广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二数学周末作业(二)

2024年盐田高级中学高二数学周末作业（二） 姓名： 班级： 命题人：李博 一、单选题 1．若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 2．为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 3．设是空间不共面的四点，且满足，，，则是　　 A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）   A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 7．ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，若AB＝1，AB1⊥BC1，则AA1＝（    ） A． B． C． D． 8．一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点 ，若以为坐标原点，以、的方向分别为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B． C． D．平面的一个法向量为 11．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点；为棱上的动点（含端点），过点A､､作三棱柱的截面，且交于，则（    ） A．线段的最小值为 B．棱上的不存在点，使得平面 C．棱上的存在点，使得 D．当为棱的中点时， 三、填空题 12．在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ． 13．已知点是所在平面外一点，点到点的距离都为2，且，，两两垂直，若动点到定点的距离为1，点为线段的中点，则线段的最大值是 ． 14．正方体的棱长为2，内壁是光滑的镜面．一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后到达点，则从点射出的入射光线与平面的夹角的正切值为 ； 四、解答题 15．如图，在空间四边形中，已知E是线段的中点，G在上，且． (1)试用表示向量； (2)若，求的值． 16．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，已知，，． (1)求对角线的长； (2)求． 17．在棱长为的正方体中，点是的中点，点是上的动点. （1）试确定点的位置，使得平面； （2）若是的中点，求到面的距离. 18． 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 19．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.   (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 2024年盐田高级中学高二数学周末作业（二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D D C B B BCD ABC 题号 11 答案 ABD 1．【详解】设平面的法向量为, 则, 令，可得，故为平面的一个法向量. 令，可得，故为平面的一个法向量. 故选:C. 2．【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线， 若、、、四点共面，则， 因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面， 所以，，解得. 故选：C. 3．【详解】因为，，， 所以， ，故是锐角， 同理，，可得，都是锐角， 故是锐角三角形，故选B． 4．D【详解】依题意，， 因为为等边三角形，，，，， 所以，，， ， 所以， . 故选：D. 5．【详解】因为，，， 所以， 所以，， ， 所以向量在上的投影向量是， 所以向量在上的投影向量的坐标是， 故选：D. 6．【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确．故选：C 7．【详解】如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点， 以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系， 设AA1＝a，则A（,0,0）,B1（,0,a）,B（,0,0）,C1（0,,a）, 则. 由AB1⊥BC1，得，即a. ∴AA1. 故选：B 8．B 【详解】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接， 则平面，且， 以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 可得，所以， 解得. 故选：B. 9． 【详解】A．，，，在平面内； B．，，，不在平面内； C．，，，不在平面内； D．，，，不在平面内； 故选：BCD． 10．【详解】由题可知，、、、，所以A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以C正确； 设平面的法向量为，则，取，得，故D不正确． 故选：ABC. 11．ABD 【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由于与底面垂直，因此当与重合时，在平面内，，此时最小为，A正确； ，， 若，与不垂直，因此不可能与平面垂直，B正确； 设，则，， 若，则，即，此方程无实数解，因此棱上的不存在点，使得，C错； 是中点时，，，D正确． 故选：ABD． 12．（答案不唯一）【详解】根据题意可得：，设，与平面垂直，则，可得， 当时，则，的坐标为．故答案为：（答案不唯一） 13．【详解】如图所示，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， 动点到定点的距离为1，， ， 表示点到点间的距离， 的最大值为点与球心的距离加上半径， ， 的最大值是.故答案为：. 14．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则关于平面的对称点， 而关于平面的对称点的坐标为， 设直线与平面的交点分别为，则入射光线为， 设，则存在实数，使得， 所以，故，故， 故，故， 因为平面，故与平面所成的角为， 而平面，故，故. 故答案为：, 15．【详解】（1）∵，∴， ∴，又E是线段的中点，则， ∴； （2）由（1）可得知 16．【详解】（1）由，又以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°， 所以. 故对角线的长为. （2）由，则， 所以. 17．【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为平面， 所以，即，解得， 所以为的中点， （2）因为为的中点，则由（1）可知平面的法向量为， 因为，所以到面的距离为 18．【详解】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以； （2）设，则 设平面的法向量为， 则，令得， 依题意可得， 解得，所以； （3）设，则， 由（2）知，则， 因为， 所以， 所以是平面的一个法向量．因为平面，所以，解得，所以的长为. 19．【详解】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，   于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF；  （3）法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得，于是，即有，则，从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.    试卷第2页，共12页 试卷第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$