专题强化01：直线与方程题型归纳【11大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

专题强化01：直线与方程 【题型归纳】 · 题型一：直线的倾斜角与斜率 · 题型二：斜率公式 · 题型三：由直线与线段相交求斜率范围 · 题型四：直线的平行与垂直 · 题型五：四种直线方程 · 题型六：直线的定点问题 · 题型七：直线的交点问题 · 题型八：点到直线的距离 · 题型九：两个平行线的距离问题 · 题型十：对称问题 · 题型十一：直线方程的知识交汇综合 【题型探究】 题型一：直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·江苏徐州）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：斜率公式 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 题型三：由直线与线段相交求斜率范围 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 8．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 题型四：直线的平行与垂直 10．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·安徽芜湖）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：四种直线方程 13．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程；(2)求边上的高的直线方程(3)求AC边的垂直平分线 14．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 15．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 题型六：直线的定点问题 16．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 18．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型七：直线的交点问题 19．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型八：点到直线的距离 22．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 23．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 24．（21-22高二上·福建泉州·阶段练习）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是(    ) A． B． C．或 D．或 题型九：两个平行线的距离问题 25．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·江西新余·期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型十：对称问题 28．（24-25高二上·全国·课前预习）已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 30．（2023高二·全国·专题练习）已知直线的方程为. (1)若直线和直线关于点对称，求直线的方程； (2)若直线和直线关于直线对称，求直线的方程. 题型十一：直线方程的知识交汇综合 31．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 32．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 33．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知直线：，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)直线与直线关于轴对称，求直线，，所围成的三角形的面积. 【专题强化】 一、单选题 34．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 35．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 36．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 38．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 40．（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 二、多选题 41．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 42．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 43．（23-24高二上·安徽黄山·期末）下列说法正确的是（    ） A．点是直线l上不同的两点，则直线l可以表示为 B．若直线与直线平行，则实数 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．直线的斜率分别是方程的两根，则 44．（23-24高二上·浙江宁波·期中）以下四个命题正确的有（    ） A．直线与直线的距离为 B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为 C．点到直线的距离为 D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 三、填空题 45．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 46．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 47．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 48．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 四、解答题 49．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 50．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 51．（23-24高二上·安徽安庆）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 52．（23-24高二上·湖北襄阳）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：直线与方程 【题型归纳】 · 题型一：直线的倾斜角与斜率 · 题型二：斜率公式 · 题型三：由直线与线段相交求斜率范围 · 题型四：直线的平行与垂直 · 题型五：四种直线方程 · 题型六：直线的定点问题 · 题型七：直线的交点问题 · 题型八：点到直线的距离 · 题型九：两个平行线的距离问题 · 题型十：对称问题 · 题型十一：直线方程的知识交汇综合 【题型探究】 题型一：直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·江苏徐州）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 2．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 题型二：斜率公式 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为. 故选：A 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：D 题型三：由直线与线段相交求斜率范围 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 8．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 9．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 题型四：直线的平行与垂直 10．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 12．（23-24高二下·安徽芜湖）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件进行判断 【详解】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 题型五：四种直线方程 13．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 14．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    15．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的两点式即可求解； （2）利用两点的斜率公式及直线垂直的条件，结合直线的点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，作出图形如图所示 因为，所以BC的中点为， 因为在BC边上的中线上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的中线所在直线的方程为. （2）由题意可知，作出图形如图所示 因为， 所以直线BC的斜率为， 因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 因为在BC边上的高上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的高所在直线的方程为. 题型六：直线的定点问题 16．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 17．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 18．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， ， 因为直线与线段有公共点， 结合图象可得直线斜率的取值范围为. 故选：A. 题型七：直线的交点问题 19．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 20．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到，解方程得到，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围. 【详解】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 21．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求得以及直线所过定点，根据斜率求得正确答案. 【详解】由解得，即. 由整理得， 由解得，所以直线过定点， ，， 则当点到直线的距离最大时，. 故选：A 题型八：点到直线的距离 22．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 23．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 24．（21-22高二上·福建泉州·阶段练习）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题可知l斜率存在，可设l为：，根据点到直线距离公式列出方程求出斜率k即可. 【详解】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：， . 故选：C. 题型九：两个平行线的距离问题 25．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 26．