2.6　一元二次方程应用题10大类型总结和练习　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版9年级第二章一元二次方程应用题10大类型总结和练习 题型1：增长率问题 (1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 例1..某公司3月份的营业额为25万，4月份的营业额为36万，已知3、4月的增长率相同，则增长率为 　 　． 【巩固】 1. 某汽车4s店销售某品牌新能源汽车，该汽车每台的出厂价为25万元，已知该4s店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台。求该商店11，12两个月的月均增长率； 2.在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的8000元下降到5月份的7200元 问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（列出式子即可） 题型2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 例2．某城市为评文明城市，特规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（    ） 【巩固】 1.张大伯想用长的竹栅栏围一个长方形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是，设与墙垂直的一边长为． (1)当时，矩形菜园面积是，求x； (2)当A足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？ 2. 如图1，某城市公园欲规划在一块长为400m，宽为300m的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上花卉，测得花卉的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为400m，宽为300m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 题型3：数字问题 例3.已知两个数的和等于11，积等于30，求这两个数是多少． 【巩固】1.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（    ） 2.一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数.（列出方程即可） 题型4：利润（利息）问题 利润(销售)问题 　　 　　利润=售价-进价(成本)；　总利润=每件的利润×总件数； 　　 例4. 某手机专卖店，一款耳机现在的售价为每付60副，每周卖出300副．市场调查反映：每降价1元，每周可多卖出20副．已知商品的进价为每副40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 【巩固】 1.，某新商品每件进价是10元，在试销期间发现，当每件商品售价为15元时，每天可销售8件，当每件商品售每降价0.5元，日销售量就多售出2件．据此规律，请回答： ①当每件商品售价定为13.5元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ ②在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到40元？ 2.八月十五是中华民族传统的节日——中秋节，位于市内一家甜点店，计划在中秋节前用21天的时间生产盒装新式月饼，已知每盒月饼需要0.3斤秘制馅和0.5斤特制面粉，而甜品店每天能生产450斤秘制馅或300斤特制面粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的秘制馅和特制面粉恰好配套，且全部及时加工成月饼，则总共生产了多少盒新式月饼？ (2)为保证新式月饼的最佳风味，甜品店计划把达21天生产的月饼在10天内销售完毕．据统计，每盒新式月饼的成本为13元，售价为25元时每天可售出225盒，售价每降低2元，每天可多售出75盒．甜品店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的新式月饼以15元/盒的价格全部卖给某大超市，若最终获利40500元，则促销时每盒应降价多少元？ 题型5：比赛统计问题 解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．单循环公式：=m即队数×(队数-1)÷2=场次 双循环公式：=m即队数×(队数-1)=场次 例5．某市组织区所有学校乒乓球比赛，有若干支队伍参加了乒乓球单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 【巩固】 1.某中心校首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？ 2.中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（　　） A．80个 B．120个 C．15个 D．16个 题型6：传播问题 传播问题公式：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 例6．一人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（     ） 【巩固】 1.有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可到方程为（     ） 2.某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支． 题型7：工程问题 （1）一般公式： 1 工效×工时=工作总量；②工作总量÷工时=工效；③工作总量÷工效=工时 ④ 工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间 ⑤工作总量÷工作时间=工作效率 （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。 (注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是 假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简 单的整数工程问题，计算将变得比较简便。) 例 7.某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的水渠进行施工改造．原计划A型设备每小时改造的比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时改造水渠的长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在改造效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的改造速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【巩固】某城市火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 题型8：行程问题 基本公式有： ①追及(或领先)的路程÷速度差=追及时间 ②速度差×追及时间=追及(或领先)的路程 ③追及(或领先)的路程÷追及时间=速度差 要正确解答有关“行程问题”,必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向(相向、相背、 同向),出发的时间(同时、不同时),出发的地点(同地、不同地)、运动的路线(封闭、不封闭), 运动的结果(相遇、相距多少、追及)。 相向而行：相遇时间=距离÷速度之和 相背而行：相背距离=速度之和×时间 注意：同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 环形运动的追击问题和相遇问题若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈 若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。 解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。 分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。 理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。 例8.小甲乙两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，甲的骑车速度是乙骑车速度的1.2倍，甲比乙早5分钟到达B地． (1)求甲乙两人分别的骑车速度 (2)若从A地到达B地后，甲以骑车形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从骑车开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多骑行1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，甲共消耗2300卡路里的热量，甲从A地到C地骑行共用多少分钟． 【巩固】甲、乙两个机器狗分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 题型9：图表问题 例9.根据某市风景区的旅游信息，一公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 8 7 70 9 5 40 【巩固】 某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2024年7月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民8月份和9月份的用水量和缴费情况； 根据上表数据，求规定用水量a的值． 题型10：动点问题 例10.如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，直接写出P，Q两点间的距离． (2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【巩固】如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8） (1)当t＝1时，试求PE的长； (2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； (3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$