11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1课时） 课件 2024-2025学年 人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1课时） 1 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1课时） 目标素养 导航 2 内容要求 核心素养 理解三角 形的高、中 线、角平分线 的概念. 经历画图等实践过程，认识三角形的高、中线与 角平分线，掌握它们的画法及其位置特征，能够用符 号语言、图形语言叙述三角形的高、中线与角平分 线，形成和发展几何直观和抽象能力. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1课时） 新知预习 导学 4 知识梳理 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画______，顶 点和______之间的线段. 2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的______的 线段. 3.三角形的重心：三角形三条______的交点. 4.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的________和这个角所对 的边相交，这个角的顶点与______之间的线段. 垂线 垂足 中点 中线 平分线 交点 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 5 课前自测 1.三角形的角平分线、中线、高都是( ) . B A.直线 B.线段 C.射线 D.以上都不对 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 图1 2.（一题多问）如图1，在中，，， 是边上的三点， . （1）的边 上的高是线段( ) . A. B. C. D. C （2）若是的中线，，则 的长为___. （3）若是的角平分线，则 _____ _____. 2 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1课时） 重点直击 导析 8 知识点一 三角形的高 方法指导 （1）三角形的一条高把三角形分成两个直角三角形. （2）一个三角形有三条高，三条高所在直线交于一点.锐角三角形 的三条高都在三角形的内部，三条高相交于三角形的内部；直角三角形 的三条高相交于三角形的直角顶点；钝角三角形中组成钝角的两边上的 高在三角形的外部，三条高所在直线相交于三角形的外部. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 9 例1 下列各图形中，线段能表示 的高的是( ) . B A. B. C. D. 思路点拨 过点向它的对边作一条垂线，三角形的顶点 和它所对的 边的垂足之间的线段为三角形这条边上的高. 自主解答________________ 三角形的高是一条线段，而垂线是直线. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 10 针对训练 1.如图2，的边 上的高是( ) . B 图2 A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三 角形是( ) . C A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 11 知识点二 三角形的中线 方法指导 （1）三角形的中线是一条连接三角形的顶点和顶点所对的边的中 点的线段.一个三角形有三条中线，它们相交于一点，这个交点就是三 角形的重心，在三角形的内部. （2）三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 12 思路点拨 对于与，由于是 的中线，因此这两个 三角形的底相等，高是公共的，其面积也相等，即 同理可得 . 图3 例2 如图3，在中，是边上的中线， 是 的边上的中线，已知的面积是 ， 求 的面积. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 解：是的边上的中线， 是的边 上的中线， . 图3 自主解答 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 针对训练 图4 3.（一题多问）如图4，中， ， ，是 边上的中线. （1）下列结论一定正确的是( ) . A. B. C. D. C （2）的周长与 的周长的差为___. 6 提示：由中线的定义可知，，又，所以 的周长 与的周长的差为 . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 （3）若的周长为36，则 的周长是____. 30 图4 提示：的周长的周长 . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 知识点三 三角形的角平分线 方法指导 （1）一个三角形有三条角平分线，相交于一点，且这个交点在三 角形的内部. （2）三角形的角平分线与角的平分线的性质相同，但三角形的角 平分线是线段，角的平分线是射线. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 图5 例3 如图5，是的边上一点，过点 作 交于点.若 ，则请说明 是 的角平分线. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 思路点拨 图5 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 解： ， ， 是 的角平分线. 图5 自主解答 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 针对训练 4.（柳州中考）如图6，在中，是 的平分线，已知 ，则____ . 40 图6 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1课时） 素养达标 导练 22 基础巩固 1.不一定在三角形内部的线段是( ) . C A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.三角形的高和中线 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 23 2.如图7，在中， .则下列说法正确的是 ( ) . B 图7 A.是 的中线 B.是 的角平分线 C.是 的高 D.是 的中线 提示：由，得 ，即 .故是 的角平分线. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 24 图8 3.如图8，是的中线，已知 比 的周长大4，则与 的差为( ) . A A.4 B.3 C.2 D.1 提示：由中线的定义，得 .根据题意，得 ，即 . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 25 图9 4.如图9， ，， ， ，垂足分别为点，，，的边 上的高是线段_____，的边 上的高是线段 _____，的边 上的高是线段____. 图10 5.如图10，在中，点在边 上，且 ，是的中点，交于点 ，则 线段_____是的角平分线，线段是 ______ 的角平分线，线段_____是的中线，线段 是 _____的中线. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 26 6.如图11，已知 . （1）画的中线 . （2）画的高 . （3）画的高 . 图11 解：（1）（2）（3）如图1. 图1 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 27 能力提升 图12 7.（教材第9页习题11.1第8题变式）如图12，在 中，，分别是边， 上的高，且 ，，，则 ____. 3.6 提示：根据题意，得 . 所以 . 小锦囊 可利用三角形的面积公式列方程求解. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 28 图13 8.（教材第9页习题11.1第9题变式）如图13，是的角平分线， 点为 上一点，交于点，交 于 点.图中与 有什么数量关系？为什么？ 解：. 理由：是 的角平分线， ，， ， . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 29 综合拓展 9.探究与应用 【图形呈现】图14、图15、图16中的 完全相同，且面积均为60. 【初步探究】 （1）如图14，在中，是边上的中线，则 的面积___ 的面积.（填“”“”或“ ”） 图14 小锦囊 三角形的一条中线能把这个三角形分成面积相等的两个三角形. ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 30 【思路探究】 （2）如图15，，分别是的边， 上的中线，求四边形 的面积.请将下面的解题过程补充完整. 解：如图15，连接 . 图15 ，分别是的边， 上的中线， ____， ____. 是的中点，即 ， ____是的边上的中线， _______. 同理，可得 _______. 设， . 30 30 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 31 2 +___=30, +____=30. 解得_ ________. 四边形 的面积为____. 20 根据题意，得 图15 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 【拓展应用】 （3）如图16，，分别是的边， 上的点，且， 求四边形 的面积. 图16 ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 33 图2 解：如图2，连接， ， ， ， ，. 设， ， 则 ， . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 34 图2 根据题意，得 解得 . ‹#› 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 35 $$