第一章 直线与方程 同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 4．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 5．过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 6．点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 7．如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 8．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，表述正确的是(    ) A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为 B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 10．设直线l的方程为．下列说法正确的是（    ） A．当时，l不经过第二象限 B．直线恒过定点 C．不论a为何值，直线恒过第四象限 D．直线的倾斜角不可能是90° 11． “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 13．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 14．已知点，点、关于直线对称，若直线过点且与直线交于点，若，且直线的倾斜角大于的倾斜角，则直线的斜截式方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知三条直线，，． (1)若，且过点，求、的值； (2)若，求、的值． 16．已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点． (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当最小时，求实数m的值． 17．（1）求函数的最小值． （2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程． 18．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 19．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围. 【详解】解：直线l的斜率为k，且， ∴，. ∴. 故选：B. 2．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案. 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 3．已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数的不等式，求解不等式，即可得到答案． 【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件； 若，直线方程可化为 ，此时若直线不经过第二象限，则且，解得， 综上满足条件的实数的范围是. 故选：D 4．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】 由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解． 【详解】 因为直线过点，所以， 由和都是正实数，所以，，． 所以， 当时取等号，即，时取等号， 所以的最小值是. 故选:B． 5．过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，可知定点， 又 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为2. 故选：C. 6．点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 7．如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标. 【详解】作关于轴的对称点， 作关于的对称点， 连接交轴于，交于，所以， 此时周长最小，即， 由，直线方程为，所以，解得， 所以，可得直线方程为，即， 由，解得，所以， 令可，所以. 故选：C.    8．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解. 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，表述正确的是(    ) A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为 B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 【答案】AC 【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断． 【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确； ②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误； ③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)， 则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率， 由图可知，，故C正确； ④若直线、的倾斜角分别为、，则，，， ∴，则； 当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒ 故选：AC﹒ 10．设直线l的方程为．下列说法正确的是（    ） A．当时，l不经过第二象限 B．直线恒过定点 C．不论a为何值，直线恒过第四象限 D．直线的倾斜角不可能是90° 【答案】ACD 【分析】将直线l变形为斜截式，由l不经过第二象限，列出关于a的不等关系，求解即可判断选项A，将点代入方程即可判断选项B，由直线恒过定点，即可判断选项C，由斜率与倾斜角的关系，即可判断选项D. 【详解】对于A，将l的方程化为，欲使l不经过第二象限， 当且仅当或成立，所以，故A正确； 对于B，点代入直线方程不成立，B不正确； 对于C，因为直线恒过第四象限内的点，所以不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确； 对于D，直线的斜率始终存在，为，所以倾斜角不可能等于90°，D正确． 故选：ACD 11． “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：    由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD    三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】整理直线知过定点，求出，由数形结合即可得解. 【详解】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】 根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】 根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 14．已知点，点、关于直线对称，若直线过点且与直线交于点，若，且直线的倾斜角大于的倾斜角，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】利用两点关于直线的对称性求出点的坐标，求出以及直线的方程，设点，利用点到直线的距离公式以及求出的值，根据直线的斜率的取值范围为得出点的坐标，进而可求得直线的方程. 【详解】设点，线段的中点为，直线的斜率为， 由题意可得，解得，即点， 设点，直线的方程为，且， 点到直线的距离为， ，解得或. 因为直线的倾斜角大于的倾斜角，且直线的斜率为， 设直线的斜率为，则. 若时，则点，此时，合乎题意； 若时，则点，，不合乎题意. 所以，直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知三条直线，，． (1)若，且过点，求、的值； (2)若，求、的值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于a、b的方程组，即可得解； （2）由直线平行的特征求解a，b，再代入验证即可. 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 所以，所以或； （2）若，则，解得， 当时，，也即， ，也即，满足 ， 所以若，. 16．已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点． (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当最小时，求实数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直线恒过定点的求法列出方程组，解之即可求解； （2）有（1），设直线方程为，可得，根据平面向量数量积的坐标表示和基本不等式中“1”的用法可得直线l的方程，即可求解. 【详解】（1）已知直线， 则， 由，解得， 即直线l过定点； （2）设直线的方程为， 则，又直线l过定点， 则，又点，则 ， 当且仅当即即时取等号， 所以直线l的方程为， 所以直线l过，即， 解得． 17．（1）求函数的最小值． （2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）问题转化为求x轴上点到两点的距离之和的最小值，应用将军饮马模型求最小值，注意取值条件； （2）设直线相关交点为，根据是的中点，列方程求参数，应用点斜式求直线方程. 【详解】（1）由，表示x轴上点到两点的距离之和， 又关于x轴对称点为，显然，    如上图，，仅当与原点重合时等号成立， 所以函数最小值为. （2）若直线与和分别交于，      则是的中点，故，即，可得， 所以，则， 故直线的方程为，即. 18．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形. 【分析】(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得； (2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得； (3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答 【详解】1）显然直线斜率存在，设直线方程为， 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 于是得，解得， 所以直线斜率为； （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， 又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则，于是有，解得，此时， 当时，由，知四边形为正方形， 设，则，于是有，解得，此时， 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时， 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. 19．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为； (2)； (3)． 【分析】 （1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程. 【详解】（1） 直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2） 因为，，，所以， 由题意得直线方程为， 故直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3） 设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$