2.2用配方法求解一元二次方程专项训练 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2024-2025学年北师大九年级用配方法求解一元二次方程专项 1、 选择题 1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上的是(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解方程，配方后可得(    ) A. B. C. D. 3.如表是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是(    ) 解： ，， A. B. C. D. 4.用配方法解一元二次方程，配方正确的是  (    ) A. B. C. D. 5.方程经过配方法化为的形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 6.一元二次方程，配方为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 7.若方程可以通过配方写成 的形式，那么 可以配成(    ) A. B.   C.   D.   8.若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.关于的方程的解是，均为常数，，则方的解是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10.将代数式配方后，发现它的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11.一元二次方程的根是______． 12.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是          ． 13.关于的一元二次方程：的一个解是，则的值为_____． 14.把一元二次方程用配方法化成的形式均为常数，则和的值分别为________． 15.若，则的值为          ． 三、计算题 16.解下列方程：； ． 17.用配方法解下面的方程：； ． 18.用配方法解方程：； ． 4、 解答题 19.阅读下列解答过程，并完成相应任务． 解方程：． 解：移项，得 两边同时除以，得 配方，得， 即． ， 任务： 上述过程从步骤          填序号开始出现错误，错误的原因是          ． 请写出正确的解答过程． 20.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得，我们称晓东这种解法为平均数法， 下面是晓东用平均数法解方程时写的解题过程， @@ @ @ 直接开平方并整理，得， 上述过程中的替#换#一#换#替#，@，，#表示的数分别为______、______、______、______； 请用平均数法解方程： 21.阅读下列材料 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式． 例如：． 填空：将多项式变形为的形式，并判断与的大小关系． ____________． 所以______填“”、“”、“” 如图所示的长方形边长分别是、，求长方形的面积用含的式子表示；如图所示的长方形边长分别是、，求长方形的面积用含的式子表示 比较中与的大小，并说明理由． 22.阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ，由，得； 代数式的最小值是． 仿照上述方法求代数式的最小值； 代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值． 23.一阅读 求的最小值． 解： 由于的值必定为非负数，所以，即的最小值为． 二解决问题 若，求的值； 对于多项式，当，取何值时有最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 5页 2024-2025 学年北师大九年级用配方法求解一元二次方程专项 一、选择题 1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4 的是( ) A. �2 + 4� = 5 B. 2�2 − 4� = 5 C. �2 − 2� = 5 D. �2 + 2� = 5 2.用配方法解方程�2 + 10� + 9 = 0，配方后可得( ) A. (� + 5)2 = 1 B. (� + 5)2 = 16 C. (� + 10)2 = 91 D. (� + 10)2 = 109 3.如表是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤 是( ) 解：�2 − 4� = 1……① �2 − 4� + 4 = 1……② (� − 2)2 = 1……③ �− 2 =± 1……④ �1 = 3，�2 = 1，⋯⋯⑤ A.② B.③ C.④ D.⑤ 4.用配方法解一元二次方程 2�2 − 3� − 1 = 0，配方正确的是 ( ) A. (� − 32 ) 2 = 134 B. (� − 3 4 ) 2 = 12 C. (� − 3 4 ) 2 = 1716 D. (� − 3 2 ) 2 = 114 5.方程�2 − 2� − 3 = 0 经过配方法化为(� + �)2 = �的形式，正确的是( ) A. (� − 1)2 = 4 B. (� + 1)4 C. (� − 1)2 = 16 D. (� + 1)2 = 16 6.一元二次方程�2 − 8� − 2 = 0，配方为(� − 4)2 = �，则�的值为 ( ) A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 7.若方程�2 − 8� + � = 0 可以通过配方写成(� − �)  ​ 2 = 6 的形式，那么�2 +8� + � = 5 可以配成( ) A. (� − � + 5)2 = 1 B. (� + �)  ​ 2 = 1 C. (� − � + 5)  ​ 2 = 11 D. (� + �)  ​ 2 = 11 8.若关于�的一元二次方程�2 − 12� + � = 0 配方后得到方程(� − 6)2 = 3�，则�的值为( ) A. −9 B. 6 C. 9 D. 12 9.