4.1.1 n次方根与分数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1.1 n次方根与分数指数幂 1 一、n次方根 在学习幂函数时，我们把正方体场地的边长c关于面积S的函数 记作 . 像 这样以分数为指数的幂，其意义是怎么呢？ 问题1 如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？ x叫做a的平方根(2次方根) 问题2 如果x3＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？ x叫做a的立方根(3次方根) 思考1：　 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根的概念，你认为n次方根的概念应该是什么？ 0 0 一、n次方根 n次方根的定义：　 一般地，如果 x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 根式 根指数 被开方数 n为奇数 n为偶数 a ∈R a >0 a = 0 a< 0 不存在 注：偶次方根被开方数非负 2 -2 a2 0 0 一、n次方根 根式的性质 (n>1，且n∈N*) 问题3 5 -2 a 问题4 -2 2 a 0 0 一、n次方根 例1 (1)化简下列各式： 解：原式＝(－2)＋(－2)＝－4. 解：原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. 0 0 一、n次方根 ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. 0 0 根式与分数指数幂的互化 (a>0，m，n∈N*，且n>1) (1)规定正数的正分数指数幂的意义是： (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： 规定：0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . 二、分数指数幂 分数指数幂 当a>0时： 问题3 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂 的形式？ (a>0) (b>0) (c>0) 思考：在分数指数幂中为什么要规定a>0? 0 没有意义 >0 >0 0 0 三、分数指数幂的运算 例2(课本P107练习1) 用根式的形式表示下列各式(a>0) 规定了分数指数幂的意义后，幂 ax中的指数x的取值范围就从整数扩展到了有理数 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂的运算，即： ① aras＝______ (a>0，r，s∈Q)； ar+s ② (ar)s＝______ (a>0，r，s∈Q)； ars ③ (ab)r＝______ (a>0，b>0，r∈Q). arbr ar-s 0 0 三、分数指数幂的运算 例3 (1)化简　　　 的结果是( ) A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.都不对 A A B 0 0 三、分数指数幂的运算 例4 计算下列各式(式中字母均是正数) (1) 解：原式 (2) 解：原式＝ ＝x2y. 0 0 四、课堂小结 1.知识清单： (1)n次方根的概念、表示及性质. (2)根式的概念及性质. (3)分数指数幂与根式的相互转化. (4)分数指数幂的运算性质. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： 0 0 谢谢大家！ 12 x =± x = x = =0 例： =___； =___； =___. x = x = ± 性质② 当n为奇数时， =___ 当n为偶数时， =|a| = 注意：()n与的区别 (1) ()n已暗含了有意义， 根据n的奇偶可知a的范围； (2) 中的a可以是全体实数， 的值取决于n的奇偶. ()2=___； ()3=___. 性质① ()n =___ 思考2： 表示a n的n次方根，请问化简的值是什么？ =___； =___. ① ＋()5； ②＋()6； ③. 解：原式＝|x＋2|＝ (2)已知－3<x<3，求－的值. 解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， a2 = = a3 = ＝ ＝ ＝ = = = ④ ＝______(a>0，r，s∈Q)； ⑤ r＝______(a>0，b>0，r∈Q). (3)化简·(a>0)的结果是( ) A. B. C. D. A. B. C.3 D.5 (2)(a>0)的分数指数幂表示为( ) ＝a－1＝. (1)对于，当n为偶数时，a≥0. (2)混淆()n和. $$