第07讲 抛物线及其性质（八大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第07讲 抛物线及其性质 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）抛物线的定义及其标准方程 （2）抛物线的简单几何性质 2024年北京卷第11题，5分 2024年天津卷第12题，5分 2024年II卷第10题，6分 2023年北京卷第6题，5分 2023年II卷第10题，5分 2023年乙卷（文）第13题，5分 2023年I卷第22题，12分 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用． 复习目标： （1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． （2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． （3）了解抛物线的简单应用 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：抛物线的定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线. 相等 焦点 准线 8 知识梳理·基础回归 知识点2：抛物线的方程、图形及性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 9 知识梳理·基础回归 知识点2：抛物线的方程、图形及性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 准线方程 对称轴 _____ _____ 顶点 _____ 离心率 e＝___ x轴 y轴 (0,0) 1 10 【典例1-1】（2024·四川南充·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【解析】因为到抛物线焦点的距离为， 所以由抛物线定义知，，解得， 故选：A. 题型一：抛物线的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【典例1-2】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【解析】因为，得，即动点到定点的距离等于与到定直线的距离， 直线过点，则轨迹为过点与直线垂直的直线.故选：A 题型一：抛物线的定义与标准方程 【方法技巧】 求抛物线的标准方程的步骤为： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程;（3）解方程求出P，即得标准方程 题型突破·考法探究 【变式1-1】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 题型一：抛物线的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【典例2-1】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 题型二：抛物线的轨迹方程 题型突破·考法探究 【典例2-2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 【方法技巧】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围． 题型二：抛物线的轨迹方程 题型突破·考法探究 【变式2-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 题型二：抛物线的轨迹方程 题型突破·考法探究 【典例3-1】已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为 . 【答案】 【解析】设，则，所以， 当时，； 当时，，当且仅当即时取等号，所以， 由上可知，取最小值时，，所以. 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 题型突破·考法探究 【典例3-2】已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【答案】3 【解析】设为抛物线上任意一点， 圆的圆心, 则， 因为，且在单调递增， 所以当时，. 【方法技巧】 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解． 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 题型突破·考法探究 【变式3-1】已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 . 【答案】6 【解析】抛物线准线方程为, 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 则， 当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时， 最小，且. 故答案为：6. 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 题型突破·考法探究 【典例4-1】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限，则四边形的面积的最小值为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】B 【解析】依题意，，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 由，得，显然，设， ，，而，同理， 四边形的面积. 当且仅当时，四边形的面积取得最小值32.故选：B 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型突破·考法探究 【典例4-2】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】点在抛物线上，为抛物线的焦点， ，解得， 故抛物线的方程为，,， 则的面积． 故选：A． 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 【方法技巧】 解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比． 题型突破·考法探究 【变式4-1】已知点 M在曲线 上，过M作圆 的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【解析】如图，设点，连接， 四边形MACB的面积为， 而，又点在曲线上， 则有， 依题意，，故当且仅当时，， 此时四边形MACB的面积取得最小值. 故选:B. 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型突破·考法探究 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）设为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点．若的面积是的面积的3倍，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由双曲线的对称性，不妨设、分别在第一、四象限，设， 其中，．由题意得，直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为，易知． 联立抛物线方程与直线方程，得整理，得， 则，．由的面积是的面积的3倍， 得，则，所以，，则， 所以，解得（负值已舍去），所以． 由与抛物线的定义可知， 所以．根据的几何意义可知．故选：B． 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型突破·考法探究 【变式4-3】（2024·四川泸州·三模）已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由题意得：抛物线C：y²=8x的焦点为，准线为， 设准线l与x轴的交点为， 由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得， 不妨令直线，设， 联立方程，消去x得，解得或， 即，可得， 所以．故选：C. 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型突破·考法探究 【典例5-1】已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】因为是抛物线上一点，所以，得， 则抛物线的方程为． 设，不妨设，设直线的方程为， 联立得， 所以，故， 则， 当且仅当且，即时，等号成立． 故的最小值为9.故选：D． 题型五：焦半径问题 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】 如图，，直线的方程为：代入中，消去，可整理得，， 显然设，由韦达定理可得：（*） 因，由， 将（*）代入可得，，解得. 故选：D. 