（23-24高二上·江西新余·期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，与重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意； 此时，可化为， 则与之间的距离. 故选：D. 27．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【详解】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 题型十：对称问题 28．（24-25高二上·全国·课前预习）已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率以及对称性等知识列方程求得正确答案. （2）结合（1）以及两点式来求得正确答案. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有,解得,则. （2）因为的坐标满足直线的方程，点关于直线的对称点为， 则直线即为所求的直线， 由两点式得所求直线方程为， 化简得. 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 30．（2023高二·全国·专题练习）已知直线的方程为. (1)若直线和直线关于点对称，求直线的方程； (2)若直线和直线关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果； （2）由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程. 【详解】（1）因为直线和直线关于点对称， 在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上， 将点代入直线可得， 所以直线的方程为. （2）设直线与直线的交点为， 所以，解得，则， 在直线上取点，设关于直线对称的点为， 则①， 因为与的中点坐标为， 所以②， 由①②可得，所以， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线经过点和点， 所以直线的两点式方程为， 整理得直线的一般式方程为. 题型十一：直线方程的知识交汇综合 31．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 32．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为4，直线的方程为. 【分析】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案； （2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 33．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知直线：，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)直线与直线关于轴对称，求直线，，所围成的三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直确定直线m的斜率，根据直线过的点即可求得答案； （2）根据直线与直线关于轴对称，可得n的方程，进而求出直线，，所围成的三角形的顶点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知直线：的斜率为， 直线过点且与直线垂直，则， 故直线的方程为，即； （2）直线与直线关于轴对称，则直线的方程为， 即，    如图示，设直线，，所围成的三角形为, 则, 联立，解得，即, 联立，解得，即, 直线与y轴的交点为， 故直线，，所围成的三角形的面积为. 【专题强化】 一、单选题 34．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可. 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 35．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 36．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若则且所以或 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 37．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【详解】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 38．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解. 【详解】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 39．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为. 故选：A 40．（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】当，直接求解出到直线的距离，当时，先求解出点坐标，然后表示出到直线的距离，结合基本不等式求解出距离的最大值，由此可知结果. 【详解】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为， 故选：D. 二、多选题 41．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 42．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 43．（23-24高二上·安徽黄山·期末）下列说法正确的是（    ） A．点是直线l上不同的两点，则直线l可以表示为 B．若直线与直线平行，则实数 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．直线的斜率分别是方程的两根，则 【答案】BD 【分析】对于A，根据两点的横坐标，纵坐标是否相等进行讨论，可得答案；对于B，利用直线与直线平行的性质直接求解，可得答案；对于C，分截距为和截距不为两种情况，进行求解，可得答案；对于D，利用根与系数的关系可进行判断得到答案. 【详解】对于A，当,时，由斜率公式，可得，可整理为， 当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，则， 解得：或，当时，两直线重合，舍去，故时，两直线平行，B正确； 对于C，当直线在坐标轴上截距为时，设，将代入得，此时直线方程为， 当直线在坐标轴上截距不为时，设直线方程为，把代入得，解得. 此时直线方程为，即， 故过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为和，故C错误； 对于D，设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 所以利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直，故D正确. 故选：BD. 44．（23-24高二上·浙江宁波·期中）以下四个命题正确的有（    ） A．直线与直线的距离为 B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为 C．点到直线的距离为 D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】选项A根据平行直线的距离公式求解即可；选项B分类讨论直线l斜率是否存在，斜率不存在时判断是否符合题意，斜率存在时列方程即可求得直线l的方程；选项C根据点到直线的距离公式求解即可；选项D根据两直线垂直得到，求出a的值后进行判断即可. 【详解】对于选项A，， 所以两直线的距离为，故A正确； 对于选项B，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时点和到直线l距离分别为3和6，不合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 因为点和到直线l距离相等， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或，故B错误； 对于选项C，点到直线的距离为，故C正确； 对于选项D，因为直线与直线垂直， 所以，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 45．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】9 【分析】根据直线垂直求出直线的方程，再求出直线与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形面积. 【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：9 46．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【分析】将方程化为，列方程求解即可. 【详解】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 47．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得. 【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值， 此时，所在直线方程为， 联立解得，即. 故答案为： 48．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 四、解答题 49．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)当时，两直线平行，当时，两直线相交； (3)4， 【分析】（1）根据直线不经过第四象限，得到不等式，求出； （2）先根据平行的条件得到方程，求出，验证后得到两直线平行；当时，两直线相交； （3）根据题意得到不等式，求出，表达出，由基本不等式求出最值，并求出直线方程. 【详解】（1）由直线不经过第四象限，又， 则，解得； （2）令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 50．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【详解】（1）由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； （2）当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 51．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 52．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】(1) 因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标. (2) 令得，，令可得，.因为，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，所以得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程. (3) 由(2)可知直线l分别与x，y 轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且a也为正整数求得. 将的值代入原方程即可. 【详解】（1）由得，则，解得， ∴不论a为何值，直线l必过一定点； （2）由， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号． ，， ∴直线方程为． （3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数， ，， ∴直线l的方程为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$