4.7.1相似三角形的性质 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质（一） 2014.10 （1）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？ ①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例. 回顾与复习 2014.10 A B C A’ B’ C’ ①相似三角形的对应角_____________ ②相似三角形的对应边_____________ 思考: 它们还有哪些性质呢? （3）相似三角形有何性质？ 这一节重点研究相似三角形的性质。 回顾与复习 相等 成比例 2014.10 一个三角形有三条重要线段:___ ____ ________ 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？ 高、中线、角平分线 F 情境引入 2014.10 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱. 探究相似三角形对应高的比. 探究活动 2014.10 (1)试写出△ABC与△A'B'C'的对应边之间的关系，对应角之间的关系. (2)△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. 探究相似三角形对应高的比. 探究活动 2014.10 (3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ (4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？ 探究相似三角形对应高的比. 结论：相似三角形对应高的比等于相似比. 探究活动 2014.10 ∽ ∴∠B=∠B′ 解：∵△ABC∽△A′B′C′ ∴△ABD∽△A′B′D′ 探究新知 2014.10 类似结论 D' C' B' A' D C B A ∽ 结论：相似三角形对应中线的比等于相似比. 探究新知 2014.10 A′ C′ B′ C B A E′ E ∽ 类似结论 结论： 相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比. 探究新知 2014.10 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 相 似 三 角 形 都等于相似比. 相似三角形的性质 定理 : 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 2014.10 1.两个相似三角形中一组对应角平分线的长 分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比。 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较 短的中线是3cm，那么较长的中线多长？ 牛刀小试（课本109页） 2. △ABC ∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应角平分线．已知 AD = 8 cm，A′D′= 3 cm，求 △ABC 与 △A′B′C′对应高的比. 2014.10 3．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 15 cm．他准备了一支长为 20 cm 的蜡烛，想要得到高度为 5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？ 牛刀小试（课本109页知识技能） 2014.10 议一议 相似三角形对应线段的比等于相似比. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2014.10 例题 2014.10 例2：如图，AD是BC的高，点I、H在BC边上，点G在AC上，点F在AB上， BC=60cm，AD=40cm，四边形FGHI是正方形，则 (1) △AFG与△ABC相似吗？为什么？ (2)求正方形FGHI的边长. （1）∵四边形FGHI是正方形 ∴ FG∥BC ∴ ∠AFG=∠B， ∠AGF=∠C ∴ △AFG∽△ABC. 拓展提高 2014.10 例2：如图，AD是BC的高，点I,H在BC边上，点G在AC上，点F在AB上， BC=60cm,AD=40cm,四边形FGHI是正方形，则 (1) △AFG与△ABC相似吗？为什么？ (2) 求正方形FGHI的边长. （2）∵△AFG∽△ABC. ∴ 设正方形FGHI的边长为xcm, 则AE=(40-x)cm, 解得,x=24. 所以正方形FGHI的边长为24cm. 拓展提高 2014.10 练习巩固 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，四边形DEFG是长与宽的比为3：1的矩形，且AB=6，BC=8，求矩形DEFG的周长. 2014.10 课堂小结 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 相 似 三 角 形 都等于相似比. 定理 : 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 2014.10 图18.3.9 图18.3.9 如图 3-31，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 k. （1）若 ∠ BAD = ∠ BAC，∠ B'A'D' = ∠ B'A'C'，则 AD:A'D' 等于多少？ （2）若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 AE:A'E' 等于多少？. （3）你还能提出哪些问题？与同伴交流. 例1:如图 3-32，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR ⊥ AD，垂足为 E. 当 SR = BC 时，求 DE 的长．如果 SR = BC 呢？ 解：∵ SR ⊥ AD，BC ⊥ AD，∴ SR∥BC． ∴ ∠ ASR = ∠ B，∠ ARS = ∠ C． ∴ △ASR ∽△ABC∴ 当 SR = BC 时， ∴AE = h, ∴DE=h- h= h． 当 SR = BC 时，得 ∴AE = h∴DE=h- h= h． $$