精品解析：沪科版2023-2024学年八年级数学下册期中复习试题

2023-2024学年沪科新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，为勾股数的是（　　） A 4，5，6 B. 12，16，18 C. 7，24，25 D. 0.8，1.5，1.7 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是( ) A. 且 B. C. D. 且 4. 方程x2＋x－1＝0的一个根是（    ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程x2＋4x﹣a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（ ） A. ﹣3 B. 3 C. 3或﹣3 D. 0 6. 如图是一棵勾股数，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形、、、的面积分别为、、、，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 一元二次方程x2﹣3x+1＝0两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 9. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 10. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（  ） A. B. 3- C. -1 D. 3- 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. （1）若时，则_____0；若，则_____0；若时，则_____0； （2）若，则a_____0；若，则a_____0；若时，则a_____0． 12. 若，则代数式的值是__________． 13. 如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则________. 14. 等腰三角形有两条边长分别为2cm、3cm，它周长为 _____． 三．解答题 15. 计算： 16. 解下列方程： （1）（x﹣3）2=2（x﹣3） （2）x2-4x+1=0（用配方法）； 17. 2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，中国创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．在脱贫过程中，某贫困户2018年家庭年人均纯收入3200元，通过政府的产业扶植，大力发展养殖业，到2020年家庭年人均纯收入5000元，顺利实现脱贫． （1）求该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，预计2021年底，该户居民的家庭年人均纯收入能否达到6200元． 18. 对于实数、，定义一种运算：． （1）求的值： （2）如果关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值． 19. 阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程．解分两种情况 （1）当x≥0时，原方程化为，解得（舍去） （2）当x<0时，原方程化为，解得（舍去） 综上所述，原方程的解是． 问题：仿照上面的方法，解方程． 20. 已知关于的方程． （1）取什么值时，方程有两个实数根． （2）如果方程有两个实数根，，且，求值． 21. 某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，降低成本，2020年出厂价调整为100元． （1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？ 22. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： ， ， ， ，…… （1）的倒数是________． （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； （3）利用上面的结论，求下列式子的值：． 23. 如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2．若，，，求BE长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，则的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年沪科新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式，先将各项进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列几组数中，为勾股数的是（　　） A. 4，5，6 B. 12，16，18 C. 7，24，25 D. 0.8，1.5，1.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：A、42+52≠62，不是勾股数； B、122+162≠182，不是勾股数； C、72+242＝252，是勾股数； D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整数，不是勾股数． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，特别注意这三个数除了要满足，还要是正整数． 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是( ) A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以得到且，即可得到x的取值范围． 【详解】由题意得：且，解得且， 故选：D． 【点睛】此题考查分式有意义的条件，分式有意义时需使分母不等于0，但是这里的分子是二次根式，还需使二次根式的被开方数大于等于0，即使分子有意义，分母不等于0． 4. 方程x2＋x－1＝0的一个根是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【详解】解：，，， △， 则， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，解题关键是掌握用求根公式解一元二次方程的方法． 5. 已知关于x的方程x2＋4x﹣a＝0有一个根为﹣3，则a的值为（ ） A. ﹣3 B. 3 C. 3或﹣3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】把x=-3代入原方程即可求解． 【详解】把x=-3代入方程x2＋4x﹣a＝0得9-12-a=0 解得a=-3 故选A． 【点睛】此题主要考查方程的根，解题的关键是把根代入原方程求解． 6. 如图是一棵勾股数，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形、、、的面积分别为、、、，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=3+5，y2=2+3，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得： x2=3+5=8； y2=2+3=5； z2=x2+y2=13． 故最大正方形E的面积是z2=13． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 7. 若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式，确定ｍ的范围，后判断． 【详解】∵关于x的方程有实数根， ∴△=， ∴， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 8. 一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根， ∴x12﹣3x1+1＝0， ∴x12＝3x1﹣1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3， 根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 9. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根， ∴△＝36−4k＝0， ∴k＝9， 此时两腰长为3， ∵2＋3＞3， ∴k＝9满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根， 代入得4−12＋k＝0， ∴k＝8， ∴x2−6x＋8＝0 求出另外一根为：x＝4， ∵2＋2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，k＝9， 故选∶B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质． 10. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（  ） A. B. 3- C. -1 D. 3- 【答案】D 【解析】 【分析】如图设交于，连接，作于，于．想办法求出面积．再求出与的比值即可解决问题； 【详解】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N． , ， 在Rt△ADB中，， ∴AC=BC=2， ， ∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N， ∴OM=ON， ∵, . 故选． 【点睛】考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系. 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. （1）若时，则_____0；若，则_____0；若时，则_____0； （2）若，则a_____0；若，则a_____0；若时，则a_____0． