第24章 圆 专题01 与圆的切线有关计算与证明2024-2025学年人教版数学九年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第24章 圆 专题01 与圆的切线有关计算与证明（原卷版） 【知识速递】 切线的判定与性质 （1）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 （2）证圆的切线有两种方法： ①连半径，证垂直，即已知半径，证明直线与这条半径垂直； ②作垂线，证半径，即作出圆心到直线的垂线，证明垂线段长等于半径。 注意：已知圆的切线时，作过切点的半径是常用的辅助线，因为圆的切线垂直于过切点的半径。 【技巧提升】 切线的证明技巧（1）——有切点：连半径，证垂直 解题技巧：已知直线与圆的公共点，连接关于该点的半径，只需证这个半径垂直于直线即可证明为切线。 （1）角度转换 解题技巧：利用圆和几何中的性质，进行角度转化，最终证明出半径与直线的夹角为直角。 （2）全等证直角 解题技巧：证全等得出角度关系，证明直角 切线的证明技巧（2）——无切点：作垂线，证半径 解题技巧：不知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度d等于半径r即可。 （1）利用角平分线的性质 解题技巧：角平分线上的点到两边的距离相等，利用这个性质，易于证明d=r。 （2）利用全等三角形的性质 【题型专练】 类型一：有切点：连半径，证垂直 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切； 2．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．求证：PB是⊙O的切线； 3.如图，在⊙O 中，点D在直径AB的延长线上，点C、E在⊙O上，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE、BC交于点F．求证：CD是⊙O的切线； 4.如图，直径AB⊥弦CD于点E，PD∥AC．（1）求证：AC=PD；（2）若直径AB=6，AC=3√3，求证：PD是⊙O的切线。 5．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝4，⊙O的直径为10，求BD的长度． 6.如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E． （1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，求图中阴影部分的面积． 7．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长． 8.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，F是CD上一点，且BF＝DF，延长FB至点P，连接CP，使PC＝PF，延长BF与⊙O交于点G，连结BD，GD．（1）连结BC，求证：CD＝GB；（2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值． 类型二：无切点：作垂线，证半径 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径． 2．如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点． （1）求证：PN与⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长． 【综合训练】 1．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．   (1)求证：EF与相切；(2)若，求的长． 2.如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的长． 3．如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．  (1)求证：是的切线；(2)若，求的长． 4.如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使．（1）求证：CF是的切线；（2）若，，求的半径． 5.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，F是CD上一点，且BF＝DF，延长FB至点P，连接CP，使PC＝PF，延长BF与⊙O交于点G，连结BD，GD．（1）连结BC，求证：CD＝GB；（2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值． 6.如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　　；（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•AF； （3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长， 8.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；（2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第24章 圆 专题01 与圆的切线有关计算与证明（解析版） 【知识速递】 切线的判定与性质 （1）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 （2）证圆的切线有两种方法： ①连半径，证垂直，即已知半径，证明直线与这条半径垂直； ②作垂线，证半径，即作出圆心到直线的垂线，证明垂线段长等于半径。 注意：已知圆的切线时，作过切点的半径是常用的辅助线，因为圆的切线垂直于过切点的半径。 【技巧提升】 切线的证明技巧（1）——有切点：连半径，证垂直 解题技巧：已知直线与圆的公共点，连接关于该点的半径，只需证这个半径垂直于直线即可证明为切线。 （1）角度转换 解题技巧：利用圆和几何中的性质，进行角度转化，最终证明出半径与直线的夹角为直角。 （2）全等证直角 解题技巧：证全等得出角度关系，证明直角 切线的证明技巧（2）——无切点：作垂线，证半径 解题技巧：不知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度d等于半径r即可。 （1）利用角平分线的性质 解题技巧：角平分线上的点到两边的距离相等，利用这个性质，易于证明d=r。 （2）利用全等三角形的性质 【题型专练】 类型一：有切点：连半径，证垂直 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切； 【试题分析：】（1）如图，连接OD，欲证明直线BD与⊙O相切，只需证明OD⊥BD即可； 证明：∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO（等边对等角）． 