1.2一元二次方程的解法复习讲义 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

1.2一元二次方程的解法复习讲义-数学九年级上册苏科版 知识梳理 解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 典例分析 1．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， ∴，； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 2．先化简再求值： ，其中是方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值、解一元二次方程、分式有意义的条件等知识，正确完成分式化简是解题关键．首先化简题目中的分式，然后对进行求解，再取满足条件的值进行求解． 【详解】解：原式 ， 解方程， 可得，， ∵， ∴， ∴原式 ． 精选好题 一、单选题 1．一元二次方程的根为（　　） A． B．， C． D．， 2．将方程配方成的形式，则，分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　） A． B．且 C． D． 6．如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 8．用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．方程中较小的根是 ． 10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）． 11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 12．用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是 ． 13．用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 14．小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数∶，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数2，则 ． 15．三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为 ． 16．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数 ． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 19．有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 20．已知：关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)若方程的有一个根大于3，求k的取值范围 21．在中，，将在平面内绕点顺时针旋转（）得到，其中点的对应点为点，连接． (1)若，如图①，求的度数； (2)当点在边上时，如图②，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A D B A B D 1．D 【详解】本题主要考查了运用平方根解方程，运用直接开平方法即可解决问题． 【分析】解：∵， ∴x是3的平方根， 则， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了配方法的应用，根据，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，即可作答． 【详解】解：∵方程配方成的形式 ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ∴ 即 ∴， 故选：A 3．A 【分析】本题考查运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意； B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意； C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意； D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到且，即，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根， 且，即， 解得， 故的取值范围是且． 故选：B． 6．A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴，得， ， 或或或， 解得或． 故选：A． 7．B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 8．D 【分析】本题考查公式解一元二次方程，根据，，代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．0 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，， ∴方程中较小的根是0， 故答案为：0． 10．6（答案不唯一，即可） 【分析】根据方程的根的判别式，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实根， ∴， 解得， 故 故答案为：6． 11．2 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半得平方，配成完全平方式，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．3或 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意，把实数对代入中，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】把实数对代入得 移项得 因式分解得 解得． 故答案为：3或． 15．19 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系． 利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为：； 故答案为：19． 16．或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分类讨论：①当时，解方程即可；当时，，解方程可得答案. 【详解】解：当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得， 故答案为：或． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， 解得，． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 19．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 20．(1)见详解 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键． （1）求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论； （2）解方程得，根据方程有一个根大于2得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）证明：依题意，得， ， ， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：解方程得，， ∵该方程有一个根大于3， ， ． 21．(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）先由旋转性质，得，，结合三角形内角和列式计算即可作答． （2）设的长为，由旋转性质，得，先得，，，再在，代入数值计算即可作答． 【详解】（1）解：∵将在平面内绕点顺时针旋转得到， ， ； （2）解：过点作， ， ∴设的长为，， ∴，， 将在平面内绕点顺时针旋转得到， ， ∴， ∵在，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$