2.2 .2配方法(2)课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

2.2 用配方法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第2课时 配方法(2) 九年级上册数学(北师版) 复习导入 上节课我们学习了配方法解一元二次方程的基本步骤: 例如, x2 - 6x–40 = 0 移项,得 x2 - 6x = 40 方程两边都加上 32 (一次项系数一半的平方),得 x2 - 6x + 32 = 40 + 32 即 (x-3)2 = 49 开平方,得 x - 3 = 7 即 x - 3 = 7 或 x - 3 = -7 所以 x1 = 10,x2 = -4 状元成才路 将下列各式填上适当的项,配成完全平方式(口头回答). 1. x2+2x+_= (x +_)2 抢答! 12 1 2. x2-4x+_ = (x -_)2 22 2 3. x2+_+36 = (x +_)2 12x 6 4. x2 + 10x +_= (x +_)2 52 5 5. x2-x+_= (x-_)2 状元成才路 (1) 9x2 = 1 ; (2) (x - 2)2 = 2. 2.下列方程能用直接开平方法来解吗? 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2 + 6x + 9 = 5; (2) x2 + 3x - 4 = 0. 把两题转化成 (x + m)2 = n(n≥0)的 形式,再利用开平方 复习导入 探究新知 请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别: x2 + 6x + 8 = 0 3x2 + 18x + 24 = 0 如果一元二次方程的系数不是 1 ,我们应该怎样使用配方法去解方程呢? 在方程的两边同时除以二次项系数 状元成才路 问题1:观察下面两个一元二次方程的联系和区别: ① x2 + 6x + 8 = 0; ② 3x2 + 8x - 3 = 0. 问题2:用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解:移项,得 x2 + 6x = -8, 配方,得 (x + 3)2 = 1. 开平方,得 x + 3 = 1. 解得 x1 = -2 , x2 = -4. 想一想怎么来解3x2 + 8x - 3 = 0. 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1 探究新知 例2 解方程 3x2 + 8x – 3 = 0 解:方程两边都除以 3,得 移项,得 配方,得 两边开平方,得 所以 状元成才路 配方,得 由此可得 二次项系数化为 1,得 解:移项,得 2x2 - 3x = -1. 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢? 例1 解下列方程: 配方,得 ∵ 实数的平方不会是负数, ∴ x 取任何实数时,上式都不成立. ∴ 原方程无实数根. 解:移项,得 二次项系数化为 1,得 为什么方程两边都加 12? 即 9 思考1:用配方法解一元二次方程时,移项时要 注意些什么? 思考2:用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项,二次项系数化为 1; ②左边配成完全平方式; ③左边写成完全平方式; ④开方(降次); ⑤解一次方程. 一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + m)2 = n. ①当 n>0 时,则 ,方程的两个根为 ②当 n = 0 时,则(x + m)2 = 0,x + m = 0,开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m. ③当 n<0 时,则方程 (x + m)2 = n 无实数根. 归纳总结 引例:一个小球从地面上以 15 m/s 的速度竖直向上弹出,它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系: h = 15t - 5t2. 小球何时能达到 10 m 高? 解:将 h = 10 代入方程中 15t - 5t2 = 10. 两边同时除以 -5,得 t2 - 3t = -2. 配方,得 t2 - 3t + = - 2. 配方法的应用 2 即 移项,得 = 两边开平方,得 t - = 或 t - = . 所以 t1 = 2 , t2 = 1 . 即在 1 s 或 2 s 时,小球可达 10 m 高. 请你描述一下,在做一做中 t 有两个值,它们所在时刻小球的运动状态. 一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2,小球何时能达到 10 m 的高度? 做一做 t = 1 时,小球向上运动, t = 2 时,小球向下运动。 状元成才路 例2 试用配方法说明:不论 k 取何实数,多项式 k2-4k+5 的值必定大于零. 解:k2-4k+5 = k2-4k+4+1 = (k-2)2+1 因为 (k-2)2≥0,所以 (k-2)2+1≥1. 所以 k2-4k+5 的值必定大于零. 例3 若 a,b,c 为 ABC 的三边长,且 试判断 ABC 的形状. 解:将原式配方,得 所以, ABC 为直角三角形. 由非负式的性质可知 即 所以 1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0,则 m 的值为( ) A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -2 2. 利用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x + 5 的最小值;(2) -3x2 + 5x + 1 的最大值. C 解:(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3,当 x = 1 时有最小值 3. (2) -3x2 + 5x + 1 = -3 + ,当 x = 时有最大值 . 练一练 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或证 代数式的值恒正(或负) 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后,由于 (x + m)2≥0,故当 a>0 时,可得其最小值为 n;当 a<0 时,可得其最大值为 n. 2.