面积的比值是相等的。 故选择：D。 【点睛】此题主要考查有关圆的面积计算以及比值的算法，牢记圆的面积计算公式是解题关键。 5．C 【分析】根据题意，可设圆的半径为r，然后再根据圆的面积公式计算出圆的面积和半径扩大3倍后的圆的面积，然后再用扩大后的面积除以圆原来的面积即可得到答案。 【详解】解：设圆的半径为r， 圆的面积为：πr2， 半径扩大3倍后的面积为：π（3r）2＝9πr2， 扩大后的面积是原来面积的：9πr2÷πr2＝9倍； 故答案为：C 6．B 【分析】依据题意结合图形可知，梯形的上底等于内圆的周长，梯形的的下底等于外圆的周长，利用圆的周长＝3.14×半径×2，分别计算内圆，外圆的半径，进而求出内外半径差，然后根据圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，代入数据解答即可。 【详解】内圆的半径：6.28÷3.14÷2＝1（米） 外圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（米） （6.28＋12.56）÷2×（2－1） ＝18.84÷2×1 ＝9.42（平方米） 地垫的面积是9.42平方米。 故答案为：B 7． 82.8cm/82.8厘米 314cm2/314平方厘米 【分析】根据题意，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加了2条宽的长度，即增加了2个半径的长度，所以长方形的周长＝圆的周长＋半径×2，根据圆的周长公式C＝2πr求解。 圆的面积与长方形的面积相等，根据圆的面积公式S＝πr2，即可求出长方形的面积。 【详解】长方形的周长： 2×3.14×10＋10×2 ＝62.8＋20 ＝82.8（cm） 长方形的面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（cm2） 长方形的周长是82.8cm，面积是314cm2。 8． 25.12 50.24 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（cm） 3.14×42＝50.24（cm2） 则圆的周长是25.12cm，圆的面积是50.24cm2。 【点睛】本题考查圆的面积和周长，熟记公式是解题的关键。 9．18.84 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，可知r2＝S÷π，由此求出半径的平方，进而得出圆的半径； 再根据圆的周长公式C＝2πr，求出它的周长。 【详解】半径的平方：28.26÷3.14＝9（cm2） 因为9＝3×3，所以这个圆的半径是3cm。 圆的周长：2×3.14×3＝18.84（cm） 它的周长是18.84cm。 【点睛】本题考查圆的面积、周长公式的灵活运用，求出圆的半径是解题的关键。 10． 6 3 【分析】正方形纸上剪下一个最大的圆，圆的直径＝正方形边长，直径÷2＝半径，据此分析。 【详解】6÷2＝3（cm） 这个圆的直径是6cm，半径是3cm。 11．75.36 【分析】2小时分针正好旋转了2周，所以2小时走过的路程，就是指以6cm为半径的圆的周长的2倍．利用圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×6×2×2 ＝18.84×2×2 ＝37.68×2 ＝75.36（cm） 一台时钟的分针长6cm，经过2小时，分针的尖端走了75.36cm。 12． 【分析】先求大圆的面积。圆的面积＝πr²，大圆半径是3厘米，则大圆面积S1＝π×32。再求小圆的面积，小圆半径是2厘米，则小圆面积S2＝π×22。最后求小圆面积是大圆面积的几分之几，小圆面积与大圆面积的比值为＝＝。 【详解】综上分析所述，大圆的半径是3厘米，小圆的半径是2厘米，小圆面积是大圆面积的。 13．√ 【分析】根据圆的面积公式：πr2，圆的直径与半径的关系：d＝2r，正方形的面积公式：边长×边长，假设圆的直径是2，分别求出圆和正方形的面积，比较即可。 【详解】假设圆的直径是2。 半径：2÷2＝1 圆的面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14 正方形的面积：2×2＝4 3.14＜4 即圆的面积＜正方形面积，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查圆的面积和正方形的面积，要熟记公式，灵活运用假设法解题。 14．√ 【详解】略 15．√ 【分析】假设正方形的边长是1，就能求出正方形的周长和面积，也能求出圆的面积和半径，进而求出圆的周长，比较两个周长，此题即可解决。 【详解】假设圆和正方形的面积都是1，则正方形的边长是1， 圆的半径为r：3.14×＝1， 解得＝0.564； 圆的周长：2×3.14×0.564＝3.542， 正方形的周长：4×1＝4， 因为3.542＜4，所以圆的周长比正方形的短。 故答案为√。 【点睛】当题干没给任何具体数值时，可以用假设法来解决。 16．× 【分析】先求出半径为4厘米时圆的面积。圆的面积公式为S＝πr2，当半径，r＝4厘米时，此时圆的面积S1＝π×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）；再求出半径为6厘米时圆的面积，当半径r＝6厘米时，圆的面积S2＝π×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）；最后计算增加的面积：113.04－50.24＝62.8（平方厘米） 【详解】圆的半径从4厘米增加到6厘米，圆的面积增加了6.28平方厘米，但综上分析所述，增加的面积为62.8平方厘米，远大于6.28平方厘米，这个说法是错误的。 