1.4用一元二次方程解决问题复习讲义 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

1.4用一元二次方程解决问题复习讲义-数学九年级上册苏科版 知识梳理 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 典例分析 1．随着科技的发展，某省正加快布局以等为代表的新兴产业．据统计，目前该省基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省基站数是目前的4倍；到后年底，全省基站数量将达到17.34万座． (1)计划在今年底，全省基站数量是多少万座？ (2)按照计划，从今年底到后年底，全省基站数量的年平均增长率为多少？ 【答案】(1)6万座 (2) 【分析】本题考查有理数乘法的应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据计划到今年底，全省基站数是目前的4倍，列出算式计算即可； （2）设全省基站数量的年平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可 【详解】（1）解：由题意得：（万座）； 答：计划在今年底，全省基站数量是6万座． （2）解：设全省基站数量的年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：全省基站数量的年平均增长率为． 2．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？ (3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？ 【答案】(1)5 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程． （1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，则，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解； （2）作，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． （3）需要对等腰三角形的不同的腰进行分类讨论，然后求解． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则， 根据梯形的面积公式得， 解之得， ∴从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，      作，垂足为E， 则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得． （3）解：过点P作于M，于N    则 分三种情况； ①当时，则． ∵． ∴； ②当时，在直角中，由勾股定理得： 整理，得， 解得， ， ③当时，在直角中，由勾股定理得： 解得， （舍去）， 综上所述，经过或或或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 精选好题 一、单选题 1．某品牌衣服经过两次降价，每件售价由800元降为512元，若两次降价的百分率都为x，那么符合题意的方程（　　） A． B． C． D． 2．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 4．某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块的长为多少米，设矩形地块长为x米．根据题意列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A． B． C． D． 6．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 7．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有 人． 10．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 11．随着不动产登记政策的出台以及国家对楼房的价格进行调控，某省一个地市的房屋价格原价为 元/平方米，通过连续两次降价后，售价变为元/平方米，依题意，可列方程： ． 12．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒．每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒．要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为 ． 13．如图所示，在一块等腰直角的空地上，斜边，垂足为，点在上，，等腰直角的面积为，图中阴影部分种植花草，剩余部分为道路，设，则根据题意可列方程为 ． 14．如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？    15．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元． 16．如图所示，中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将分成面积1：2的两部分．    三、解答题 17．河北省某市2021年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 18．某大学为改善校园环境，计划在一块长，宽的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为四周为宽度相等的人行走道，如图，若设人行走道宽为． (1)请列出相应的方程． (2)的值可能小于吗说说你的理由． (3)的值可能大于吗可能大于吗说说你的理由． (4)你知道人行走道的宽是多少吗说说你的求解过程． 19．为防控“新冠”疫情，我巴南区启动新冠疫苗加强针接种工作．已知今年5月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多30%，两接种点平均每天共有460人接种加强针． (1)求5月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？ (2)6月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比5月少人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比5月多20%，在天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求的值． 20．冬季来临，小李在某景区门口出售秘制“羊肉汤”，每碗成本价6元，当每碗售价定为8元时，每天可售出200碗．小李想提高售价，获得更大利润，经调查发现：售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，经物价部门批准，每碗“羊肉汤”的售价不得超过20元．设每碗“羊肉汤”的售价为x（元），每天销量为y（碗）． (1)求y与x的函数关系式； (2)要使每天获利960元，每碗售价应为多少元； (3)每天的利润能否达到1320元，若能达到，每碗售价为多少元，若不能达到，请说明理由． 21．手机下载一个，缴纳一定数额的押金， 就能以每小时 0.5 到 1 元的价格解锁一辆自行车任意骑行最近的网红非“共享单车”莫属 ． 共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙， 人们在享受科技进步、 共享经济带来的便利的同时， 随意停放、 加装私锁、 大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷 ． 某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场， 一月底发现损坏率不低于，二月初又投入 1200 辆进入市场， 使可使用的自行车达到 7500 辆 ． (1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？ (2)二月份的损坏率达到，进入三月份， 该公司新投入市场的自行车比二月份增长，由于媒体的关注， 毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论， 三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到 7752 辆， 求的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B B C B C 1．A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，即可列出方程． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得： ， 故选：A 2．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意列出方程是解题的关键． 设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列方程即可解答． 【详解】解：设年平均增长率为，可列方程为： ， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是 ． 故选：C． 4．B 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，结合图形，根据图形面积的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得， 整理得：， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得， 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 9．9 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设这个小组有x人，根据题意可知每人需要送出张贺年片，再根据全组共送贺年片72张列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个小组有x人，则每人需送出张贺年片， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 10． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意，得：， 解得：，（舍去）； 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率，根据题意，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，读懂题意列出方程是关键．由等腰三角形的性质及平行条件，得点D是的中点，则，从而可表示出、，由面积关系建立方程即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，点在上， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴． 故答案为：． 14．1或4 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法． 根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论． 【详解】解：设出发后秒时，． 四边形是菱形，，， ，，，， ， 当时，点在线段上，点在线段上． 此时，， 则； 解得，（舍去） 当时，点在线段上，点在线段上， 此时， 则；化简为， 此时方程，原方程无实数解； 当时，点在线段上，点在线段上， 此时，， 则； 解得（舍去）， 综上所述，出发后或时，． 故答案为：1或4． 15．9 【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键． 【详解】解：设降低x元，由题意得出: ， 整理得：， 解得：． ∴． 即：第二周的销售价格为9元． 故答案为：9． 16．2或4 【分析】考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，知，． 线段将分成面积1：2的两部分， 则根据三角形的面积公式，得， 整理得：． 解得， 即线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 17．(1)每年绿化面积的平均增长率为 (2)2024年的绿化面积是26.62万亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． （1）先设每年绿化面积的增长率为x，根据2021年的绿化面积增长率年的绿化面积，列出方程求解即可； （2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x，可列方程： ， 解方程，得（不合题意，舍去）． 所以每年绿化面积的平均增长率为． （2）解：（万亩）． 答：2024年的绿化面积是26.62万亩． 18．(1) (2)不能，理由见解析 (3)不能大于40，理由见解析；不能大于30，理由见解析 (4)人行走道的宽是5米，过程见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形得出等量关系，列出方程． （1）设人行走道宽为，则网球场长为米，宽为米，根据长方形面积公式列出方程即可； （2）根据x表示的实际意义，即可解答； （3）根据网球场的长和宽均不能小于0，即可解答； （4）求解（1）中列出的方程即可． 【详解】（1）解：设人行走道宽为， 可列方程为； （2）解：∵x为人行走道的宽度，不能为负数， ∴x的值不能小于； （3）解：当时，网球场的长为，不符合实际， ∴x的值不能大于40； 当时，网球场的长为，不符合实际， ∴x的值不能大于30； （4）解：由（1）可得：， 整理得：， ， ， 解得：（舍去）， 答：人行走道的宽是5米． 19．(1)5月平均每天有260人前往甲接种点接种，200人前往乙接种点接种加强针 (2)的值为5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程． （1）设5月平均每天有人前往乙接种点接种加强针，则可以表示出前往甲接种点接种的人数，再根据两接种点的总人数列出方程即可； （2）由5月份和6月份甲、乙两接种点的每天接种人数关系可以求出6月份的站点接种人数，再根据总的接种人数列出一元二次方程求解，此时解得的值有两个，再根据6月份甲接种点的人数判断值的取舍． 【详解】（1）解：设5月平均每天有人前往乙接种点接种加强针，则5月平均每天有人前往甲接种点接种， 由题意得：， 解得：， ∴人． 答：5月平均每天有260人前往甲接种点接种，200人前往乙接种点接种加强针； （2）由题意得：6月平均每天有人前往甲接种点接种，有人前往乙接种点接种， ， 解得， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意，舍去． 答：a的值为5． 20．(1) (2)12元 (3)每天不能获利1320元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）每天获利960元时，根据题意得 ，整理得． 解得，（不合题意，舍去） 所以，每碗售价12元时，每天获利960元． （3）每天不能获利1320元，理由如下： 当时，整理得：． ∵，方程无解， 所以每天不能获利1320元． 21．(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆 (2)a的值是20 【分析】本题考查一元二次方程、 一元一次不等式的应用， 解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件， 利用方程的思想和不等式的性质解答 ． （1） 根据题意可以列出相应的不等式， 从而可以求得一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆； （2） 根据题意可以列出相应的方程， 从而可以求得的值 ． 【详解】（1）设一月份该公司投入市场的自行车辆， ， 解得，， 答： 一月份该公司投入市场的自行车至少有 7000 辆； （2）由题意可得， ， 化简， 得 ， 解得：，， ， 解得，， ， 答：的值是 20 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$