关于�的方程�(� + �)2 + � = 0 的解是�1 =− 2，�2 = 1(�,�, �均为常数，� ≠ 0)，则方�(� + � + 3)2 + � = 0 的解是( ) A. −1 或−4 B. −2 或 1 C. 1 或 3 D. −5 或−2 第 2页，共 5页 10.将代数式�2 − 10� + 5 配方后，发现它的最小值为( ) A. −30 B. −20 C. −5 D. 0 二、填空题 11.一元二次方程(� − 3)2 = 0 的根是______． 12.如果关于�的方程(� − 2)2 = �− 1 没有实数根，那么�的取值范围是 ． 13.关于�的一元二次方程：(� − 1)�2 + 2� + �2 − 1 = 0 的一个解是 0，则�的值为_____． 14.把一元二次方程 2�2 − � − 1 = 0 用配方法化成�(� − ℎ)2 + � = 0 的形式(�, ℎ, �均为常数)，则ℎ和�的值 分别为________． 15.若(�2 + �2 + 3)(�2 + �2 − 3) = 72，则�2 + �2的值为 ． 三、计算题 16.解下列方程：(1) 4�2 − 48 = 0； (2) 16(2 − �)2 − 9 = 0． 17.用配方法解下面的方程：(1) �2 − 2� − 1 = 0； (2) 2�2 = 5� + 3． 18.用配方法解方程：(1) 12 � 2 − � − 1 = 0； (2)�2 − 4 2� − 1 = 0． 第 3页，共 5页 四、解答题 19.阅读下列解答过程，并完成相应任务． 解方程：2�2 + 8� − 18 = 0． 解：移项，得 2�2 + 8� = 18.① 两边同时除以 2，得�2 + 4� = 9.② 配方，得�2 + 4� + 4 = 9，③ 即(� + 2)2 = 9． ∴ � + 2 =± 3.④ ∴ �1 =− 5，�2 = 1.⑤ 任务： (1)上述过程从步骤 (填序号)开始出现错误，错误的原因是 ． (2)请写出正确的解答过程． 20.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程�(� + 4) = 6 解：原方程可变形，得[(� + 2) − 2][(� + 2) + 2] = 6(� + 2)2 − 22 = 6(� + 2)2 = 6 + 22(� + 2)2 = 10 直接开平方并整理，得�1 =− 2 + 10，�2 =− 2 − 10我们称晓东这种解法为平均数法， (1)下面是晓东用平均数法解方程(� + 2)(� + 6) = 5 时写的解题过程， [(� +�) −@][(� + �) +@] = 5 (� + �)2 −@ 2 = 5 (� + �)2 = 5 +@ ​ 2 直接开平方并整理，得�1 = ，�2 = # 上述过程中的#替#换#一#换#替#，@，☆，#表示的数分别为______、______、______、______； (2)请用平均数法解方程：(� − 3)(� + 1) = 5 第 4页，共 5页 21.阅读下列材料 利用完全平方公式，将多项式�2 + �� + �变形为(� + �)2 + �的形式． 例如：�2 − 8� + 17 = �2 − 2 ⋅ � ⋅ 4 + 42 − 42 + 17 = (� − 4)2 + 1． (1)填空：将多项式�2 − 2� + 3 变形为(� + �)2 + �的形式，并判断�2 − 2� + 3 与 0 的大小关系． ∵ �2 − 2� + 3 = (� −______)2 +______． 所以�2 − 2� + 3______0(填“>”、“<”、“=”) (2)如图①所示的长方形边长分别是 2� + 5、3� + 2，求长方形的面积�1(用含�的式子表示)；如图②所示的 长方形边长分别是 5�、� + 5，求长方形的面积�2(用含�的式子表示) (3)比较(2)中�1与�2的大小，并说明理由． 22.阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式�2 − 2� + 5 的最小值．方法如下： ∵ �2 − 2� + 5 = �2 − 2� + 1 + 4 = (� − 1)2 + 4，由(� − 1)2 ≥ 0，得(� − 1)2 + 4 ≥ 4； ∴代数式�2 − 2� + 5 的最小值是 4． (1)仿照上述方法求代数式�2 + 10� + 7 的最小值； (2)代数式− �2 − 8� + 16 有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值． 第 5页，共 5页 23.(一)阅读 求�2 + 6� + 11 的最小值． 解：�2 + 6� + 11 = �2 + 6� + 9 + 2 = (� + 3)2 + 2 由于(� + 3)2的值必定为非负数，所以(� + 3)2 + 2，即�2 + 6� + 11 的最小值为 2． (二)解决问题 (1)若�2 + 2�� + 2�2 − 6� + 9 = 0，求(�� ) −3的值； (2)对于多项式�2 + �2 − 2� + 2� + 5，当�，�取何值时有最小值． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】，  15.【答案】  16.【答案】【小题】 解：移项、系数化为，得  根据平方根的意义，得， ，． 【小题】 移项，得  化简，得  根据平方根的意义，得，  即，或  于是方程的两个根为，．   17.【答案】【小题】 ， 【小题】 ，   18.【答案】【小题】 解：移项、二次项系数化为，得  配方，得，    由此可得， ，． 【小题】 移项，得  配方，得， ． 由此可得， ，．   19.【答案】【小题】 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加 【小题】 移项，得两边同时除以，得配方，得，即，．   20.【答案】        21.【答案】      22.【答案】解：，由， 得； 代数式的最小值是； ， ， ， 代数式有最大值，最大值为．  23.【答案】解：解：原式可变为 ， 且， ，， ； 原式 因为和的值必定为非负数， 所以当，时，有最小值．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$