完全平方式中的配方 如:已知 x2 - 2mx + 16 是一个完全平方式,所以一次项系数一半的平方等于 16,即 m2 = 16,m = 4. 3.利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式等式,求未知数的值,可考虑配方成多个完全平方式的和为 0,再根据非负式大于等于 0,则各式均为 0,进而求解. 如:a2+b2-4b+4 = 0,即 a2+(b-2)2 = 0,则 a = 0,b = 2. 归纳总结 18 例4 读诗词解题: (通过列方程,算出周瑜去世时的年龄.) 大江东去浪淘尽, 千古风流数人物。 而立之年督东吴, 早逝英年两位数。 十位恰小个位三, 个位平方与寿符。 哪位学子算得快, 多少年华属周瑜? 解:设个位数字为 x,则十位数字为 (x - 3). x1 = 6,x2 = 5 x2 - 11x = -30 x2 - 11x + 5.52 = -30 + 5.52 (x - 5.5)2 = 0.25 x - 5.5 = 0.5 或 x - 5.5 = -0.5 依题列方程 x2 = 10(x - 3) + x ∴这个两位数为 36 或 25. ∴周瑜去世的年龄为 36 岁. ∵周瑜 30 岁还攻打过东吴, 1.解下列方程: (1)x2 + 4x - 9 = 2x - 11;(2)x(x + 4) = 8x + 12; (3)4x2 - 6x - 3 = 0; (4)3x2 + 6x - 9 = 0. 解:x2 + 2x + 2 = 0, (x + 1)2 = -1. ∴此方程无解. 解:x2 - 4x - 12 = 0, (x - 2)2 = 16. ∴ x1 = 6,x2 = -2. 解:x2 + 2x - 3 = 0, (x + 1)2 = 4. ∴x1 = -3,x2 = 1. 课堂练习 2.利用配方法证明:不论 x 取何值,代数式 − x2 − x −1 的值总是负数,并求出它的最大值. 解:− x2 − x −1 = −( x2 + x + )+ −1 ∴ − x2 − x −1 的值总是负数. 当 时,− x2 − x −1有最大值 3.如图,在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为 850 m2,道路的宽应为多少? 解:设道路的宽为 x m,根据题意得 (35 - x)(26 - x) = 850. 整理,得 x2 - 61x + 60 = 0. 解得 x1 = 60 (不合题意,舍去),x2 = 1. 答:道路的宽为 1 m. 23 4. 已知 a,b,c 为 ABC 的三边长,且满足等式 ,试判断 ABC 的形状. 解:对原式配方,得 由非负式的性质可知 ∴ ABC 为等边三角形. 配方法 定义 步骤 一 移常数项且二次项系数化为 1; 二 配方[配上 ]; 三 写成 (x + m)2 = n ( n≥0 ); 四 开平方解方程 应用 求代数式的最值或证明 特别提醒: 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式. 在方程两边都配上 当堂小结 达标检测 【选自教材P39 随堂练习】 (1)3x2 -9x + 2 = 0; 解下列方程: 解:两边同时除以 3,得 配方,得 移项,得 两边开平方,得 状元成才路 【选自教材P39 随堂练习】 (2)2x2 + 6 = 7x; 解下列方程: 解:两边同时除以 2,得 移项,得 配方,得 两边开平方,得 状元成才路 (3)4x2 -8x - 3 = 0. 【选自教材P39 随堂练习】 解下列方程: 解:两边同时除以 4,得 配方,得 两边开平方,得 状元成才路 2. 解下列方程: 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 (1)6x2 - 7x + 1= 0; 解:两边同时除以 6,得 配方,得 移项,得 两边开平方,得 状元成才路 2. 解下列方程: 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 (2)5x2 –18 = 9x ; 解:两边同时除以 5,得 移项,得 配方,得 两边开平方,得 状元成才路 2. 解下列方程: 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 (3)4x2 –3x = 52 ; 解:两边同时除以 4,得 配方,得 两边开平方,得 状元成才路 2. 解下列方程: 【选自教材P40 习题2.4 第1题】 (4)5x2 = 4–2x . 解:两边同时除以 5,得 移项,得 配方,得 两边开平方,得 状元成才路 3. 印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林 里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮。告我总数 有多少,两队猴子在一起?”你能解决这个问题吗? 【选自教材P40 习题2.4 第2题】 解: 设共有猴子 x 只. 得 x1=16,x2=48. 所以,共有猴 16 只或 48 只. 状元成才路 如图,A,B,C,D 是矩形的四个顶点,AB = 16 cm,BC = 6 cm,动点 P 从点 A 出发,以 3 cm/s 的速度向点 B 运动,直到点 B 为止;动点 Q 同时从点 C出发,以 2 cm/s 的速度向点 D 运动. 何时点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm ? 【选自教材P40 习题2.4 第3题】 解: 设 t 秒后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm. (16-3t-2t)2 = 102-62. 所以,1.6 s或 4.8 s后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm. 状元成才路 通过这节课的学习活动,你有什么收获? 课堂小结 如果一元二次方程的系数不是 1 ,要先在方程的两边同时除以二次项系数,然后再进行配方。 状元成才路 EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制,www.ieway.cn $$