1.3正方形的性质与判定（第2课时）教学设计　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

《正方形的性质与判定》（第2课时）教学设计 一、教材分析 本节课是北师大版《数学九年级（上）》第一章第三节第2课时.教材首先提供了一个剪纸活动，引出正方形的判定问题；在“议一议”部分，引导学生讨论正方形的判定方法，形成判定正方形的基本思路；紧接着通过研究中点四边形的问题，综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理. 二、学情分析 学生之前已经借助折纸、画图、测量、证明等活动探索过平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，还在第1课时学习了正方形的性质，而前面的探索过程和方法为本节课的推理证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路. 三、教学目标 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题. 2.发现决定中点四边形形状的因素，能熟练地运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力. 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想. 四、教学过程 （一）情境引入 ( 图1 )问题：如图1，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠、思考、剪切） 本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请学生到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结出正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.有一组邻边相等的矩形是正方形. 教师可以用课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系. ( 图 2 )（二）运用巩固 例 如图2，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 【设计意图】通过上述例题，复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理，让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题. （三）猜想结论，分组验证 1.活动内容1 （1）如图3，在△ABC中，EF为△ABC的中位线， ①若∠BEF=30°，则∠A= . ②若EF=8 cm，则AC= . （2）如图4，在AC的下方找一点D，作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？ ( 图3 ) ( 图4 ) ( 图5 )（3）四边形EFGH（如图5）的形状有什么特征？ 【注意事项】教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，并且问题比较简单，这样可以增强学生学习数学的自信心. 2.活动内容2 问题：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？ 【设计意图】在一个开放的情境中，引导学生体会由一般到特殊的归纳、类比、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神. 3.活动内容3 学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性. 学生结合前面学过的各种特殊四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，通过类比和转化归纳出以下几种情况. ( 图 8 图 10 图 11 图 12 图 7 图6 图 9 ) 得出结论： 平行四边形的中点四边形是平行四边形（如图6）； 矩形的中点四边形是菱形（如图7）； 菱形的中点四边形是矩形（如图8）； 正方形的中点四边形是正方形（如图9）； 等腰梯形的中点四边形是菱形（如图10）； 直角梯形的中点四边形是平行四边形（如图11）； 梯形的中点四边形是平行四边形（如图12）. 4.活动内容4 问题：（1）矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？ （2）平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？ （3）你是从什么角度考虑的？ （4）你从哪儿得到的启发？ （5）你能用你的发现解释其他的图形变化吗？例如，原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？ 规律：确定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系. （1）若对角线相等，则中点四边形EFGH为菱形（如图13）； （2）若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形（如图14）； （3）若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为正方形（如图15）； （4）若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为平行四边形（如图16）. 图13 图14 图15 图16 【设计意图】以问题串的形式引导学生逐步深入思考，前2个问题的设置帮助学生回忆特殊四边形的性质与判定定理，第3，4个问题帮助学生揭示变化的原因：矩形和等腰梯形的对角线有相同的性质“对角线相等”，而且其他中点四边形的变换也和原四边形的对角线有关系.有了前4问的铺设，第5个问题可以通过类比的思想解决；同时让学生体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法，进一步提高学生的数学表达能力. （四）学以致用 利用几何画板，拖动点A使四边形ABCD的图形变化进行研究. 图17 图18 图19 图20 【设计意图】用动画的形式让学生观察四边形在不断变化的过程中，中点四边形的变化情况，体会变化中存在不变的几何关系，培养学生的发散思维能力. 在题目的设置上，采用逐步递进的策略，其中图17中四边形ABCD为凸四边形，图18是AB，AD在同一线段上，图19中四边形ABCD为凹四边形，图20中四边形ABCD为扭曲四边形. （五）课堂小结 1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？ 2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？ 【设计意图】培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，总结研究数学问题的一般方法. （六）作业布置 习题1.8 第1，3，4题. 五、教学反思 1.要创造性地使用教材 教材只是一个载体，教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验，由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，水到渠成，效果非常好. 2.注意改进的方面 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$