11.1.1 三角形的边（1课时）课件 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边（1课时） 1 11.1.1 三角形的边（1课时） 目标素养 导航 2 内容要求 核心素养 1.理解三角形 及其内角等概念. 2.证明三角形 的任意两边之和 大于第三边. 1.会用符号、字母表示三角形，知道三角形的 特征、共性与区别，能按边的相等关系对三角形进 行分类，形成和发展抽象能力. 2.经历观察、实验、推理等过程，探索三角形 的三边关系，培养空间观念和推理能力. 3.能运用三角形的三边关系判断三条线段能否 组成三角形，培养应用意识. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 11.1.1 三角形的边（1课时） 新知预习 导学 4 知识梳理 1.三角形：由不在______________的三条线段______顺次相接所组成的图形. 同一条直线上 首尾 图1 如图1，线段，， 叫做三角形的 ____；点，，叫做三角形的______；， ， 是相邻两边组成的角，叫做三角形的______，简 称三角形的角；顶点是，， 的三角形，记作 ________，读作“___________”. 边 顶点 内角 三角形 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 5 2.三角形的分类： （1）按内角大小分类： ______三角形 ______三角形 ______三角形 锐角 直角 钝角 三角形 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 （2）按边的相等关系分类： 相等 等腰 等腰 等边 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 3.三角形的三边关系： （1）三角形两边的和______第三边.如图1，中，___ . （2）三角形两边的差______第三边.如图1，中，___ . 大于 小于 图1 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 8 课前自测 1.观察下列图形，其中属于三角形的是( ) . B A. B. C. D. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 9 图2 2.图2表示三角形的分类，则 表示的是( ) . A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.三边都不相等的三角形 D 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3.已知一个三角形的三条边长分别为2，3， . （1）当时，________三角形的三边关系；当 时，______三 角形的三边关系；当 时，________三角形的三边关系.（填“符合” 或“不符合”） 不符合 符合 不符合 （2）根据三角形的三边关系，写出 的取值范围：__________. 提示：根据“三角形两边的和大于第三边”，得，即 ；根 据“三角形两边的差小于第三边”得，即.因此 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 11 11.1.1 三角形的边（1课时） 重点直击 导析 12 知识点一 三角形的有关概念 方法指导 （1）三角形的特点： （2）三角形有三个顶点、三条边、三个内角. （3）在复杂图形中数三角形常采用按序计数法，如：①按图形的形成 过程去数；②从图形中的某一条边开始沿着一定方向去数；③先固定一 个顶点，再按照一定顺序不断变换另外两个顶点去数. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 图3 例1 （教材第8页习题11.1第1题变式）如图3，在 中，，分别是边， 上的点，连接 ，，相交于点 . 思路点拨 根据三角形的特点及相关概念进行解答. 自主解答 （1）图中共有多少个三角形?用符号表示这些三角形. 解：图中共有8个三角形，分别是，，， ， ，，， 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 14 （2）请写出 的三个顶点、三条边及三个内角. 图3 解：的三个顶点是点，，，三条边是线段，， ，三 个内角是，， 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 （3）以线段 为边的三角形有哪些? 图3 解：以线段为边的三角形有，，， 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 （4）以 为内角的三角形有哪些? 图3 解：以为内角的三角形有，， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 针对训练 图4 1.观察图4，回答下列问题： （1）是 的______. 内角 （2）图中以线段 为边的三角形有_____________ ___________________. ， ， （3）图中共有___个三角形，它们分别是_________ _______________________________________. ，，，，， 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 18 知识点二 三角形的分类 方法指导 （1）以“是否有边相等”将三角形分类，如图5.其中等腰三角形与等边三 角形不是独立的两类，等边三角形是特殊的等腰三角形. 图5 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 （2）按角分类、按边分类是两种对三角形的分类方法，这两种方法不 是相互独立的，如：图6中的三角形既是等腰三角形，也是锐角三角形. 图6 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 例2 已知的三边长分别为，， ，且满足 ，则 一定是( ) . A A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.三边都不相等的三角形 提示：由题意，得，，.解得 ， ，，即.故 是等边三角形，一定是等腰三角形. 思路点拨 由偶次方、平方根、绝对值的非负性，得 ， ，.由此可求出 的三边长，再按边将此三角形 分类. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 针对训练 2.三角形按边可分为( ) . D A.钝角三角形、等边三角形 B.三边都不相等的三角形、等边三角形 C.等腰三角形、等边三角形 D.等腰三角形、三边都不相等的三角形 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 22 知识点三 三角形的三边关系 方法指导 （1）已知三角形的两边长，可根据三角形的三边关系确定第三边长的 取值范围：已知两边长之差 第三边长 已知两边长之和. （2）在运用三角形的三边关系确定三条线段能否组成三角形时，可直 接用较短的两条边的和与最长边进行比较，大于最长边则能组成三角形， 反之则不能组成三角形. