2.2直线的一般式方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---05直线的一般式方程 1、 问题导学： 1.回忆之前学习的直线的四种方程形式分别是什么？有什么条件限制？ 2.从代数的角度，观察以上四个方程式都是一个怎样的方程？ 3.平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于,的二元一次方程表示吗？ 任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 二、知识构建 知识点一　直线的一般式方程 1.直线的一般式方程 定义:我们把关于,的二元一次方程 (其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.说明： (1)、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. （2）当时，方程可变形为，它表示过点 ，斜率 为 的直线． （3）当，时，方程可变形为，即，它表示一条 与 轴垂直的直线． 3.探究：在方程中，，，为何值时，方程表示的直线： ①平行于x轴？②平行于y轴？③与x轴重合？④与y轴重合？ 结论： ① 当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与 轴平行； ② 当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与 轴平行； ③ 当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与 轴重合 ； ④ 当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与 轴重合； ⑤ 当C=0时，方程表示的直线过 . 知识点二 辨析直线方程的五种形式 知识点三　利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 1. ,且或. 2. 知识点四 直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 知识点五 数形结合思想 三、类型剖析 题型一 直线的一般式方程辨析及应用 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 题型三 两直线平行与垂直的应用 题型四 直线过定点问题 题型五 直线的综合问题 类型六 数学情境 四、类型应用 题型一 直线的一般式方程 （一）直线的一般式方程及辨析 【例1】（2024·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【跟踪训练1】（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， （二）直线的一般式方程的应用 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【跟踪训练2-1】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【跟踪训练2-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2-4】（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【例3】把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形． 【跟踪训练3-1】（21-22高二·全国·课后作业）求下列直线的斜率及其在y轴上的截距： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·四川成都·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3-3】（23-24高二上·全国·单元测试）直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型三 两直线平行与垂直的应用 （一）由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 【例4】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【跟踪训练4】（23-24高二下·上海虹口·期末）已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 （二）根据直线平行与垂直求参数 【例5】（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【跟踪训练5-1】（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【跟踪训练5-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【例6】（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【跟踪训练6】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． （三）由两条直线的平行、垂直求直线方程 【例7】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【跟踪训练7】（21-22高二·江苏·课后作业）分别求满足下列条件的直线的方程： (1)过点，且与直线平行； (2)过点，且与直线垂直； (3)过点，且与x轴垂直； (4)过点，且平行于过两点和的直线． 题型四 直线过定点问题 【例8】（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练8-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【跟踪训练8-2】（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 题型五 直线的综合问题 【例9】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【跟踪训练9】（21-22高二·全国·课后作业）已知菱形ABCD的对角线AC，BD分别在x轴和y轴上，且，，求菱形ABCD四边所在直线的方程． 【例10】（23-24高二课后练习）一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程. 【跟踪训练10】（21-22高二·江苏·课后作业）已知光线通过点，经x轴反射，其反射光线通过点，求： (1)反射光线所在直线的方程； (2)入射光线所在直线的方程． 类型六 数学情境 1．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 五、素养提升 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 2.（21-22高二上·全国·课后作业）若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置．试求直线l的斜率． 六、随堂检测 1．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 5.（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 6.（22-23高二·全国·随堂练习）写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：    7.（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为 . 8.（2024·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 ________. 9.（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 ． 10.（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）若直线和直线斜率互为相反数，则 . 11.（2024·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限． 12.（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过两点，； (3)经过点，平行于x轴； (4)在x轴，y轴上的截距分别为，． 13.（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 14.（21-22高二上·全国·课后作业）的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 项目 方程 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) (x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 (a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 $$选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---05直线的一般式方程 1、 问题导学： 1.回忆之前学习的直线的四种方程形式分别是什么？有什么条件限制？ 2.从代数的角度，观察以上四个方程式都是一个怎样的方程？ 3.平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于,的二元一次方程表示吗？ 任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 二、知识构建 知识点一　直线的一般式方程 1.直线的一般式方程 定义:我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.说明： (1)、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. （2）当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． （3）当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 3.探究：在方程中，，，为何值时，方程表示的直线： ①平行于x轴？②平行于y轴？③与x轴重合？④与y轴重合？ 结论： ① 当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行； ② 当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与y轴平行； ③ 当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合 ； ④ 当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与y轴重合； ⑤ 当C=0时，方程表示的直线过原点. 知识点二辨析直线方程的五种形式 知识点三　利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 1.,且或. 2. 知识点四 直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 知识点五 数形结合思想 三、类型剖析 题型一 直线的一般式方程辨析及应用 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 题型三 两直线平行与垂直的应用 题型四 直线过定点问题 题型五 直线的综合问题 类型六 数学情境 四、类型应用 题型一 直线的一般式方程 （一）直线的一般式方程及辨析 【例1】（2024·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【答案】D 【详解】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误； 对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误； 对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误； 对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确. 故选：D 【跟踪训练1】（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】C 【分析】将直线方程化为斜截式，则由图象可得，，从而分析判断. 【详解】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， 若，则，； 若，则，． 故选：C （二）直线的一般式方程的应用 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式； （2）先求斜截式方程，再化为一般式； （3）先求直线的两点式方程，再化为一般式； （4）先求直线的截距式方程，再化为一般式. 【详解】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 【跟踪训练2-1】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【详解】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 【跟踪训练2-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 【跟踪训练2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜截式方程求解即可. 【详解】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 【跟踪训练2-4】（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】直线的一个方向向量为，则直线的斜率为2，而直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：C 题型二 直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【例3】把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形． 【答案】答案见解析. 【分析】求直线在轴上的截距，即求直线与轴交点的横坐标，只要在直线的方程中令即可得的值． 【详解】把直线的一般式方程化为斜截式．因此，直线的斜率，它在轴上的截距是．在直线的方程中，令，得，即直线在轴上的截距是．由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，过A，B两点作直线，就得直线（如下图） 【跟踪训练3-1】（21-22高二·全国·课后作业）求下列直线的斜率及其在y轴上的截距： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)直线的斜率为，在y轴上的截距为 (2)直线的斜率为，在y轴上的截距为 (3)直线的斜率为，在y轴上的截距为 (4)直线的斜率为，在y轴上的截距为 【分析】（1）将直线方程转化成直线的斜截式方程即可求解； （2）将直线方程转化成直线的斜截式方程即可求解； （3）将直线方程转化成直线的斜截式方程即可求解； （4）将直线方程转化成直线的斜截式方程即可求解； 【详解】（1）将直线一般式化成直线斜截式， 所以直线的斜率为，在y轴上的截距为 （2）将直线一般式化成直线斜截式， 所以直线的斜率为，在y轴上的截距为 （3）将直线一般式化成直线斜截式， 所以直线的斜率为，在y轴上的截距为 （4）将直线一般式化成直线斜截式， 所以直线的斜率为，在y轴上的截距为 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·四川成都·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【详解】直线，即， 设该直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 【跟踪训练3-3】（23-24高二上·全国·单元测试）直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解． 【详解】由题意，直线， 令，解得，故；令，解得，所以． 故选：B． 题型三 两直线平行与垂直的应用 （一）由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 【例4】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)相交但不垂直. 【分析】（1）根据斜率相等，纵截距不相等即可判定为平行； （2）利用两直线斜率之积等于即可判断垂直； （3）利用斜率的关系即可判定为相交但不垂直. 【详解】（1）因为 且两直线的纵截距, 所以两直线平行. （2）因为 所以两直线垂直. （3）因为 所以两直线既不平行，也不垂直. 即两直线的位置关系为相交但不垂直. 【跟踪训练4】（23-24高二下·上海虹口·期末）已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A （二）根据直线平行与垂直求参数 【例5】（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得，解得. 【详解】易知的斜率为， 的斜率为，所以； 解得. 【跟踪训练5-1】（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 【跟踪训练5-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【例6】（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用两条直线的平行关系，求出的值即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意； 当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去. 综上所述：. 故选：A. 【跟踪训练6】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或， 当时，两条直线重合； 当时，两条直线平行. 综上，. 故选：C. （三）由两条直线的平行、垂直求直线方程 【例7】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 【跟踪训练7】（21-22高二·江苏·课后作业）分别求满足下列条件的直线的方程： (1)过点，且与直线平行； (2)过点，且与直线垂直； (3)过点，且与x轴垂直； (4)过点，且平行于过两点和的直线． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意设直线方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可得直线方程， （2）由题意设直线方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可得直线方程， （3）由于直线垂直于x轴，所以斜率不存在，直接写直线方程， （4）由题意求出直线的斜率，再由点斜式可求得直线方程 【详解】（1）由题意设直线方程为， 因为直线过点， 所以，得， 所以所求直线方程为 （2）由题意设直线方程为， 因为直线过点， 所以，得， 所以所求直线方程为 （3）因为直线过点，且与x轴垂直， 所以所求直线方程为 （4）由题意可知所求直线的斜率为， 所以直线方程为，即 题型四 直线过定点问题 【例8】（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 【跟踪训练8-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【答案】 【分析】根据题意，化简直线方程为，联立方程组，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为：． 