题型五：焦半径问题 题型突破·考法探究 【变式5-1】（2024·高三·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 题型五：焦半径问题 题型突破·考法探究 【典例6-1】（多选题）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 题型六：抛物线的几何性质 题型突破·考法探究 【典例6-2】（多选题）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 【答案】AC 【解析】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线， 则焦准距，故其方程为，故A正确； 抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误； 由知 ，故C正确； 当点在曲线上时，由于抛物线开口向上， 当点位于原点时，到直线l的距离最小为1， 故点P到直线l的距离 ，所以D错误， 故选：. 题型六：抛物线的几何性质 【方法技巧】 在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算． 题型突破·考法探究 【变式6-1】（多选题）（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 题型六：抛物线的几何性质 题型突破·考法探究 【典例7-1】（多选题）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（    ） A．点的纵坐标的取值范围是 B．等于点到抛物线的准线的距离 C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2 D．周长的取值范围是 【答案】BCD 【解析】如下图所示： ∵圆的圆心为，半径， 因此圆与轴正半轴的交点为， ∵抛物线的焦点为，准线方程为， 由，得，故点的纵坐标，故A错误； 由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确； 易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确； 的周长为，故D正确. 故选：BCD 题型七：抛物线焦点弦的性质 题型突破·考法探究 【典例7-2】（多选题）已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．Q是线段的一个三等分点 D． 【答案】ABD 【解析】如图，由抛物线的定义， 对于A，得，，又，则，A正确； 对于B，由，，得，所以. 而，所以，所以， 可知，所以，B正确； 对于D，在中，，可知，所以，D正确； 对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确. 故选：ABD. 题型七：抛物线焦点弦的性质 题型突破·考法探究 【变式7-1】（多选题）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程， 消去可得，则， 所以，故C正确； 又， 则 ，故D错误；故选：AC. 题型七：抛物线焦点弦的性质 题型突破·考法探究 【变式7-2】（多选题）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【解析】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误.故选：AC. 题型七：抛物线焦点弦的性质 题型突破·考法探究 【典例8-1】省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【解析】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 题型八：抛物线的实际应用 题型突破·考法探究 【典例8-2】在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 【答案】60 【解析】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴， 和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则抛物线方程为，由题意可知， 代入可得， 即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米， 故答案为：60  【方法技巧】 抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要的实用价值。 题型八：抛物线的实际应用 题型突破·考法探究 【变式8-1】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 米．（结果用，表示） 【答案】 【解析】如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系， 结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为． 故答案为：． 题型八：抛物线的实际应用 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 1．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 D D B A 39 05 课本典例·高考素材 1．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴． 【解析】不妨假设点M在第一象限， 设M（a，b）（b> 0）， 抛物线在第一象限内的解析式为（x>0），从而有 记抛物线在点M处的切线为直线l，过点M且垂直于切线l的直线记为m， 则直线l的斜率是，直线m的斜率是， 所以直线m的方程为， 设点F关于直线m的对称点为N（s，t），线段FN的中点为Q，则点Q在直线m上， 且直线FN⊥m，由题意可知，则， 从而有① 因为FN⊥m，所以直线FN的斜率②，由②可得③， 将③代入①可得， 化简得④， 41 1．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴． 因为点M（a， b）在上，所以，将代入④可解得t = b， 所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FN//x轴， 即符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴． 同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴． 综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴． 42 2．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程． 【解析】设， 则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 43 3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线（）上，求这个正三角形的边长． 【解析】设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点、， 则，， 又，∴，即， ∴，又∵，，， ∴，由此可得，即线段关于轴对称， ∵轴垂直于，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 44 4．从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． 【解析】设抛物线上的点M（x0，y0），过M作MQ⊥x轴于Q， 设线段MQ中点P（x，y）， 于是有，而，即，从而得， 当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程， 所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线． 45 06 易错分析·答题模板 02 易错点：抛物线焦点位置考虑不周全 易错分析：在处理抛物线问题时，焦点位置的考虑至关重要．若焦点位置分析不周全，易导致解题方向偏差，如误判抛物线的开口方向、顶点坐标及准线位置等．因此，需准确判断焦点位置，结合抛物线性质全面分析，避免陷入易错陷阱． 答题模板：抛物线的标准方程 1、模板解决思路 解决抛物线标准方程问题，首先判断其开口方向和顶点坐标．根据开口方向设定标准方程形式，然后利用已知条件如顶点、焦点或准线求解参数p，最后代入得到抛物线的标准方程． 2、模板解决步骤 第一步：确定开口方向与顶点，选对应方程形式； 第二步：利用已知条件（焦点、顶点、准线）求p； 第三步：代入求得的p值，写出最终的标准方程． 【易错题1】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【易错题2】顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 C D 感谢观看 THANK YOU  x＝－  x＝  y＝－  y＝ $$