2.1 一元二次方程 课件2024－2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 情境一 幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？ 情境一 5m 8m x A B C D 18m² 解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度为x m ， 根据题意列方程： (8-2x)(5-2x)=18 4x²-26x+22=0 ……  化简得： 8-2x 5-2x 情境二 观察下面等式： 10² + 11² + 12² = 13² + 14² 　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： 根据题意，可得方程： 　　　　，　　　　，　　　　，　　　　．　 x＋1 x＋2 x＋3 x＋4 (x＋1)2 (x＋ 2)2 ＋ (x＋3)2 (x＋4)2 ＝ ＋ x2 ＋ 化简得： x²-8x-20=0 ……  情境三 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．梯子的顶端下滑1m. 情境三 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．梯子的顶端下滑1m.,那么梯子的底端滑动多少米？ 8m 10m 1m 情境三 8m x 解：梯子滑动前底端距墙　　 m，如果设梯子底端 滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙　 m; 根据题意，可得方程：　 　 6 x+6 (6+x)²+7²=10² 化简得： x²+12x-15=0 ……  1m 10m 新知学习 观察方程① ② ③有什么特点？ x²+12x-15=0 …… ③ x²-8x-20=0 …… ② 2x²-13x+11=0 …… ① （1）这些方程的两边都是_______； （2）方程中只含有_______未知数； （3）未知数的最高次数是_______. 上面的方程都是只含　　　　　 的　　　　 ,并且都可以化为　　　　　　　　　　　　　　　　　 的形式， 一个未知数x 整式方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0） 这样的方程叫做一元二次方程． 整式 一个 2 新知学习 把ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax²,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数． 练习 1.下列关于x，y的方程中哪些是一元二次方程？ (1)7x2－6x＝0 (2) 2x2－5xy＋6y＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2 (3)2x2－ －1 ＝0 － 1 3x 解: (1)、 (4)、(6) (4) ＝0 － y2 2 （7）x 2 +4 x －7=0 （10）a x 2 +bx+c=0 练习 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 3x2＝5x－1 (x＋2)(x －1)＝6 4－7x2＝0 3x2－5x＋1＝0 x2 ＋x－8＝0 -7x2 ＋0 x＋4＝0 3 1 -7 -5 1 0 1 -8 4 2、完成下列表格： －7x2 ＋4＝0 7x2 － 4＝0 7 0 － 4 3．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 常数项为 解：将原方程化简为： 　　9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 9x2 二次项系数为 ， 一次项系数为 ， 5 36 － 32 4 x2 －24x ＋36 － 4 x2 ＋ 24x － 36 ＋ 12x ＋ 4 ＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 练习 4.根据题意，列出一元二次方程： (1)已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长. (2)九年级毕业班的每一个学生都向全班其他同学赠送一张自己的毕业留念照，这样将互送2550张照片，求这个班共有多少名学生？ (3)一个面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2m．苗圃的长和宽各是多少？ 能力提升 1.方程(2a-4)x2 -bx+a=0, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：(1)当a≠2时是一元二次方程； (2)当a＝2，b≠0时是一元一次方程. 能力提升 2.方程（m－1)x2＋mx＋1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为＿＿ A.任何实数 B.m≠0 C.m≠1 D.m≠0 且m≠1 3.关于x的方程中一定是一元二次方程的是( ) A.ax2＋bx＋c＝0 B.mx2＋x－m2＝0 C.(m＋1)x2＝(m＋1)2 D.(m2＋1) x2－m2＝0 C D 方程的解 1.什么是方程的解（根），什么叫解方程？ 2.下列哪些数是方程 的根? -4， 1，3 方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值. 求方程的解的过程叫做解方程. 练习 1、若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 2、关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0 B A 课堂小结 上面的方程都是只含　　　　　 的　　　　 ,并且都可以化为　　　　　　　　　　　　　　　　　 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 一个未知数x 整式方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0） 1.一元二次方程的概念： 2.一元二次方程的一般形式： ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）. $$