4.4.4 探索三角形相似的条件 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割 1 导入新课 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. ③ 三边对应成比例,两三角形相似. 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明． 讲授新课 证明相似三角形的判定定理 一 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ A B C 证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 ∠1=∠B，∠2 =∠C， 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F, 则 ∴ ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE = CF. ∴ ∴ E D F 1 2 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， 求证：△ABC ∽ △A'B'C'. A′ B′ C′ A B C E D 1 2 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 则∠ B = ∠ 1， ∠ C = ∠ 2， ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ ∵ ，AD = A'B'， ∴ ∴ ∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'. A′ B′ C′ A B C E D 1 2 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 ∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'， ∴ 而 ∠ BAC =∠ DAE， ∴ △ABC ∽△ADE.∴ 又 ，AD = A'B'， ∴ ∴ ∴ DE = B'C'. ∴ △ADE ≌ △A'B'C' . ∴ △ABC ∽△A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 相似三角形判定定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 课堂小结 C E A D F B 牛刀小试 12 13 为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉? 黄金身材比例 14 14 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC , 如果 AC AB AC BC = 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section), 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比. C A B 即：AC2=AB ∙ BC 黄金分割 黄金比等于多少呢？ 15 解这个方程求得：AC= ； 由比例的基本性质得： ； C A B 分析：设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为 个单位，则CB为 个单位，根据题意列出方程： 即： 所以求出黄金分割比： 计算黄金比 16 黄金分割数是个无理数，列出前面一些: 0. 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 ... 17 17 由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美 18 (1)从图中找出相等的角、相等的线段. (2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形. (3)你认为 吗？ 探究 A B C L K D H F E G 19 3 A D C A B 20 练习巩固 20 C A B 4 21 练习巩固 21 做一做：已知线段AB，如何找出黄金分割点 法一： 点C是线段AB的黄金分割点吗? 1.经过点B作BD⊥AB，使 2.连接DA,在DA上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 思考： A B D E C 22 22 如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH。点H就是AB的黄金分割点。 23 做一做：已知线段AB，如何找出黄金分割点 法二： 23 巴台农神庙（Parthenom Temple） 如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD， 那么我们可以惊奇的发现， . 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ BC BE BC AB = D F C A E B 24 BC BE BC AB = BC AB BC BE = AE AB AE BE = 点E是AB的黄金分割点 AE AB （即 ）是黄金比 BC AB 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形 D F C A E B 25 25 O 顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形 A C B 26 26 27 27 28 28 读一读 耐人寻味的0.618 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于、8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。 29 29 古埃及胡夫金字塔 古希腊巴特农神庙 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618. 古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的. 30 30 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温（37℃）的黄金点（23=37×0.618）。这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。上肢与下肢长度之比均近似0.618. 31 黄金分割与生活 世界名画<蒙娜丽莎>之所以有名,也得益于黄金分割,无论是画面整体还是局部. 人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割. 32 巴黎圣母院 黄金分割与生活 33 东方明珠塔，塔高462.85米。设计师将在295米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观。 黄金建筑设计 黄金分割与生活 34 $$