【跟踪训练8-2】（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到到直线的最远距离为，此时直线垂直于，即可求出直线方程． 【详解】因为直线， 所以可将直线方程变形为， ，解得，， 由此可得直线系恒过点 到直线的最远距离为，此时直线垂直于，， 直线的斜率为， ，， 直线的一般方程为． 故选：A 题型五 直线的综合问题 【例9】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 【跟踪训练9】（21-22高二·全国·课后作业）已知菱形ABCD的对角线AC，BD分别在x轴和y轴上，且，，求菱形ABCD四边所在直线的方程． 【答案】答案见解析. 【分析】作出图象，根据菱形性质可得顶点坐标，由点斜式求出直线方程即可. 【详解】如图， 由菱形在坐标系中的位置及性质得, , , ，,, 即菱形ABCD 四边所在直线的方程分别为, 【例10】（23-24高二课后练习）一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程. 【答案】入射光线的直线方程为,反射光线的直线的方程为. 【分析】设入射光线的直线方程为，则点在直线方程上，利用待定系数法可得k、b的值，可得入射光线与反射光线关于直线x=2对称，可得反射光线的直线的方程. 【详解】解：设入射光线的直线方程为 则点在直线方程上， 入射光线的直线方程为， 入射光线与反射光线关于直线x=2对称， 反射光线的斜率为，且经过点 反射光线的直线的方程为. 【点睛】本题主要考查直线方程的求法-待定系数法，及关于直线对称的直线方程的求法，相对简单，注意运算的准确性. 【跟踪训练10】（21-22高二·江苏·课后作业）已知光线通过点，经x轴反射，其反射光线通过点，求： (1)反射光线所在直线的方程； (2)入射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得关于轴的对称点，求得直线所在直线方程，也即反射光线所在直线方程. （2）利用反射光线与轴的交点以及点，求得入射光线所在直线方程. 【详解】（1）关于轴的对称点， 直线的斜率为， 直线的方程为，即. 也即反射光线所在直线方程为. （2）由（1）得直线的方程为. 令解得，即直线与轴的交点为， 所以入射光线的斜率为， 入射光线所在直线方程为，即. 类型六 数学情境 1．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的重心坐标，由得出为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案． 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 2．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心, 求出三角形欧拉线,根据直线平行得解. 【详解】由的顶点,知, 的重心为，即, 因为,所以三角形为直角三角形, 所以外心为斜边中点, 即, 所以可得的欧拉线方程,即, 因为与平行, 所以,解得. 故选：C.    五、素养提升 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【分析】先求出直线过的定点，直线与连接两点的线段总有公共点，求出，可知直线的斜率满足或，求出倾斜角即可. 【详解】如下图，由题意， 直线方程可化为，    由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 2.（21-22高二上·全国·课后作业）若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置．试求直线l的斜率． 【答案】 【分析】设直线l的方程为，平移后的方程为，根据截距相同，求得k. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为， 该直线与原直线相同，则. 则. 六、随堂检测 1．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 2.（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可得出答案. 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 因为其斜率，又由， 所以. 故选： 3．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，解得，即可得直线在轴上的截距. 【详解】由题意可知，直线方程为， 令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：C. 4．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 【答案】C 【分析】利用直线平行求得，再进行检验即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线分别为，，显然平行，满足题意； 当时，两直线分别为，，也平行，满足题意； 综上，或. 故选：C. 5.（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 6.（22-23高二·全国·随堂练习）写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：    【答案】见解析 【分析】根据图形写出截距式方程，即可可得一般式方程. 【详解】设直线的截距式方程为， 由（1）可知，所以， 由（2）可知，所以， 由（3）可知，所以 由（4）可知，所以 7.（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为 . 【答案】/-0.4 【分析】由两一般式直线垂直条件可得答案. 【详解】因两直线互相垂直，则，得. 故答案为：. 8.（2024·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 ________. 【答案】/-0.5 【分析】先分别求出x轴上的截距及y轴上截距，再根据数量关系计算求解即可. 【详解】令，得，令，得． 由于直线在轴上的截距是它在y轴上截距的4倍， 故，解得． 故答案为： 9.（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据方向向量求出直线的斜率，再点斜式写出方程，最后化简为一般方程即可. 【详解】根据直线l的方向向量可得直线的斜率为，又因为, 所以直线l的方程为,即得. 故答案为：. 10.（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）若直线和直线斜率互为相反数，则 . 【答案】或0 【分析】分，和，根据两直线的斜率互为相反数求解. 【详解】解：当，即时，，，不符合题意； 当，即时，，不符合题意； 当时，直线和直线斜率互为相反数， 所以，解得或， 故答案为：或0 11.（2024·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限． 【答案】四 【分析】化简直线方程为，列方程组，进而求解即可. 【详解】直线可化为， 由，得， 所以直线恒过定点， 因为在第四象限， 故直线恒过第四象限． 故答案为：四. 12.（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过两点，； (3)经过点，平行于x轴； (4)在x轴，y轴上的截距分别为，． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，求出所求直线的斜率，再利用直线点斜式求出方程作答. （4）根据给定条件，利用直线方程的截距式方程求解作答. 【详解】（1）直线的斜率为，其倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的方程为，即. （2）直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （3）经过点，平行于x轴的直线斜率为0， 所以经过点，平行于x轴的直线方程为. （4）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即. 13.（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 14.（21-22高二上·全国·课后作业）的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程； （2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程； 【详解】（1）BC的中点坐标为 则边BC上的中线所在直线的方程为； （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 项目 方程 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) (x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 (a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 $$