故答案为：× 17．× 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，π是一个常数（约等于3.14），它是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。 【详解】圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个固定的值，直径为3cm的圆的圆周率和直径为2cm的圆的圆周率一样大，所以原题说法错误。 故答案为：× 18．12.56；13.76；7.74 【分析】（1）利用“”表示出环形的面积，阴影部分的面积占整个环形面积的； （2）空白部分合在一起是一个整圆，圆的半径等于正方形边长的一半，阴影部分的面积＝正方形的面积－空白部分圆的面积； （3）空白部分圆的半径等于正方形边长的一半，利用“”表示出圆的面积，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，据此解答。 【详解】（1）3.14×[（3＋2）2－32]× ＝3.14×[52－32]× ＝3.14×16× ＝3.14×（16×） ＝3.14×4 ＝12.56 （2）8×8－3.14×（8÷2）2 ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76 （3）6×6－3.14×（6÷2）2 ＝6×6－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74 19．百合花的面积是70.65平方米，玫瑰花的面积是42.39平方米。 【分析】先算出这个圆形花坛的半径是多少，再根据圆的面积公式，算出这个花坛的面积是多少，根据百合花的占比乘上花坛面积，即可算出花坛里百合花的面积，再用花坛总面积减去百合花的面积，即可算出玫瑰花的面积。 【详解】37.68÷2÷3.14 ＝12÷2 ＝6（米） 3.14× ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 百合：113.04×＝70.65（平方米） 玫瑰：113.04－70.65＝42.39（平方米） 答：花坛里百合花的面积是70.65平方米，玫瑰花的面积是42.39平方米。 【点睛】此题考查了圆的周长公式和面积公式。 20．113.04平方米 【分析】根据圆环面积＝外圆面积－内圆面积，先求出圆形水池的半径，圆形水池的半径加上路宽就是外圆半径，利用圆的面积公式，然后把数据代入公式解答。 【详解】圆形水池的半径： 50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（米） 小路的面积： 3.14×[（8＋2）2－82] ＝3.14×[100－64] ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这条小路的面积是113.04平方米。 21．39.25厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝长方形的长（CD的长度）＋长方形的宽（BC的长度）＋AB＋半径是OA的圆的周长的，因为圆的面积与长方形的面积正好相等，长方形的宽相当于圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，再结合圆的周长公式：C＝2πr，据此可知长方形的长相当于圆的周长的一半，即长方形的长（CD的长度）＝31.4÷2＝15.7厘米；再根据圆的周长的计算方法求出圆的半径，即长方形的宽（BC的长度）；AB＝长方形的长－OA（半径的长度），据此进行计算即可。 【详解】31.4÷2＝15.7（厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 15.7－5＝10.7（厘米） 31.4×＝7.85（厘米） 15.7＋5＋10.7＋7.85 ＝20.7＋10.7＋7.85 ＝31.4＋7.85 ＝39.25（厘米） 答：阴影部分的周长是39.25厘米。 22．2.4852平方米 【分析】观察图形可知，这扇窗户的面积＝半圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【详解】半圆的面积： 3.14×（1.2÷2）2÷2 ＝3.14×0.36÷2 ＝0.5652（平方米） 长方形的面积： 1.6×1.2＝1.92（平方米） 窗户的面积： 0.5652＋1.92＝2.4852（平方米） 答：这扇窗户的面积大约是2.4852平方米。 【点睛】本题考查组合图形面积的求法，分析组合图形是由哪些基本图形组成，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，根据图形面积公式解答。 23．37.68平方米 【分析】铺砖的面积＝每个圆形砖块的面积×圆形砖块的个数，其中每个圆形砖块的面积＝πr2，据此代入数据作答即可。 【详解】3.14×12×12 ＝3.14×12 ＝37.68（平方米） 答：一共是37.68平方米。 【点睛】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$