精品解析：沪科版2023-2024学年七年级数学下册期末复习试题

2023-2024学年七年级下册数学沪科版期末复习试题 一、单选题（共10小题，满分40分） 1. 不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，， 故此不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】本题考查的是解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 2. 如图是一段台阶的截面图，高BC为5米，直角边AC为12米，现打算在台阶上铺上一整张防滑毯，至少需防滑毯的长为（ ） A. 12米 B. 13米 C. 17米 D. 18米 【答案】C 【解析】 【分析】平移的性质：对应线段相等，根据平移的性质可得答案. 【详解】解： 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米）， 铅直的防滑毯的长度（米）， 所以至少需防滑毯的长为：（米）， 故选： 【点睛】本题考查的是图形平移的性质，掌握平移前后的对应线段相等是解题的关键. 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是对顶角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角、同位角，内错角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； B、与是同位角，原说法正确，不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，符合题意； D、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4. 下列多项式的乘法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘法的运算法则以及完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 5. 已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 6. 小明解方程的过程如下，他的解答过程中从第（　　）步开始出现错误． 解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1① 去括号，得1﹣x+2＝1② 合并同类项，得﹣x+3＝1③ 移项，得﹣x＝﹣2④ 系数化为1，得x＝2⑤ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题． 【详解】=1， 去分母，得1-（x-2）=x，故①错误， 故选A． 【点睛】本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法． 7. 如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点G作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是对顶角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质对各项进行判断即可． 【详解】解：①∠AMF与∠DNF不是对顶角，错误； ②∵PG∥AB，AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠PGM＝∠GNH， ∵∠GNH＝∠DNF， ∴∠PGM＝∠DNF，正确； ③∵AB∥PG∥CD， ∴∠BMN＝∠MGP，∠PGH＝∠GHN， ∵∠MGP+∠PGH＝90°， ∴∠BMN+∠GHN＝90°，正确； ④∵AB∥CD∥PG， ∴∠AMG+∠MGP＝180°，∠CHG+∠PGH＝180°， ∵∠MGP+∠PGH＝90°， ∴∠AMG+∠CHG＝180°+180°﹣90°＝270°，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键． 8. 如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（ ）个． ① ② ③平分 ④ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 9. 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法： ①； ②若，则，； ③的解集为或； ④函数与直线（为常数）有3个交点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义，分类计算判断即可． 【详解】因为，且， 所以， 故①正确； 当时，， 解得，，符合题意； 当即时，， 所以，此时即，显然不成立， 所以②正确； 当即时，，得到， 解得， 所以不等式的解集是； 当即时，，得到， 解得， 所以不等式解集是或； 所以③不正确； 当即时，此时 因为， 图像为抛物线上的一部分； 当即时，此时或， 因， 图像为抛物线上的一部分，且当时，；当时，；符合题意的整体图象如下： 故当时，函数与直线（为常数）有3个交点． 所以④正确； 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算和二次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=，故①正确； ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， ∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC， ∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CF=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位线， ∴GC=AC=MH，故②正确； ③如图2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 将△ACF顺时针旋转90°至△BCD， 则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误； ④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE， ∵∠A=∠5=45°， ∴△ACE∽△BFC， ∴， ∴AE•BF=AC•BC=1， 由题意知四边形CHMG是矩形， ∴MG∥BC，MH=CG， MG=CH，MH∥AC， ∴；， 即；， ∴MG=AE；MH=BF， ∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=. 故④正确． 故选C． 【点睛】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度． 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. 如图，将沿着射线的方向平移，得到，若，，则平移的距离为__． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，再利用，然后求出CF的长，从而得到平移的距离． 【详解】解：沿着射线的方向平移，得到， ， ，， ， 即平移的距离为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等． 12. 如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为 ，正方形的面积为． 将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积为，当时，数轴上点表示的数是___________．（用含a的代数式表示） 【答案】或 【解析】 【分析】根据正方形的面积可得正方形的边长，然后分情况讨论，进而可以表示点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为，所以边长为a，当时，分两种情况： （1）当正方形向左平移时，如图所示： ∵， ， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数为； （2）当正方形ABCD向右平移时，如图所示： ∵，， ∴， ∴数轴上点表示的数为； 综上所述，数轴上点表示的数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据正方形平移后用代数式表示线段的长度． 