精品解析：福建省漳州市2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

福建省漳州市2024-2025学年上学期九年级数学期初质量检测 （满分：120 分；时间：90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m，数据0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 5. 体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识考试成绩占20%，课外体育活动情况占30%，体育技能考试成绩占50%，小明的这三项成绩（百分制）依次为95、90、88，则小明这学期的体育成绩为（　　） A. 90 B. 91 C. 94 D. 95 6. 已知点P在第四象限，且P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　） A 8 B. 7 C. 4 D. 3 8. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，平分线交于点E，连接，若，，则（  　  ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k＜0）相交于点（m，4），则不等式（2﹣k）x＞b解集为（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞4 D. x＜4 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 计算：＝_________． 12. 中，，则__________． 13. 点关于x轴对称点的坐标为________． 14. 为考察甲、乙两种水稻的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分稻苗，获得苗高的方差为：，则稻苗较整齐的是____．（填“甲”或“乙”） 15. 将函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为______． 16. 如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB的大小为_________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 56 分） 17. 解分式方程：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中. 20. 如图，在四边形中，对角线、交于点O，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，过点D作于点E，点F在上，，连接 （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：平分． 22. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省漳州市2024-2025学年上学期九年级数学期初质量检测 （满分：120 分；时间：90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于零进行求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：A 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意； B、不是最简二次根式，故B不符合题意； C、不是最简二次根式，，故C不符合题意； D、最简二次根式，，故D符合题意； 故选：D． 3. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m，数据0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案． 【详解】反比例函数的图形位于第一、三象限， ， 解得． 故选：A． 5. 体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识考试成绩占20%，课外体育活动情况占30%，体育技能考试成绩占50%，小明的这三项成绩（百分制）依次为95、90、88，则小明这学期的体育成绩为（　　） A. 90 B. 91 C. 94 D. 95 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小明这学期的体育成绩． 【详解】解：由题意可得， 小明这学期的体育成绩为： 95×20%+90×30%+88×50% =90（分）， 故选：A． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 6. 已知点P在第四象限，且P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．注意第四象限的点的符号特点是． 应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断其具体坐标． 【详解】解：∵第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0；点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为4， ∴点P的纵坐标为，横坐标为4， ∴点P的坐标是． 故选：C． 7. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得：OB＝＝＝4， ∴BD＝2OB＝8， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键． 8. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数判断函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，其中， ∴反比例函数的图象位于二、四象限， ∵在反比例函数上， ∴在第二象限， 又∵， ∴， 又∵在第四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当，在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大． 9. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，连接，若，，则（  　  ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，先证明，可得，，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴，． 在中，根据勾股定理得． 故选B． 10. 如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k＜0）相交于点（m，4），则不等式（2﹣k）x＞b解集为（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞4 D. x＜4 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得A的坐标，不等式（2-k）x＞b，即kx+b＜2x，根据图象即可直接求得解集． 【详解】解：把A（m，4）代入y=2x得：m=2，则A的坐标是（2，4）． 不等式（2-k）x＞b，即kx+b＜2x， 根据图象，得：不等式的解集是：x＞2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 计算：＝_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式加减法的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解． 12. 在中，，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等可得结论． 【详解】解：如图， 在D中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 13. 点关于x轴对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 14. 为考察甲、乙两种水稻的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分稻苗，获得苗高的方差为：，则稻苗较整齐的是____．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差越大波动越大、方差越小波动越小，根据题中所给方差值比较大小即可得到答案，熟记方差的意义是解决问题的关键． 【详解】解：， 由方差的意义可知，稻苗较整齐的是乙， 故答案为：乙． 15. 将函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为， 故答案为： 16. 如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB大小为_________． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD， ∵△BPC是等边三角形， ∴∠PBC＝∠BCP＝∠BPC＝60°，BP＝PC＝BC， ∵BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠DBC＝45°， ∴∠PBD＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°， ∵∠BCD＝90°，∠BCP＝60°， ∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°， ∵PD＝DC， ∴∠DPC＝ ， ∴∠PDB＝180°﹣∠PBD﹣∠BPC﹣∠CPD＝180°﹣15°﹣60°﹣75°＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形的内角和定理解答． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 56 分） 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，再根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是关键． 19. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，对角线、交于点O，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行线的判定，先证明，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】 四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，过点D作于点E，点F在上，，连接 （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识： （1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即平分． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$