又∵∠A+∠CDB=90°（已知）， ∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代换）， ∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD． 又∵OD是圆O的半径． ∴BD是⊙O切线； 考点：切线的判定与性质． 2．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．求证：PB是⊙O的切线； 【分析】：要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB，证明OB⊥PE即可． 证明：连接OB ∵PO⊥AB，∴AC=BC， ∴PA=PB, 在△PAO和△PBO中, ∴△PAO和≌△PBO，∴∠OBP=∠OAP=90°， ∴PB是⊙O的切线． 3.如图，在⊙O 中，点D在直径AB的延长线上，点C、E在⊙O上，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE、BC交于点F．求证：CD是⊙O的切线； 【分析】连OC，根据切线的判定，证明； 证明：（1）连OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE＝CB， ∴， ∴∠CAE＝∠OAC， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠BCD＝∠OCA， ∴∠OCD＝∠BCD＋∠OCB＝∠OCA＋∠OCB＝90°， ∵OC是⊙O半径， ∴CD是⊙O的切线； 4.如图，直径AB⊥弦CD于点E，PD∥AC．（1）求证：AC=PD；（2）若直径AB=6，AC=3√3，求证：PD是⊙O的切线。 【分析】（1）利用垂径定理求得CE=DE，再利用AAS证明△CEA≌△DEP即可推出AC=PD； （2）利用圆周角定理求得∠ACB=90°，再利用余弦函数的定义求得∠A=30°，利用垂径定理结合圆周角定理求得∠BOD=2∠A=60°，据此求得∠ODP=90°，即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵PD∥AC， ∴∠A=∠P， ∵直径AB⊥弦CD于点E， ∴CE=DE，∠CEA=∠DEP=90°， ∴△CEA≌△DEP（AAS）， ∴AC=PD； （2）连接OD，BC， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，余弦函数的定义，正确作出辅助线解决问题是解题的关键。 5．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝4，⊙O的直径为10，求BD的长度． 【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD＋∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线； （2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得，从而求得AF的值，进而就可求得BD的长． 【详解】 （1）证明：连接OC， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴CD⊥OC，CO为⊙O半径， ∴CD为⊙O的切线； （2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD＝5，OF＝CD＝4． 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．∴AF＝＝＝3， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴FB＝AF＝3． ∴BD＝DF+BF＝5+3＝8． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 6.如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E． （1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线； （2）在Rt△OBF中，求出∠ABD=30°，得出∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD-S△BOD，即可求得答案． 【详解】 （1）证明：连接OD，如图所示： ∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°， ∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB， ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD， ∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线； （2）解：∵OF⊥BD， ∴BF＝BD＝2，OB＝ ＝ ＝4， ∴OF＝OB， ∴∠OBF＝30°， ∴∠BOF＝60°， ∴∠BOD＝2∠BOF＝120°， ∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝ ﹣×4×2＝ ﹣4． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及扇形的面积；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 7．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长． 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论； (2)根据已知条件可知，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段的长度． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，∴，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，∴， ∵在中，∴ ∴，∴， ∵， ∴，∴， 设，则， 又∵，即，解得（取正值）， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键． 8.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，F是CD上一点，且BF＝DF，延长FB至点P，连接CP，使PC＝PF，延长BF与⊙O交于点G，连结BD，GD．