13. 结果用幂的形式表示：=________． 【答案】. 【解析】 【分析】将底数()看成一个整体，再使用同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可得到答案. 【详解】解：将底数()看成一个整体，由题意有： 原式= 故答案为：. 【点睛】本题考查了同底数幂的运算，将底数看成一个整体处理，熟练掌握运算公式是解题的关键. 14. 沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直． 【答案】或或 【解析】 【分析】设开启秒后，两灯的光束互相垂直，分，时，灯光返回，第一次与垂直和时，灯光返回，第二次与垂直，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：灯P照射一次，需要秒，灯Q照射一次，需要秒，设开启秒后，两灯的光束互相垂直； ①当时，两灯光垂直于点，过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； ②当时，灯光返回，第一次与垂直，过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； ③当时，灯光返回，第二次与垂直，过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 综上：开启秒或秒或秒时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质的应用．通过添加辅助线，构造平行线，利用平行线的性质，进行求解，是解题的关键．注意分类讨论． 15. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，则的度数是________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了邻补角，两直线平行，内错角相等．熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由邻补角可得，由题意知，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x方程有唯一解，则应满足的条件是_________________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据隐含条件，，，先去分母、去括号、移项，再合并，保证未知数的系数不等于0即可． 【详解】解：由分式的概念可得 ，， 两边同乘以得， 整理后，得 因方程有唯一解， 故， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，一元一次方程有唯一解的条件是：未知数的系数不等于0． 17. 已知实数m、、满足：． ①若，则_________． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有_________个 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①把代入求值即可； ②由题意知：均为整数， ，则再分三种情况讨论即可． 【详解】解：①当时，， 解得：； ②当m、、为正整数时， 均为整数， 而 或或， 或或， 当时，时，；时，， 故为，共2个； 当时，时，；时，，时， 故为，共3个； 当时，时，；时，， 故为，共2个； 综上所述：共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． 18. 两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为，例如：；．若 一个两位数，两位数（，，x，y是整数），交换两位数p的十位数字和个位数字得到新数，当 与q的个位数字的6倍的和能被13整除时，称这样的两个数p和q为“美好数对”，求所有“美好数对”中的最大值________． 【答案】184 【解析】 【分析】根据给定条件求出x和y的值，可以找出两对“美好数”，分别求出的值，即可找出最大值． 【详解】解：根据题意可得：，， ∵，， ∴， ∴数p的个数为，十位为；数q的个位为，十位为， ∴， ∵p和q为“美好数对”， ∴能被13整除， ∵， ∴能被13整除， ∵，， ∴， ∵或， ①当时， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ②当时， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴最大值为184． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解和新定义，正确理解题目所给新定义，求出x和y的值是解题的关键． 三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分） 19. 求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】分别求出一元一次方程的解，再求交集即可得出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是：． 解集在数轴上表示如下： ． 【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，掌握不等式的性质以及解一元一次不等式的方法是解此题的关键． 20. 观察下列等式： ，，，…… （1）请写出第四个等式： ； （2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 【答案】（1）4-=42×；（2）第n个等式是，见解析． 【解析】 【分析】（1）把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是、、，减数的分子分别是，，，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的乘积；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是8，分子是4的4倍，差等于与的乘积； （2）根据上述等式的规律，猜想第个等式为：，然后把等式的左边化简，根据左边右边，证明等式的准确性即可． 【详解】解：（1）4-=42× （2）第n个等式是． 证明：∵左边= =右边， ∴等式成立． 【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第个等式为：． 21. 解不等式组 ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解的和． 【答案】原不等式组的解集是：﹣1＜x≤1，数轴表示见解析，原不等式组的所有整数解的和是1． 【解析】 【详解】试题分析：先求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，求出整数解，即可得出答案． 试题解析：∵解不等式①得：x≤1， 解不等式②，得x＞﹣1， ∴原不等式组的解集是：﹣1＜x≤1， 其解集在数轴上表示如图所示： ， ∴不等式组的整数解有0，1， ∴原不等式组的所有整数解的和是0+1=1． 【点睛】本题考查不等式组的解法、整数解等，先求出不等式中每一个不等式的解集，并确定公共部分从而确定解集是关键. 22. 阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式：同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：. 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得，，于是我们可以得到：. 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当 时，多项式的值为0，所以多项式有因式 ，从而因式分解 . （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式：①；②. （3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想： 代数式有因式 ， ， ， 所以分解因式 . 