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式有意义的条件，根据的双重非负性求解即可． 详解】∵有意义， ∴，且，当时， ∴（1）若时，则；若，则；若时，则； （2）若，则；若，则；若时，则． 故答案为：（1），，；（2），，． 12. 若，则代数式的值是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】先将原式进行因式分解，然后将a的值代入即可求出答案， 【详解】解：当a=， 原式=（a-3）2 =10 故答案为10 【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 13. 如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则________. 【答案】45 【解析】 【分析】取网格上的点C、D、E，连接．利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，再利用勾股定理及其逆定理求得，即证明为等腰直角三角形，便可解答． 【详解】解：如图，点C、D、E是网格线交点，连接， 由图可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 设小网格的边长为a，由勾股定理可得：， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．结合图形构造直角三角形是解题关键． 14. 等腰三角形有两条边长分别为2cm、3cm，它的周长为 _____． 【答案】##cm 【解析】 【分析】根据2cm、3cm可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解． 【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，3，因为2+2＜3，不能构成三角形， 当3为腰时，三边为3，3，2，符合三角形三边关系定理，周长为：2+3+3＝（2+6）（cm）． 故答案为：（2+6）cm． 【点睛】本题考查了二次根式加减和三角形三边关系，解题关键是熟练运用二次根式加减法则进行计算，注意能否构成三角形． 三．解答题 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除运算，先化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 16. 解下列方程： （1）（x﹣3）2=2（x﹣3） （2）x2-4x+1=0（用配方法）； 【答案】（1）x1=3，x2=5，（2）x1=2+，x2=2- 【解析】 【详解】试题分析：（1）先移项，再利用因式分解法求解即可． （2）用配方法求解即可． 试题解析：（1）∵（x﹣3）2=2（x﹣3） （x﹣3）2-2（x﹣3）=0 （x﹣3）（x﹣5）=0 ∴x1=3，x2=5 （2）x2-4x+1=0 x2-4x+4-3=0 （x-2）2=3 x-2= ∴x1=2+，x2=2- 考点：解一元二次方程． 17. 2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，中国创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．在脱贫过程中，某贫困户2018年家庭年人均纯收入3200元，通过政府的产业扶植，大力发展养殖业，到2020年家庭年人均纯收入5000元，顺利实现脱贫． （1）求该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，预计2021年底，该户居民的家庭年人均纯收入能否达到6200元． 【答案】（1）家庭年人均纯收入的年平均增长率为25%；（2）2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6200元． 【解析】 【分析】（1）设家庭年人均纯收入年平均增长率为x，根据“2018年家庭人均纯收入x(1+年平均增长率)2=2020年家庭人均纯收入”列出方程，解之即可得出答案； （2）用2020年家庭人均纯收入x(1+年平均增长率)计算出2021年家庭人均年收入，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：（1）设家庭年人均纯收入的年平均增长率为x， 由题意列方程：3200（1+x）2＝5000， 解得x1＝＝25%，x2＝（不合题意，舍去）， ∴家庭年人均纯收入的年平均增长率为25%； （2）5000（1+25%）＝6250＞6200， 2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6200元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是掌握增长率问题中蕴含的相等关系：基数x(1+增长百分率)2=增长后数． 18. 对于实数、，定义一种运算：． （1）求的值： （2）如果关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算即可得出结论； （2）根据新运算“△”的运算公式将方程进行变形，再根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1） （2）， 整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0． ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴ ， ∴a＝0． 【点睛】本题考查了实数的运算、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算；（2）由原方程有两个相等的实数根，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程． 19. 阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程．解分两种情况 （1）当x≥0时，原方程化为，解得（舍去） （2）当x<0时，原方程化为，解得（舍去） 综上所述，原方程的解是． 问题：仿照上面的方法，解方程． 【答案】 【解析】 【分析】仿照例题，分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为： 整理得： 解得： 当，即时， 原方程可化为： 整理得 ∵ ∴此方程无实数解， 综上所述，原方程的解为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键． 20. 已知关于的方程． （1）取什么值时，方程有两个实数根． （2）如果方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，，且， ，，， ，即， 平方得：， 整理得：， 解得： 21. 某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，降低成本，2020年出厂价调整为100元． （1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？ 【答案】（1）这两年平均下降率约为 （2）单价应降15元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）平均下降率为x，由2018年的出厂价下降率年出厂价可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设单价降价y元，则每天的销售量是台，根据总利润=每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结果． 【小问1详解】 解：设这两年平均下降率为x， 根据题意得：， 解得， ∵， ∴； 答：这两年平均下降率约为； 【小问2详解】 解：设单价降价y元， 则每天的销售量是台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：单价应降15元． 22. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： ， ， ， ，…… （1）的倒数是________． （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； （3）利用上面的结论，求下列式子的值：． 【答案】（1）；（2）（n为正整数）；（3）2020 【解析】 【分析】（1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可； （2）按照所给等式的变化规律写出第个等式即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得：， ∴的倒数是； 故答案为：； （2）由题意可得：为正整数）； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 23. 如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2．若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，则的值为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出，，再证四边形是平行四边形，得出，进而得出，再由平行线性质得，进而证得结论； （2）先证明，得，根据四边形是平行四边形，得，，进而可得，求得，，再利用，由此即可求得答案； （3）延长、交于点，先证明，得出，设，，，则，，可得，再利用列方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 由（1）知：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， ∴（舍负）， ， ， ， ， ， 即， 解得：； （3）如图，延长、交于点， ，均为等腰三角形，且， ， ， 设，，， 则，， ， ， ， 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$