（1）连结BC，求证：CD＝GB；（2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值． 解：（1）∵BF＝DF，∴∠BDF＝∠DBF， 在△BCD与△DGB中，， ∴△BCD≌△DGB（AAS）， ∴CD＝GB； （2）如图1，连接OC， ∵∠COB＝2∠CDB，∠CFB＝∠CDB+∠DBF＝2∠CDB，∴∠COB＝∠CFB， ∵PC＝PF，∴∠COB＝∠CFB＝∠PCF， ∵AB⊥CD，∴∠COB+∠OCE＝90°， ∴∠PCF+∠OCE＝∠PCO＝90°，∴OC⊥CP， ∵OC是半径， ∴PC是⊙O的切线； （3）如图2，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∵AB⊥CD，∴＝， ∴∠BDE＝∠A＝∠G， ∵tanG＝，∴tanA＝，即AE＝3DE， 同理可得：DE＝3BE， ∴AE﹣BE＝3DE﹣DE＝，解得：DE＝， ∴CD＝2DE＝2， ∴BE＝＝， ∴BD＝＝， ∵∠BCD＝∠FDB，∠BDC＝∠FBD， ∴△BCD∽△FDB， ∴， ∵BC＝BD， ∴FD＝＝＝． 类型二：无切点：作垂线，证半径 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径． 【分析】：（1）过点O作OF⊥BC，垂足为F，连接OD，根据角平分线的性质可得出OF=OD，继而可得出结论； （2）根据S△ABC=S△AOC+S△BOC，可得出⊙O的半径． 详解：（1）证明：过点O作OF⊥BC，垂足为F，连接OD， ∵AC是圆的切线， ∴OD⊥AC， 又∵OC为∠ACB的平分线， ∴OF=OD，即OF是⊙O的半径， ∴BC与⊙0相切； （2）S△ABC=S△AOC+S△BOC，即AC×BC=AC×OD+BC×OF， ∵OF=OD=r，∴r（AC+BC）=18，解得：r=2． 即⊙O的半径为2． 点睛：本题考查了切线的判定及性质，利用等积法求圆的半径是很巧妙的方法，也比较重要. 2．如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点． （1）求证：PN与⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长． 【分析】（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示，利用AAS得到△PEO≌△PFO，得到OF=OE，即可确定出PN与圆O相切； （2）在Rt△POE中，由∠MPC=30°，PE=，得到∠EOP=60°，OE=2，∠EOB=120°，利用弧长公式即可求出劣弧的长． 【详解】 解：（1）连接OE，过O作OF⊥PN，如图所示， ∵PM与圆O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°， ∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO， 在△PEO和△PFO中， ∵∠EPO=∠FPO，∠OEP=∠OFP，OP=OP，∴△PEO≌△PFO（AAS）， ∴OF=OE，则PN与圆O相切； （2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=， ∴∠EOP=60°，OE=2， ∴∠EOB=120°， 则的长l==． 【综合训练】 1．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．   (1)求证：EF与相切；(2)若，求的长． 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，∴， ∵，∴， ∵是的直径，∴， ∵，∴，∴， ∵为半径，∴EF与相切； （2）解：设半径为x，则， ∵，，∴， 在中，，， ∴，即，解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2.如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．（1）求证：是的切线；（2）已知，，求的长． 【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可； （2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出，继而运用相似比即可求出的长． 【详解】 解：（1）证明：∵是的直径∴（直径所对的圆周角是直角）即 ∵∴（等边对等角） ∵∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ ∵，∴∴即 ∴ 又∵是的直径 ∴是的切线． （2）解：∵， ∴ ∵，∴ ∴， ∴∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．  (1)求证：是的切线；(2)若，求的长． 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质和等边对等角，证明，即可解答； （2）根据，可得，求出的长，再利用勾股定理得的长，即可得到的长，最后证明，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ，， 平分，，，， ,,是的切线； （2）解：设，则， ，解得， ，， 根据勾股定理可得，, ， 是直径，，， ，， ，，．    【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键． 4.如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使． （1）求证：CF是的切线；（2）若，，求的半径． 【分析】（1）根据题意判定，然后结合相似三角形的性质求得，从而可得，然后结合等腰三角形的性质求得，从而判定CF是的切线； （2）由切线长定理可得，从而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径． 【详解】 （1）证明：，，，， ，，， 又，，， ，，， ，， AB是的直径，， 又，， ，，即CF是的切线； （2）CF是的切线，，， ，， 又，在中，， 设的半径为x，则，， 在中，，解得：， 的半径为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键． 5.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，F是CD上一点，且BF＝DF，延长FB至点P，连接CP，使PC＝PF，延长BF与⊙O交于点G，连结BD，GD．