【答案】（1）；，；（2）①②；（3）， 【解析】 【分析】（1）当x=1是，多项式的值为0，所以可设，然后求解得到m，n的值即可； （2）①把x=﹣1代入，得到的值为0，则可设，然后根据题意求解m，n的值即可； ②同理①利用试根法进行求解即可； （3）当x=2或y=2或x=y时都可得式子=0，根据题意可得其有因式，然后将代数式去括号化简，将也去括号化简即可得到其关系. 【详解】（1）当x=1是，多项式=0， 则， 解得m=6，n=5， ∴； （2）①当x=﹣1时，多项式=0， 则， 解得m=2，n=3， ∴； ②当x=1或2时，多项式=0， 则， 解得m=1，n=3， ∴； （3）由题意可得当x=2或y=2或x=y时，多项式=0， 则有因式， ∵， ， ∴. 【点睛】本题主要考查因式分解的拓展，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，准确理解题意找到试根法的运算技巧. 23. 在平面直角坐标系中，，满足，中，的边与x轴分别交于O、G两点，与直线分别交于E、F两点． （1）求 ； ． （2）将直角三角形如图1位置摆放，求证：； （3）将直角三角形如图2位置摆放，N为上一点，，请写与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1），4 （2）见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了非负数性质，平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用算术平方根和绝对值的非负性可得，的值； （2）作轴，推出利用平行线的性质得到，，结合，可得； （3）作轴，推出轴，根据平行线的性质得，，结合得到，结合，可得结论． 【小问1详解】 解：， ，， ，； 【小问2详解】 解：如图1，作轴， ， 轴， 轴， ，， ， ； ； 【小问3详解】 ．理由如下： 如图2，作轴， 轴， ，， ， ， ， ． 24. 近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？ 【答案】每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出分式方程．设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列方程求解． 【详解】解：设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为元， 由题意得，， 解得：， 经检验得：是原方程解， 则， 答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年七年级下册数学沪科版期末复习试题 一、单选题（共10小题，满分40分） 1. 不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ） A B. C. D. 2. 如图是一段台阶的截面图，高BC为5米，直角边AC为12米，现打算在台阶上铺上一整张防滑毯，至少需防滑毯的长为（ ） A. 12米 B. 13米 C. 17米 D. 18米 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是对顶角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 4. 下列多项式的乘法正确的是（ ） A. B. C D. 5. 已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 小明解方程的过程如下，他的解答过程中从第（　　）步开始出现错误． 解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1① 去括号，得1﹣x+2＝1② 合并同类项，得﹣x+3＝1③ 移项，得﹣x＝﹣2④ 系数化为1，得x＝2⑤ A ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点G作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是对顶角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（ ）个． ① ② ③平分 ④ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法： ①； ②若，则，； ③的解集为或； ④函数与直线（为常数）有3个交点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. 如图，将沿着射线的方向平移，得到，若，，则平移的距离为__． 12. 如图，正方形的边在数轴上，数轴上点A表示的数为 ，正方形的面积为． 将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点A、B、C、D的对应点分别为、、、，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积为，当时，数轴上点表示的数是___________．（用含a的代数式表示） 13. 结果用幂的形式表示：=________． 14. 沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直． 15. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，则的度数是________． 16. 若关于x的方程有唯一解，则应满足的条件是_________________． 17. 已知实数m、、满足：． ①若，则_________． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有_________个 18. 两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为，例如：；．若 一个两位数，两位数（，，x，y是整数），交换两位数p的十位数字和个位数字得到新数，当 与q的个位数字的6倍的和能被13整除时，称这样的两个数p和q为“美好数对”，求所有“美好数对”中的最大值________． 三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分） 19. 求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来． 20 观察下列等式： ，，，…… （1）请写出第四个等式： ； （2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 21. 解不等式组 ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解的和． 22. 阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式：同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：. 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得，，于是我们可以得到：. 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当 时，多项式的值为0，所以多项式有因式 ，从而因式分解 . （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式：①；②. （3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想： 代数式有因式 ， ， ， 所以分解因式 . 23. 在平面直角坐标系中，，满足，中，的边与x轴分别交于O、G两点，与直线分别交于E、F两点． （1）求 ； ． （2）将直角三角形如图1位置摆放，求证：； （3）将直角三角形如图2位置摆放，N为上一点，，请写与之间的等量关系，并说明理由． 24. 近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$