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 23 例3 某木材市场上的木材规格与价格如下表： 规格/ 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 5 10 15 20 25 30 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 24 （1）小明现有2根长度分别为和 的木材，现再从这个市场上购买 1根木材，将这3根木材首尾顺次相接，钉成一个三角形支架，问有哪几 种购买方案？（接头损耗长度忽略不计） 思路点拨 根据三角形的三边关系列出不等式，确定第3根木材的长度的 取值范围. 自主解答 解：设第3根木材的长度为 .根据三角形的三边关系， 得，即. 故可购买，，， 的木材，一共有四种购买方案. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 25 （2）在（1）的方案中，小明想花费最少的钱，则他应该选择哪种规格 的木材？ 思路点拨 结合表中信息，选择价格最低且规格符合三角形的三边关系 的木材. 自主解答 解：根据表格信息可知，在（1）的四种购买方案中，规格为 的木材 价格最低，故应该选择 的木材. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 26 针对训练 3.（河池中考）下列长度的三条线段不能组成三角形的是( ) . A A.5，5，10 B.4，5，6 C.4，4，4 D.3，4，5 提示： ，不符合三角形的三边关系，不能组成三角形. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 27 4.（教材第8页习题11.1第6题变式）已知一个等腰三角形的两边长分别 为，，则这个等腰三角形的周长为____ . 15 提示：当腰长为时， ，不符合三角形的三边关系，不能组 成三角形，所以腰长不能为.当腰长为 时，则另外两边长分别 为，，能组成三角形，周长为 . 小锦囊 未明确已知边长是等腰三角形的腰长还是底边长时，需要进行分 类讨论，且结果要结合三角形的三边关系进行判断. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 28 11.1.1 三角形的边（1课时） 素养达标 导练 29 基础巩固 1.如图7， 的对边是( ) . C 图7 A. B. C. D. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 30 2.有下列说法：①等腰三角形是等边三角形，②三角形按边可分为等腰 三角形、等边三角形和不等边三角形，③等腰三角形至少有两条边相等， ④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确 的是( ) . B A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④ 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 31 3.小明家和小红家与学校的距离分别是和 .那么小明家与小红 家的距离不可能是( ) . A A. B. C. D. 提示：以小明家、小红家和学校这三点来构造三角形，设小明家与小红 家的距离为.根据三角形的三边关系，得 ，即 .当小明家、小红家和学校这三点共线时， 或 .综上的取值范围为 . 小锦囊 小明家、小红家和学校可能在同一直线上，也可能组成一个三角 形. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 32 4.已知一个三角形的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长 为___.按边分类，这个三角形是______三角形. 5 等腰 提示：根据三角形的三边关系，得第三边 . 又第三边为奇数，所以第三边长为5. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 33 图8 5.如图8，在中，，分别是边， 上的点， 连接， . （1）图中共有多少个以线段 为边的三角形？用符号 表示这些三角形. 解：以线段为边的三角形有2个，分别为， . （2）图中共有多少个以点 为顶点的三角形？用符号表示这些三角形. 解：以点为顶点的三角形有2个，分别为， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 34 能力提升 6.已知，，是 的三条边的长，化简： __________. 提示：由，，是的三边长， 得 ， ， . 因此，原式 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 35 7.（教材第3页例题变式）用一根长度为 的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果底边长是腰长的1.5倍，那么各边长是多少？ 解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为 . 根据题意，得. 解得. 所以三角形三边长分别为， ， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 36 （2）如果所围成的等腰三角形的一边长为 ，那么另外两边长是多少？ 解：当底边长为时，设腰长为. 根据题意，得 .解得. 当腰长为时，设底边长为 . 根据题意，得. 解得. 因为 ，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长为 的等腰三角形. 故三角形另外两边长都是 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 37 （3）设所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出 的取值范围. 解：因为等腰三角形的腰长为 ， 所以等腰三角形的底边长为. 根据三角形的三边关系， 得 解得 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 38 综合拓展 8.综合与探究 【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目： “已知的三边长分别为，， ，且满足 ，求 的取值范围.” 【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出 的值.” 小红说：“我求不出的取值范围，但我能用含的代数式表示 .” 小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路 求解，再结合三角形的三边关系，即可得到 的取值范围.” 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 39 【问题解决】 （1）你知道小明是如何计算 的值的吗？请你写出求解的过程. 解：根据题意，得解得 . （2）请你用含的代数式表示， ______. 提示：由，得 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 40 （3）请你根据李老师的提示，求 的取值范围. 解：由三角形的三边关系，得 ， ， . 解得. 又 ， ，即 . 解得 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 41 $$