（1）连结BC，求证：CD＝GB；（2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值． 解：（1）∵BF＝DF，∴∠BDF＝∠DBF， 在△BCD与△DGB中，，∴△BCD≌△DGB（AAS），∴CD＝GB； （2）如图1，连接OC， ∵∠COB＝2∠CDB，∠CFB＝∠CDB+∠DBF＝2∠CDB，∴∠COB＝∠CFB， ∵PC＝PF，∴∠COB＝∠CFB＝∠PCF， ∵AB⊥CD，∴∠COB+∠OCE＝90°， ∴∠PCF+∠OCE＝∠PCO＝90°，∴OC⊥CP， ∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线； （3）如图2，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BDE＝∠A＝∠G， ∵tanG＝，∴tanA＝，即AE＝3DE， 同理可得：DE＝3BE，∴AE﹣BE＝3DE﹣DE＝，解得：DE＝， ∴CD＝2DE＝2，∴BE＝＝，∴BD＝＝， ∵∠BCD＝∠FDB，∠BDC＝∠FBD，∴△BCD∽△FDB，∴， ∵BC＝BD，∴FD＝＝＝． 6.如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°． （1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　　； （3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值． （1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA． ∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝60°， ∵＝，∴AB⊥OC，∴∠OAD＝∠OAC＝30°， ∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠OAD，∴OA∥BF， ∵AF⊥BF，∴OA⊥AF，∴AF是⊙O的切线． （2）解：∵＝，∴∠CBD＝∠BEC， ∵∠BCD＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴＝， ∴＝，∴EC＝12，[∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9． 故答案为9． （3）解：结论：＝，的值不变． 理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N． ∵＝，∴OC⊥AB，CB＝CA，∴BH＝AH＝AB， ∵∠ABC＝30°，∴BH＝BC，∴AC＝AB， ∵CE∥AN，∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°， ∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N， ∴∠N＝∠AEC，AE＝EN， ∵∠ACE＝∠ABN，∴△ACE∽△ABN，∴＝＝， ∴＝， ∴的值不变． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•AF； （3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长， 解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°， ∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线； （2）如图2，连接OD，DF，EF， ∵AE是⊙O的直径，∴∠AFE＝90°＝∠C，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF， ∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF， 由（1）知，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF， ∴，∴AD2＝AB•AF； （3）如图3，连接OD，由（1）知，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°， 设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R， ∵BE＝8，∴OB＝BE+OE＝8+R， 在Rt△BDO中，sinB＝，∴sinB＝＝，∴R＝5， ∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18， 连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°， ∴sin∠AEF＝sinB＝， 在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，∴AF＝ 由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝， ∴AD＝＝． 8.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；（2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值． 解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB， 在△BCD和△DFB中： ∠BCD＝∠DFB ∠CDB＝∠FBD BD＝DB 所以△BCD≌△DFB（AAS）． （2）证明：连接OC． 因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB， ∠COB＝2∠EDB， 所以∠COB＝∠PEC， 因为PE＝PC， 所以∠PEC＝∠PCE， 所以∠PCE＝∠COB， 因为AB⊥CD于G， 所以∠COB+∠OCG＝90°， 所以∠OCG+∠PEC＝90°， 即∠OCP＝90°， 所以OC⊥PC， 所以PC是圆O的切线． （3）因为直径AB⊥弦CD于G， 所以BC＝BD，CG＝DG， 所以∠BCD＝∠BDC， 因为∠F＝∠BCD，tanF＝，[来源:学科网ZXXK] 所以∠tan∠BCD＝＝， 设BG＝2x，则CG＝3x． 连接AC，则∠ACB＝90°， 由射影定理可知：CG2＝AG•BG， 所以AG＝， 因为AG﹣BG＝， 所以， 解得x＝， 所以BG＝2x＝，CG＝3x＝2， 所以BC＝， 所以BD＝BC＝， 因为∠EBD＝∠EDB＝∠BCD， 所以△DEB∼△DBC， 所以， 因为CD＝2CG＝4， 所以DE＝． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$