精品解析：山东省济宁市曲阜市第一中学2022-2023学年高三上学期开学质量检测数学试题

曲阜一中 2022-2023 学年度高三开学质量检测 数 学 试 题 一、单选题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解出不等式，再判断充分性和必要性即可. 【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件． 故选：A. 3. 已知是一次函数，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】依题意，设，则有，解得， 所以. 故选：D 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数及二次函数单调性求出单调增区间. 【详解】函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D 5. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 6. 甲､乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪､短道速滑､花样滑冰､冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有（ ） A. 96种 B. 60种 C. 36种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，肯定有一个场地是两个人，该问题分为两类，一类是高山滑雪场两人，一类是高山滑雪场一人，之后利用分类加法计数原理求得结果. 【详解】分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地， 不同的安排方法共有种； 二是高山滑雪场只安排1人（甲），其余4人分三组（211），再安排到各场地， 有种. ∴.不同的安排方法有. 故选：B. 7. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】解方程可得结果. 【详解】当时，由可得，解得（舍去）； 当时，由可得，即或，解得或. 综上所述，函数的零点个数为. 故选：C. 8. 已知 则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后把转化到同一单调区间后可得大小关系． 【详解】，是偶函数， 时，是增函数， ，，，， 而，所以，即． 故选：A． 二、多选题 (本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分） 9. 已知，若，则实数a的值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分段函数，分别以，，讨论，求解方程可得答案. 【详解】解：因为，，所以 当时，，所以， 所以，解得，所以满足； 当时，，所以， 所以，解得，满足题意； 当时，，所以， 所以，解得，满足题意； 故选：ACD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的图像关于对称 【答案】BD 【解析】 【分析】先求解函数的表达式及定义域，根据函数的性质判断各项正误. 【详解】解：因为，所以，故B项正确； ，故A项错误； 因为，所以，故的定义域为，故C项错误； 因为，所以为偶函数，则的图像关于对称，故D项正确. 故选：BD. 11. 已知，函数的导函数为，下列说法正确的是（ ） A. B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，则可知，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为；方程等价于,易知函数与函数有且只有一个交点，由此即可选出答案. 【详解】由题意知：， 所以，A正确； 当时；，单调递增， 当时；，单调递减，B错误; 的极大值为，C正确； 方程等价于, 易知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只由一个解，D错误; 故选：AC. 12. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ） A. B. 直线为函数图象的一条对称轴 C. 函数在区间上存在2个零点 D. 若在区间上的根为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法及偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解. 【详解】令，得，则，又函数是偶函数，故，故A正确； 根据A可得，所以，又，所以，故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 由的周期为4，，且当时，是减函数，可得函数在区间上存在3个零点，故C不正确；易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 (本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分) 13. 函数的定义域为______． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据定义域的定义列不等式求解即可. 【详解】由题意可得： 解得，即定义域为（1，3）； 故答案为： . 14. 函数在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解，对函数求导，将代入导函数中可求出切线的斜率，再求出，然后利用点斜式可求出切线方程. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 因为， 所以切线方程为，即， 故答案为： 15. 的展开式中各项的二项式系数之和为________． 【答案】512 【解析】 【分析】由二项式系数的性质计算． 【详解】的展开式中各项的二项式系数之和为． 故答案为：512． 16. 设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由时，，得到的图象关于对称，不妨设，画出图象，易得，，，代入求解. 【详解】解：当时，，则的图象关于对称， 不妨设， 如图所示： 由图象知：，， 所以，，，， 所以， ， ， 令， 则. 故答案为： 四、解答题 (本题共 6 小题， 共 70 分) 17. 已知函数，求的单调区间和极值. 【答案】函数的单调增区间为，单调减区间为，极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】求出导函数，然后令，，求解不等式即可得函数的单调区间，从而可得函数的极值. 【详解】解：因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值. 18. 已知函数的解析式. （1）求； （2）若，求a的值； （3）画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）. 【答案】（1） （2）或 （3）图象： 值域为 【解析】 【分析】（1）根据解析式直接求解可得； （2）根据a的范围分段解方程可得； （3）根据解析式直接描点作图即可. 【小问1详解】 ∵函数的解析式， ∴，. 【小问2详解】 ∵，， ∴或或， 解得或. 【小问3详解】 画出函数的图象如图所示： 由图可知，的最大值为，函数的值域为. 19. 已知． （1）当时，讨论的单调区间； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）单调增区间是，单调递减区间为. （2）． 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导函数的正负讨论单调区间； （2）在定义域内单调递增，即导函数恒成立，解的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，定义域. . 令，即解得：； 令，即解得：； ∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为. 【小问2详解】 ∵，∴ ∵在上单调递增，即恒成立， ∵时 ∴，即a的取值范围为． 20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年. （1）当时，求函数关于的函数表达式； （2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值. 【答案】（1） （2）当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5. 【解析】 【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可； （2）分段求得函数的最值，比较可得答案. 【小问1详解】 依题意，当时，； 当时，是关于x的一次函数，假设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当时，取得最大值. 因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5. 21. 定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立 （1）求的值； （2）求证：为奇函数； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，得到，即可求得的值； （2）令，得到，进而得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解. （3）根据题意，把对恒成立，转化为对恒成立，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，函数满足：对任意都有成立 令，则，所以． 【小问2详解】 解：由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，可得， 因为，所以 所以函数为奇函数. 【小问3详解】 解：因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 因为是上的单调递增函数，所以，即， 即对恒成立， 因为函数为单调递增函数，所以， 所以，即实数的取值范围是. 22. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点，，且，当时，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，然后讨论在上的符号即可； （2）求出导数的两个根，并结合韦达定理找到根与系数之间的关系，然后将表示为关于的函数，再求值域即可． 【小问1详解】 解：的定义域为， ，令， 当，即时，在上恒成立，故此时是增函数； 当，即时，有两个正根，，或，显然， 此时的单调递增区间为，，单调递减期间为； 同理当时，在上恒成立，故此时是增函数； 综上可知：当时，是增函数；时，的两根为，或， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 解：由（1）知，，再令 当，的两个极值点为的两个互异实根，， 且，，则，即， 显然，由整理得，所以， 而， 将代入上式整理得， 再将代入上式得：，， 令，， 在上恒成立，故在上单调递减， ，，且， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲阜一中 2022-2023 学年度高三开学质量检测 数 学 试 题 一、单选题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是一次函数，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 6. 甲､乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪､短道速滑､花样滑冰､冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有（ ） A. 96种 B. 60种 C. 36种 D. 24种 7. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 已知 则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 (本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分） 9. 已知，若，则实数a的值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的图像关于对称 11. 已知，函数的导函数为，下列说法正确的是（ ） A. B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 12. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ） A. B. 直线为函数图象的一条对称轴 C. 函数在区间上存在2个零点 D. 若在区间上的根为，则 三、填空题 (本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分) 13. 函数的定义域为______． 14. 函数在点处的切线方程为_______． 15. 的展开式中各项的二项式系数之和为________． 16. 设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为________. 四、解答题 (本题共 6 小题， 共 70 分) 17. 已知函数，求的单调区间和极值. 18. 已知函数的解析式. （1）求； （2）若，求a的值； （3）画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）. 19. 已知． （1）当时，讨论的单调区间； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围． 20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年. （1）当时，求函数关于的函数表达式； （2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值. 21. 定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立 （1）求的值； （2）求证：为奇函数； （3）若对恒成立，求的取值范围． 22. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点，，且，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $