精品解析：江苏省苏州中学校园区校2023-2024学年八年级上学期10月份月考数学试题

2023—2024学年苏州中学园区校初二年级10月份月考数学试卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0.2 C. D. 3.1415 3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. D. 4. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 5. 如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝70°，则∠ACA′的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 6. 如图，中，，平分，交于点D，，，则的面积为（　　） A. 60 B. 30 C. 15 D. 10 7. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 8. 如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，中，，，M是BC的中点，，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若，则BN的长为（ ）． A. 6 B. 9 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共24分） 11. 2的平方根是_________. 12. 3______．（选填“”“”或“”） 13. 已知实数，满足，则____________． 14. 如图，在中，，，分别以，为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为，，则的值为________． 15. 如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度是__________． 16. 如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度为_________°． 17. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___度． 18. 如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点，连接，，则的最大值为____________． 三、解答题（本大题共9小题，共64分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1） （2） 20. 求下列各式中的值 （1）； （2）． 21. 已知某正数x的两个平方根分别是和，y的立方根是．是的整数部分．求的平方根． 22. 如图，，经过点D． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 23. 利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC； （2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD. 24. 如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，． （1）求线段的长； （2）求证：． 25. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 26. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ●特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度． ●深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度． 27. 如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） （1）如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； （2）当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； （3）在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年苏州中学园区校初二年级10月份月考数学试卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据轴对称图形的概念求解． 解：A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故正确； D、不是轴对称图形，故错误． 故选C． 2. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0.2 C. D. 3.1415 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，先求出的算术平方根，再根据无理数的定义即无限不循环小数，（开方开不尽的数是无理数）即可得出答案． 【详解】解：有理数有：；0.2， 3.1415 无理数有：； 故选：C． 3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理可判定A；根据比值并结合勾股定理的逆定理可判断B；根据三角形的内角和为度，即可计算出的值可判断C；根据角的比值求出各角的度数，可判断D． 【详解】解：A、当，，， ， 故是直角三角形，本选项不符合题意； B、当时，设，，， 则， 故是直角三角形，本选项不符合题意； C、当时， ∵， ∴，则， 故是直角三角形，本选项不符合题意； D、当时， ∵， 则最大角为， 故不是直角三角形，本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据证明即可得解． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故选：D． 5. 如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝70°，则∠ACA′的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】先证明再求解 再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解： △ACB≌△A′CB′，∠BAC＝70°， 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解题的关键. 6. 如图，中，，平分，交于点D，，，则的面积为（　　） A. 60 B. 30 C. 15 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作，根据角平分线的性质即可得到的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点D作， ∵平分，，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等． 7. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 8. 如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点E作于H，连接，先证明得到，再证明得到，进而推出当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，连接， ∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，中，，，M是BC的中点，，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若，则BN的长为（ ）． A. 6 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AM，由△BDE≌△MDA，可证AM=，由等腰三角形的性质可得 ，然后根据含角的三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接AM， ∵AB=AC，M是的中点， ∴AM⊥BC． ∵， ∴ ． ∵D是的中点， ∴BD=DM． 在△BDE和△MDA中 ， ∴△BDE≌△MDA(ASA)， ∴AM=． ∵AB=AC，， ∴， ∴AB=2AM=， ∴BM==． ∵， ∴MN=， ∴BN=． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质， 角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形和 角的直角三角形的性质是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共24分） 11. 2的平方根是_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）． 【详解】解：2的平方根是故答案为． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 12. 3______．（选填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．先估算的取值范围，即可得出比较结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 13. 已知实数，满足，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质，即可求得，的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以，． 故答案为：1． 14. 如图，在中，，，分别以，为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设， 则 又∵在中，，， ∴ ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度是__________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查圆柱体的侧面展开图问题，掌握两点之间线段最短，会利用基本事实解决问题，此问题常与勾股定理结合，掌握好勾股定理是解题关键．将圆柱沿的侧面展开，丝线绕圆柱一周，利用两点之间线段最短基本事实知道展开图中就是丝线的最短长度，用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形， 则从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线的长． 圆柱的底面周长是，高是， ∵四边形是矩形， ∴， ， （负值舍去）． 故答案为：． 16. 如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度为_________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据三角形内角和定理得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，进而得到，，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵和分别垂直平分边、， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___度． 【答案】135 【解析】 【详解】试题分析：如图，连接EE′， ∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1． ∴EE′=2，∠BE′E=45°． ∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2． ∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°． 18. 如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点，连接，，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；延长，交点于，可证，得出，，则，当时，最大面积为30，即最大面积为7.5． 【详解】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， 是的中点， ， 当时，面积最大， 即最大面积． 故选：． 三、解答题（本大题共9小题，共64分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用算术平方根以及立方根、绝对值的性质分别化简得出答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，零指数幂以及负整数指数幂，绝对值的意义，立方根，算术平方根等知识点，正确化简各数是解题关键． 20. 求下列各式中的值 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴ 【小问2详解】 ∴ 21. 已知某正数x的两个平方根分别是和，y的立方根是．是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程求出的值；根据的立方根是求出的值；根据z是的整数部分求出z，再求的平方根． 【详解】解：由题可知：， 解得： 所以，， 所以， 因为，， 所以，． 所以， 所以，的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根，立方根的定义，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数，和为0． 22. 如图，，经过点D． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）利用证明，即可； （2）根据全等的性质，推出四边形的面积等于的面积，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 23. 利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC； （2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD. 【答案】 （1）如图，点即为所求作的点， （2）如图，线段即为所求作的的角平分线， 【解析】 【分析】（1）利用网格图的性质，作的角平分线，再确定的中点 利用网格图的性质取格点 作射线与的角平分线的交点即为所求作的点； （2）取格点 使 由勾股定理可得 连接 确定的中点 连接 交于 从而可得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键. 24. 如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，． （1）求线段的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴ 【解析】 【分析】（1）设，，根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出x的长，从而求出的长； （2）先在和中，利用勾股定理分别求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 即的长为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理并灵活运用是解答的关键． 25. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2） ①解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 26. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ●特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度． ●深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度． 【答案】●特例感知:①是；②； ●深入探究：解：由可得：，而， ∴，即； ●推广应用：2a． 【解析】 【分析】●特例感知①根据勾股高三角形的定义进行判断即可； ②设根据勾股定理可得：，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可； ●深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系； ●推广应用：运用探究的结果进行运算即可 【详解】解：●特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； ②设 根据勾股定理可得：， 于是， ∴； ●深入探究：略 ●推广应用 过点A向ED引垂线，垂足为G， ∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且， ∴只能是，由上问可知． 又ED∥BC，∴． 而， ∴△AGD≌△CDB（AAS）， ∴． ∵△ADE与△ABC均为等腰三角形， 根据三线合一原理可知． 又 ∴， ∴． 27. 如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） （1）如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； （2）当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； （3）在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 【答案】（1）1 （2）或13 （3）或10 【解析】 【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论． （2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答． （3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答． 【小问1详解】 四边形ABCD是长方形， ，，，， ， 由翻折性质可知：， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． 【小问2详解】 存在，分两种情况： 如图③，当点E在长方形内部时： 作于G，设，则 由翻折可知，， 在中，由勾股定理可得：，即 ， 解得：，即， 在与 中： ，解得：． 如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， ． 综上，当或时，有． 【小问3详解】 过点E作交AB于点M，交CD于点N． 如图⑤，点E在长方形内部： 则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 如图⑥，点E在长方形外部：则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或． 【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $