1.4.2.1用空间向量研究距离问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 ·人教A版选择性必修第一册· 思 知识回顾 1. 向量的数量积 2. 投影向量 思 新知探究 问题：空间中有哪些距离问题？ 空间中的距离 两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离 点到平面的距离、线到平面的距离、两平行平面间的距离 我们该如何用空间向量解决这些距离？ 接下来我们一起探究这些距离公式及推导! 空间向量的模 思 新知探究 课本P35 （距离初识）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点A到平面B1C的距离等于_____； 直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. 1 1 1 B A A1 B1 C1 D1 C D 思 新知探究 1.空间两点之间的距离 已知空间中任意两点， 则 所以 空间中两点间距离 向量的模 思 新知探究 2.点到直线的距离 思考：已知直线的，是直线上的定点，直线外一点.如何点到直线的距离？ 思 新知探究 2.点到直线的距离 探究：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ 思 例题解析 例1:如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点，求点到直线的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解： ①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量或单位方向向量e) 思 例题解析 例1:如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点，求点到直线的距离. ②等面积法(将点线距离视为三角形的高) 思 新知探究 3.两条平行直线的距离 求两条平行直线之间的距离,可在其中一条直线上任取一点,则两条平行直线间的距离就等于点到直线的距离. 两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解. 思 练习巩固 练习1:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; 课本P35 B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 思 练习巩固 练习1:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; 课本P35 B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 思 方法小结 用向量法求点线距、两平行线距离的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点(线上一点)与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点线距公式求距离. 思 新知探究 4.点到平面的距离 α P • A • Q 思考：如图，已知平面的一个法向量为，点，点. 如何求点到平面的距离？ d是在直线l上的投影向量的长度. 思 新知探究 4.直线到平面的距离 5.两个平行平面之间的距离 l上任取一点到平面α的距离 l到平面α的距离 先判断l//α α A l Q d P • β内任取一点到平面α的距离 平面α距β的距离 先判断β//α α A Q d P • β 思 例题解析 例2:如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点，求直线到平面的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 思 练习巩固 练习2:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课本P35 思 练习巩固 练习2:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课本P35 思 练习巩固 练习3:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离. 课本P35 x y z B A A1 B1 C1 D1 C D 思 方法小结 用向量法求点面距、线面距、面面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：写出相关点以及相关向量(，内两不共线向量)的坐标； (3)求平面法向量坐标： (4)求距离. 思 新知探究 7.两条异面直线之间的距离 法二：①在直线，上任意取点，，得到， ②求出与，都垂直的向量， ③套公式得 例3：在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与的距离为_________； 法一：找出其公垂线，求公垂线段的长度. 思 新知探究 7.两条异面直线之间的距离 例3：在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与的距离为_________； 解：建系如图，则，，， ∴， 设，满足即 取得， 所以异面直线. A D C B A1 D1 C1 B1 M N 思 方法小结 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: 检 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1. 点到直线的距离 2. 点到平面的距离 • • l d A 练 课后作业 优化学案、小本 $$