第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系（八大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）直线与圆锥曲线的位置关系 （2）弦长问题 （3）中点弦问题 2024年北京卷第13题，5分 2024年甲卷（理）第20题，12分 2023年I卷第22题，12分 2023年II卷第21题，12分 2023年甲卷（理）第20题，12分 2022年I卷第21题，12分 2022年II卷第21题，12分 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．直线与圆锥曲线综合问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦长、面积及弦中点、定点、定值、参数取值范围和最值等问题．多属于解答中的综合问题．近两年难度上有上升的趋势，但更趋于灵活． 复习目标： （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． （2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． （3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质． （4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. > ＝ < 8 知识梳理·基础回归 知识点2：弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， ＝ ， ＝ . 9 知识梳理·基础回归 知识点3：点差法 （1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 10 知识梳理·基础回归 知识点3：点差法 （2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 11 【典例1-1】直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示： 根据图像知有个公共点． 故选：B 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 题型突破·考法探究 【典例1-2】直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于直线恒过点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可， 即 ，解可得且， 故实数m的取值范围为．故选：C．  题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 【方法技巧】 （1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到． （2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切． 题型突破·考法探究 【变式1-1】已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得． 综上所述：满足条件的直线有条． 故选：D 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 题型突破·考法探究 【典例2-1】若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意，直线斜率存在，设，，则有，， 在椭圆上，有，， 两式相减，得，即， 得，即直线的斜率为， 则的直线方程为，即． 故答案为： 题型二：求中点弦所在直线方程问题 题型突破·考法探究 【典例2-2】已知为椭圆内一点，经过作一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为 ． 【答案】 【解析】易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为， 弦所在的直线与椭圆相交于，两点， 设，，则，① ② ①-②得， ，，， ∴此弦所在的直线方程为，即．  【方法技巧】 点差法 题型二：求中点弦所在直线方程问题 题型突破·考法探究 【变式2-1】已知双曲线方程是，过定点作直线交双曲线于两点，并使为的中点，则此直线方程是 ． 【答案】 【解析】由题得，设 所以， 两式相减得， 由题得， 所以， 因为，所以， 所以直线的方程为即． 题型二：求中点弦所在直线方程问题 题型突破·考法探究 【典例3-1】已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，中点， 则，相减得， 斜率存在时， ∴， 又是中点，且直线过点， 所以，化简得， 斜率不存在时，方程为，中点为适合上述方程． ∴点的轨迹方程是． 题型三：求弦中点的轨迹方程问题 题型突破·考法探究 【典例3-2】斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 【答案】（或）． 【解析】设直线为，与双曲线交点为， 联立双曲线可得：，则， 即或， 所以，故，则弦中点为， 所以弦的中点的轨迹方程为（或）． 故答案为：（或）  【方法技巧】 点差法 题型三：求弦中点的轨迹方程问题 题型突破·考法探究 【变式3-1】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，中点， 则． ，过定点， ． 又，（1），（2） 得：， ． 于是，即． 又弦中点轨迹在已知抛物线内，联立 故弦的中点轨迹方程是 题型三：求弦中点的轨迹方程问题 题型突破·考法探究 【典例4-1】已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得． 故答案为： 题型四：利用点差法解决对称问题 题型突破·考法探究 【典例4-2】已知双曲线C：． （1）若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； （2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【解析】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点，∴，． 由，两式相减可得，， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为，即． 题型四：利用点差法解决对称问题 题型突破·考法探究 【变式4-1】（2024·江西南昌·模拟预测）已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上． （1）求抛物线和直线的方程； （2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程． 【解析】（1）因为在抛物线上，所以，解得： 所以抛物线为：， 又直线的斜率为1，所以直线方程为：，即． （2）由（1）设直线的方程为， 由消去x得：，有，解得， 设，则，于是线段的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得，符合题意， 所以直线的方程为． 题型四：利用点差法解决对称问题 题型突破·考法探究 【典例5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，所以， 两式相减得，即， 又，所以，整理得， 又，，所以，所以， 所以椭圆的离心率．故选：D． 题型五：利用点差法解决斜率之积问题 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，，则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则，故选：D 题型五：利用点差法解决斜率之积问题 题型突破·考法探究 【变式5-1】椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 两式相减得， 由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知， 故，即， 设线段中点为，则，而， 连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即， 故，即，故选：A 题型五：利用点差法解决斜率之积问题 题型突破·考法探究 【典例6-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求． 