22.1.4 第1课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质　课件　2024-—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象和性质 第 1 课时 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 极值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 温故知新 知识点1：将 y = ax2 + bx + c 化成 y = a(x − h)2 + k 探究新知 问题 怎样将 化成 y = a(x − h)2 + k 的形式？ 想一想：配方的方法及步骤是什么？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5． (1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式； (2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3， ∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小． 解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4. (2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4). 典例精析 （1）y=－3x2+12x－3；（2）y=4x2－24x+26； （3）y=2x2+8x－6； （4）y=12x2－48x+45.   开口向下， 对称轴为x=2， 顶点为（2，9）. 开口向上， 对称轴为x=3， 顶点为（3，-10）. 开口向上， 对称轴为x=-2 顶点为（-2，-14）. 开口向上， 对称轴为x=2， 顶点为（2，-3）. 1.将下列二次函数配成顶点式，确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. 练一练 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？ y = ax² + bx + c 归纳总结 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 ， . 1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即 . 二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式 y = ax2 + bx + c = 方法一：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 有哪几种画图方法？ 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 方法二：描点法 先利用对称性列表: 开口方向： 对称轴： 顶点： 向上 直线x=6 (6,3) 2.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2+2x； （2）y= －x2－2x； （3）y= －2x2+8x－8； （4）y= x2－4x+3.   开口向上， 对称轴为直线 x = － ， 顶点为（ － ， ）. 开口向下， 对称轴为x=2 顶点为（2，0）. 开口向上， 对称轴为x=4， 顶点为（4，-5）. 开口向下， 对称轴为x= －1， 顶点为（ －1 ，1）. 练一练 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质： y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) (1)开口方向 向上 向下 (2)顶点坐标 (3)对称轴　 直线x＝ 直线x＝ (4)增减性　 当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时， y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时， y随x的增大而减小 (5)最值　　 当x＝ 时，y有最小值，为 当x＝ 时，y有最大值，为 归纳总结 知识点3：二次函数的图象与系数的关系 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 开口方向 一般研究哪几种性质？ 顶点坐标 对称轴 增减性 a 决定 a，b 共同决定 开口方向，对称轴 a，b 共同决定 c 决定什么？ 合作探究 x y O 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___0 b1 ___0 c1 ___0 a2 ___0 b2 ___0 c2 ___0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ x = 0 时 y = c. y2 = a2x2 + b2x + c2 y1=a1x2+b1x+c1 x y O a3 ___ 0 b3 ___ 0 c3 ___ 0 a4 ___ 0 b4 ___ 0 c4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ x = 0时 y = c. y4 = a4x2 + b4x + c4 y3 = a3x2 + b3x + c3 链接中考 例2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 D 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下； ②a，b同号对称轴在y轴的左侧； a，b异号对称轴在y轴的右侧； ③c＝0⇔经过原点； c>0⇔与y轴的交点位于x轴的上方； c<0⇔与y轴的交点位于x轴的下方； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝ ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小. 当堂练习 1. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中 x、y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x = 2 D. 直线 x = 则该二次函数图象的对称轴为( ) D O y x –1 –2 3 2. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象如图所示，则下列结论： (1) a、b 同号； (2) 当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相等； (3) 4a + b = 0； (4) 当 y = -2 时，x 的值只能取 0. 其中正确的是 . x = 1 （2） 3. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. (1) 当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ (2) 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3) 将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x = 3. (1) 当 x = 3 时，y 有最小值，最小值为 −5. (2) 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. (3) 新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3． 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 当堂小结 顶点： 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) $$