1.1一元二次方程复习讲义 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

1.1一元二次方程复习讲义-数学九年级上册苏科版 知识梳理 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 典例分析 1．已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 2．若a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将a代入方程再将方程变换得到，，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，， ∴ ． 精选好题 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（    ） A．5 B． C．3 D． 3．若一元二次方程的一个根为，则（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2020 D．2021 5．若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D． 6．若是关于x的一元二次方程，则a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．一元二次方程化一般形式后（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．两个关于的一元二次方程和，其中，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．方程的一次项系数是 ． 10．若方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 11．已知a，b是方程的两根，且，则 ． 12．已知一元二次方程有一个根为，则k的值为 ． 13．将方程化成一般形式是 ． 14．当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 15．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是关于x的一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 16．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知是方程的根，求代数式的值． 18．关于x的方程的一个实数根是6，并且m和5恰好是等腰三角形的两边长，求的周长． 19．把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 20．已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 21．已知关于的一元二次方程（）的一个根是，且，满足，求，，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B A B C A C 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将所给方程化为的形式，即可得出一次项系数． 【详解】解：移项，得：， 可知一次项系数为， 故选B． 3．B 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴，即， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为的解是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫作一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义得出，求出即可． 【详解】解：由题意，得， 解得，． 故选：C 7．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．先将一元二次方程化一般形式，即可得出a，b，c的值． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为：， ∴，，． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∵和， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 9．2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项系数；叫做一次项系数；叫做常数项．首先把方程化成一般形式，然后再确定一次项系数． 【详解】解：， ， ， 一次项系数是2， 故答案为：2． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，先把方程化为一般式，再根据二次项系数不为0进行求解即可． 【详解】解：∵方程，即是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 11．1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值，先根据a，b是方程的解可得，，然后整体代入已知式即可得出答案． 【详解】∵a，b是方程的两根， ∴，， ∴, ∴ ∴． ∴． 故答案为：1． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把代入方程即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故答案为： ． 13． 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据多项式与多项式的乘法法则、移项、合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 即方程的一般形式是． 故答案为：． 14． 【分析】 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．注意：未知数的最高次数的系数不为根据一元二次方程和一元一次方程的定义计算即可． 【详解】解：当关于x的方程是一元二次方程时，，则． 当关于x的方程是一元一次方程时，且，则． 故答案是：；． 15．④⑦ 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元二次方程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判断得解． 【详解】解：①虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，故不是方程； ②不是整式方程；不是一元二次方程； ③是整式方程，可整理为，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程，但不是关于x的方程； ④整理为，是一元二次方程； ⑤不一定是一元二次方程，因为当时，它不是一元二次方程，只有当时，它是一元二次方程； ⑥整理为，它是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑦可整理为，因为不可能等于0，所以是一元二次方程； ⑧不是整式方程，不是一元二次方程． 答案：④⑦ 16． 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 17． 【分析】由是方程的根，可得，再化简代数式并整体代入即可求解． 【详解】解：∵由是方程的根， ∴， ∴； ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，运用了整体思想，关键是正确化简分式． 18．19或23 【分析】利用一元二次方程的解先求解m的值，再按照两种情况分类讨论即可． 【详解】解：把代入． 得，解得． 因为m和5恰好是等腰三角形的两边长， ①当腰长为5，即三边长分别为5，5，9．则的周长为19； ②当腰长为9，即三边长分别为9，9，5．周长为23． 综上所述，的周长为19或23． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，一元二次方程的解的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 19．二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，． 【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解． 【详解】去括号，得 移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，． 【点睛】本题考查了一元二次方程一般式：，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 21．，， 【分析】由二次根式有意义的条件可得，进而可求；将代入方程即可求． 【详解】解：由题意得： ∴ ∴ 故方程为： 将代入方程得： ∴ 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解．确定的值是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$