第一章 直线与方程 同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 3．直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C． D．或 4．已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 7．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在下列四个命题中，错误的有（　　） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 10．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点 11．下列结论错误的是（    ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ． 13．若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点 . 14．平面直角坐标系上有两点，直线的方程为 ，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知直线和直线. (1)当m为何值时，直线和平行？ (2)当m为何值时，直线和重合？ 16．如图，已知三角形的三个顶点为，，．      (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 17．已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 18．三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为． (1)求A的坐标和直线的方程； (2)若P为直线上的动点，，，求取得最小值时点P的坐标． 19．已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可. 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，不存在斜率； 当时，倾斜角越大，斜率越大，故A错误； 对B：当直线斜率不存在时，不可以用表示，故B错误； 对C：经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为， 能用方程表示，故C正确， 对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误. 故选：C. 3．直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答. 【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，， 解得或， 当时，直线与直线重合， 当时，直线与直线平行， 所以的值为. 故选：C 4．已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考虑截距是否为0两种情况即可. 【详解】分两种情况：①当过原点时，由直线经过点， 可得直线方程为，即； ②当不过原点时，设的方程为， 将点的坐标代入得，解得， 此时的方程为，即.， 故选：C 5．直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角的取值范围. 【详解】的斜率一定存在，故倾斜角不为， 直线斜率，    结合正切的函数图象，可得倾斜角的取值范围是. 故选：C 6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，分情况讨论即可求解. 【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点， 因为，，所以， 所以过点且与平行的直线为：即， 因为，，所以线段的中点为， 所以过点与线段的中点为的直线的方程为：， 即， 所以这条直线的方程是：或， 故选：. 7．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 8．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】当，直接求解出到直线的距离，当时，先求解出点坐标，然后表示出到直线的距离，结合基本不等式求解出距离的最大值，由此可知结果. 【详解】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为， 故选：D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在下列四个命题中，错误的有（　　） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角和斜率的定义即可判断 【详解】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在,所以A错误; 对于B,直线的倾斜角的取值范围为,所以B正确; 对于C,因为且，所以,所以C错误; 对于D,倾斜角为的直线斜率不存在,所以D错误. 故选：ACD 10．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点 【答案】BD 【分析】对A，令即可判断正误； 对B，化简直线方程，根据定点满足的系数为0，且满足方程即可； 对C，令即可判断正误； 对D，根据B可得过定点判断即可 【详解】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误； 对B，，解可得，故过定点，故B正确； 对C，当时，，显然与重合，故C错误； 对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确； 故选：BD 11．下列结论错误的是（    ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6 【答案】ACD 【分析】 求出斜率判断A；利用两直线垂直关系求出a判断B；求出平行线间距离判断C；利用对称思想求出最小值判断D作答. 【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角小于，A错误； 对于B，由直线与直线垂直，得，解得，B正确； 对于C，直线化为，因此两平行直线的距离，C错误； 对于D，点关于x轴的对称点为，连接交x轴于点，点是x轴上任意一点，    连接，于是， 当且仅当点与重合时取等号，因此，D错误. 故选：ACD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ． 【答案】或 【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点P的坐标代入即可得出． 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 13．若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点 . 【答案】（5，5） 【分析】先求所过定点，再该点关于点（3，3）的对称点即可. 【详解】∵，∴：y＝kx－k＋1过定点（1，1）， 设点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y）， 则，解得，即直线恒过定点（5，5）. 故答案为：（5，5）. 14．平面直角坐标系上有两点，直线的方程为 ，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求点关于直线l的对称点的坐标，再求直线的方程，最后列方程组求点P的坐标． 【详解】设点关于直线l的对称点， 则，线段中点在直线l上， 所以，整理得， 解得，即. 因为点在一条直线上时最短， 所以点P的坐标是直线与直线l的交点，    由得直线的方程为， 所以，解得，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知直线和直线. (1)当m为何值时，直线和平行？ (2)当m为何值时，直线和重合？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解. 【详解】（1）由题意，， 得，解得或 当或时，直线和平行. （2）由题意，， 得，解得， 当时，直线和重合. 16．如图，已知三角形的三个顶点为，，．      (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线两点式方程可整理得到边所在直线方程； （2）利用中点坐标公式求得中点坐标，由直线两点式方程可整理得到结果. 【详解】（1），的直线的两点式方程为：， 整理得：，即边所在直线方程为：. （2）中点的坐标为， 过，的直线的两点式方程为：， 整理得：，即边上的中线所在直线方程为：. 17．已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    18．三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为． (1)求A的坐标和直线的方程； (2)若P为直线上的动点，，，求取得最小值时点P的坐标． 【答案】(1)，直线的方程为 (2) 【分析】（1）设点A坐标并表示中点D坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得A，利用角平分线的性质可得点B关于直线的对称点，从而求方程； （2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可. 【详解】（1）由题意可设，则，由直线，的方程可知： ，即， 设点B关于直线的对称点， 则中点坐标为，， 依题意有，解之得，即， 易知在直线上，故由两点式可得，化简得；    （2）由（1）所得方程，不妨设， 则， 由二次函数的性质可知当，上式取得最小值，此时. 19．已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可. （2）设出直线的方程，分别令、求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 所以设直线的方程为， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，三角形面积最小， 此时的方程为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$