第十一章 三角形 专题提升一 与三角形角平分线相关的模型 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 专题提升一 与三角形角平分线相关的模型 1 模型一 双内角平分线模型 模型展示如图1，在中，， 分别为 ， 的平分线. 通过三角形的内角和、角平分线的性质，可得 与的数量关系为 . 图1 ‹#› 2 图2 例1 如图2，在中，和 的平分线相 交于点.已知 ，求 的度数. ‹#› 3 思路点拨 图2 ‹#› 4 图2 解：在中， ， . ，的平分线相交于点， ， . . 自主解答 ‹#› 5 图3 1.如图3，是的两条角平分线的交点，过点 作 的高，交于点.若 ， ， 则 的度数为( ) . A A. B. C. D. 提示：观察图形，发现此图形属于双内角平分线模型， 则有 . . 由 ，得 . ‹#› 6 2.如图4，在中， ，平分交于点， 平 分交于点 . 图4 （1） 的度数为____. ‹#› 7 图4 （2）若 ，则 的度数为____. 提示：观察图形，发现此图形属于双内角平分线模型， 则有 . 所以 . 由 ，得 . 由角平分线的性质，得 . ‹#› 8 模型二 一内一外角平分线模型 模型展示如图5，，分别为， 的平分线. 图5 通过三角形的外角性质和角平分线的性质，可得与 的数量关 系为 . ‹#› 9 例2 如图6，已知平分，平分， 平 分，平分， .求 的度数. 思路点拨 图6 ‹#› 10 解： 平分，平分， ，. 又 ， . 自主解答 图6 ‹#› 又 ， . 同理可得， . 图6 ‹#› 图7 3.如图7，是中 的平分线， 是的外角 的平分线.若 ， ，则 ____ ， ____ . 30 60 提示：由角平分线的性质，得 ， . 由三角形的外角性质，得 . 观察图形，发现此图形属于一内一外角平分线模型， 则有 . ‹#› 13 图8 4.如图8， ，点，分别在射线 ， 上移动（不与点重合），平分， 的 反向延长线与的平分线相交于点 . （1）当 时，求 的度数. 解： ， ， . 平分， . ‹#› 14 图8 平分， . 又 ， . ‹#› 15 图8 （2）随着点，的移动，试问 的大小是否变化？ 请说明理由. 解：的大小不变. 理由： ， 平分， 平分， . ‹#› 16 图8 又 ， . 的大小不变. ‹#› 17 模型三 双外角平分线模型 模型展示如图9，，分别为， 的平分线. 图9 通过三角形的内角和、外角的性质和角平分线的性质，可得 与 的数量关系为 . ‹#› 18 例3 已知，点，分别在射线，上移动（不与点 重 合），平分，平分，直线，相交于点 . （1）如图10，当 时，求 的度数. 图10 （2）如图11，当 时，点，分别在射 线， 上移动的过程中，的度数是否改变？ 若不改变，则求出其值（用含 的式子表示）；若改 变，则请说明理由. ‹#› 19 思路点拨 ‹#› 20 解：(1) 平分，平分， ， ， ， 又， ， . . . 图10 自主解答 ‹#› 21 图11 (的度数不变，且 . 理由： 平分，平分， ， ， . ‹#› 22 图12 5.如图12，，是 的两个外角的平分线.若 ，则 的度数是____. 提示：由双外角平分线模型可得 . 由题意可知 ，则有 ，解得 . 所以 . ‹#› 23 $$