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：，所以，， 所以 题型六：弦长问题 题型突破·考法探究 【典例6-2】（云南省2024届高三9月名校联考数学卷）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 ． 【答案】6 【解析】如图，设动圆的圆心，由题意得， 两边取平方，，化简得，故圆心的轨迹方程为． 联立方程，消去整理得， 设，则， 故．  【方法技巧】 在弦长有关的问题中，一般有三类问题： （1）弦长公式：． （2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；（3）涉及到面积的计算问题． 题型六：弦长问题 题型突破·考法探究 【变式6-1】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【解析】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为． （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长． 题型六：弦长问题 题型突破·考法探究 【典例7-1】（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：的焦距为，离心率为． （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值． 【解析】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为． （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ，则，， 故． 题型七：三角形面积问题 题型突破·考法探究 【典例7-1】（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：的焦距为，离心率为． （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值． 设直线l与x轴的交点为，又， 则， 故， 结合，解得． 题型七：三角形面积问题 题型突破·考法探究 【典例7-2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，求面积的最小值． 【解析】（1）由题意，得，抛物线的方程为． （2）设， 联立，消去得， ， ， 易知，直线恒过定点， 故△的面积， 故△面积的最小值为． 题型七：三角形面积问题 【方法技巧】 三角形的面积处理方法：底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） 题型突破·考法探究 【变式7-1】（2024·福建泉州·二模）已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，，过直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积． 【解析】（1）因为椭圆的离心率， 所以，点代入椭圆C得：；联立解得，， 所以，所求椭圆方程为 （2）直线的斜率， 故直线的方程为：，． 与椭圆方程联立，消去得：， ∴或． ∴的面积为 题型七：三角形面积问题 题型突破·考法探究 【典例8-1】已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点． （1）求a，b的值及C的离心率； （2）若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围． 【解析】（1）因为，在椭圆C：上， 所以，解得，， 所以，C的离心率为； （2）由（1）得，，故， 因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧， 所以四边形的面积， 当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立． 题型八：四边形面积问题 题型突破·考法探究 【典例8-2】已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值． 【解析】（1）由已知知：，解得，故抛物线的方程为：． （2）由（1）知：，设直线的方程为：，、， 则直线的方程为：， 联立得，则，所以，， ∴， 同理可得， ∴四边形的面积， 当且仅当，即时等号成立， ∴四边形面积的最小值为2． 题型八：四边形面积问题 【方法技巧】 四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半． 题型突破·考法探究 【变式8-1】（2024·湖南·三模）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限． （1）若，证明：直线和的斜率之积为定值； （2）若，求四边形的面积的最大值． 【解析】（1）证明：设，则， ∵，，∴，， ∵在椭圆上，∴， ∴为定值． （2）设，依题意：，点在第一象限，∴． 联立：得：， ∴，， 题型八：四边形面积问题 题型突破·考法探究 【变式8-1】（2024·湖南·三模）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限． （1）若，证明：直线和的斜率之积为定值； （2）若，求四边形的面积的最大值． 设到的距离为，到的距离为， ∴，， ∴． 又∵ （当时取等号）， ∴． ∴四边形的面积的最大值为 题型八：四边形面积问题 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 D C A A 39 05 课本典例·高考素材 1．过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ 【解析】取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N， 如图所示： 由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|， 在直角梯形APQB中， 故圆心M到准线的距离等于半径， ∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 圆半径为r，则 ，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形， 两底长分别为 ，（e为离心率） 圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即 ∵椭圆0＜e＜1，∴，∴相离 双曲线e＞1，可得d＜r，相交． 41 2．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程． 【解析】对于双曲线，有， ，， ， 双曲线的方程为； 抛物线的顶点的横坐标是， 抛物线的方程为． 42 3．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短． 【解析】根据题意设， 所以点到直线的距离为： 当且仅当时等号成立，此时 所以当时，点到直线的距离最短，为 43 4．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围． 【解析】直线方程与双曲线方程联立： 得：， 当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 当时，<0，即或，无公共点． 综上所述：或． 44 06 易错分析·答题模板 02 答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长 1、模板解决思路 首先，联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到关于另一个变量的二次方程．然后，利用韦达定理求出交点横（纵）坐标和．最后，利用弦长公式（涉及两点间距离公式和根的判别式）求出弦长． 2、模板解决步骤 第一步：联立直线与圆锥曲线的方程，通过消元法得到一个关于x或y的二次方程． 第二步：利用二次方程的求根公式，求出交点的坐标和（利用韦达定理，即根与系数的关系）． 第三步：根据弦长公式，代入交点坐标和，求出弦长． 【经典例题1】已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【经典例题2】若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ． 感谢观看 THANK YOU 则|AB|＝＝|x1－x2|   或|AB|＝|y1－y2| $$