4.4.2 探索三角形相似的条件　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

4.4.2探索三角形相似的条件 第四章 相似的图形 1 1 相似三角形的判定定理一 两角分别相等的两个三角形相似 ∠A= ∠A' ，∠B= ∠B' 用 数 学 符 号 表 示 A' C' B' C A B ∴△ABC∽△A'B'C' 2 在△ABC和△A'B'C'中， 方法总结 方法： 1、证明两条线段的积等于另两条线段的积的方法: 先把等积式转化成比例式，证比例式成立时，一般是证三角形相似； 2、如何由比例式分析证哪两个三角形相似： 看比例式的两个分子、两个分母是否在同一个三角形中；或看比例式的左边、右边是否在同一个三角形中，若是，可证这两个三角形相似。 关键：判定两个三角形相似。 思想方法：转化的数学思想。 3 扩展提高 F D B 思考与探究 不一定 如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？ 45° 45° 70° 70° A B C F E D 如果再增加一个条件呢？ 你能说出有哪几种可能的情况？ 两种情况：1、一个角相等； 2、一边成比例。 1 1 2 2 5 探索一 我们先来考虑增加一角相等的情况 增加一角相等又有几种可能的情况？ 两种情况：1、成比例两边的夹角； 2、也可以是其中一边的对角 6 探索一： 两边及夹角 改变k值的大小，再试一试。 A B C A/ B/ C/ 7 归纳小结 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 A B C 在△ ABC与△A'B'C'中 ∵ ∠A=∠A'， A' B' C' ∴ △ ABC∽ △ A'B'C' (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) 8 相似三角形的判定定理二 探索一： 两边成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似. 两边及其中一边的对角 小明和小颖分别画出了如图所示的三角形，由此你能得到什么结论？ 9 如果△ABC与△A’B’C’两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 例题讲解 例：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求DE的长。 1.5 2 3 10 解：∵AE=1.5，AC=2 又∵∠EAD=∠CAB ∴△ADE∽△ABC (两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似) ∵BC=3 课堂练习（课本92页） 1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ A E B F C （1） 1 1 3 3 4 2.5 5 3.5 350 350 （2） （1）相似，因为两边成比例且夹角相等； （2）不相似，因为虽有一个角相等，但该角的两边不成比例。 11 课堂练习（课本93页） 2.在△ABC中， ∠B=390，AB=1.8cm，BC=2.4cm; 在△DEF中， ∠D=390，DE=3.6cm，DF=2.7cm. 这两个三角形相似吗？为什么？ 相似，因为AB ∶DF=BC ∶DE=2 ∶3，且∠B= ∠D. 12 3.判断图中△AEB和△FEC是否相似？ 课堂练习（课本93第3题） 4. 如图，P是△ABC的边AB上的一点: （1）如果∠ACP= ∠B, △ACP与△ABC是否相似？为什么？ （1）相似，因为∠ACP= ∠B, ∠PAC= ∠CAB; 13 课堂练习 5.如图,D在△ABC的边AB上,AD=1，BD=2, AC= ,问△ACD与△ABC相似吗? 请说明你的理由. 14 扩展提高 15 Q 知识小结 相似三角形的判定定理： 1、_____________的两个三角形相似. 两角分别相等 2、_____________________的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等 A B C 在△ ABC与△DEF中， ∵ ∠B=∠E， D E F ∴ △ ABC∽ △ DEF 16 探索二 两个三角形在有两边成比例的基础上，再增加一边成比例， 这两个三角形相似吗？ 17 探究二 在下图的边长为1的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ 我们可以发现这两个三角形相似． 18 归纳总结 符号表达： 在△ABC和△A′B′C′中 ∵　 ∴△ABC∽△A′B′C′ (三边成比例的两个三角形相似） A C B B′ A′ C′ 【判定三角形相似的方法之三】 三边成比例的两个三角形相似 19 牛刀小试 (3)AB=12，BC=15，AC=24 DE=16，EF=20，DF=30 (2)AB=4，BC=8，AC=10 DE=20，EF=16，DF=8 (1)AB=3，BC=4，AC=6 DE=6，EF=8，DF=9 相似 不相似 不相似 注意：大对大，小对小，中对中． 已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似. 20 典型例题 例 如图，在△ABC和△ADE中， = = ， ∠BAD=20°，求∠CAE的度数。 A B D C E 21 练习巩固 如图，△ ABC与△ A′B′C′相似吗？ 你用什么方法来支持你的判断? C B A A′ B′ C′ 22 方法指引 【解析】这两个三角形相似． 设1个小方格的边长为1，则 你还有不同的证法吗？ 23 课堂小结 到目前为止，我们学习了哪些识别三角形相似的方法？ （1）两角分别相等的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）三边成比例的两个三角形相似. 运用定义 三个角对应相等 三边对应成比例 24 总结归纳 三角形全等的判别 三角形相似的判别 ASA（AAS） 两角分别相等 SSS 三边成比例 SAS 两边成比例且夹角相等 25 图18.3.7 $$