精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质

18.1.1平行四边形的性质 一、单选题 1. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 2. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对边平行 4. 如图，□ABCD的对角线交于点O，OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则□ABCD的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 5. 如图，在中，，，P为边上一动点，以为邻边作平行四边形，则对角线最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1），D（3，2），则C的坐标是（　　） A （2，﹣1） B. （﹣1，2） C. （2，1） D. （﹣2，﹣1） 7. 已知平面直角坐标系中有O、A、B、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （ ） A. （4，－1） B. （4，1） C. （2，－1） D. （－2，1） 8. 下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 平行四边形的两组对角分别相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 对顶角相等 D. 如果a＞b，b＞0，那么a+b＞0 二、填空题 9. 在中，若，则________； ________； ________． 10. 如图，在平行四边形中，，，则的长为_______． 11. 如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则AB＝_____cm． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2:1，则∠A=________° 13. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，AC⊥BC．则BD＝___． 三、解答题 14. 平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F． （1）若AB=3，∠BAD=60°，求CE的长； （2）求证：AD=BF+CG． 15. 如图，的对角线相交于点O，过点O分别与AD，BC相交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，，试求四边形周长． 16. 如图，在中，BD是它的一条对角线， （1）求证：； （2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； （3）连接BE，若，求度数． 17. 已知：如图，在中，的平分线交于，的平分线交于，交于． （1）试说明：； （2）若将分成两部分，且，，求的周长． 18. 如图1，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，连接，若，，，求的面积； （3）如图3，连接，作关于直线对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，，恰好有，垂足为G，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1.1平行四边形的性质 一、单选题 1. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得，再 证得是等边三角形，即可求解． 【详解】由折叠可得，， ， 又， ， ， ， 由折叠可得，， ， 是等边三角形， 的周长为， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质； 根据平行四边形对角相等的性质可知满足即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的值可以是， 故选：D． 3. 平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对边平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵平行四边形的性质是对边相等，对角相等，对边平行，对角线互相平分， ∴平行四边形的性质不一定是对角线相等， 故选． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4. 如图，□ABCD的对角线交于点O，OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则□ABCD的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得：AE=CE．故△ABE的周长为AB+BC的长．最后根据平行四边形的对边相等得：▱ABCD的周长为2×3=6． 【详解】四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC. ∵OE⊥AC， ∴AE=CE. 故△ABE的周长为AB+BC=3， 根据平行四边形的对边相等得 ▱ABCD的周长为2×3=6. 故选B. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，将△ABE的周长转化为AB+BC是解题的关键. 5. 如图，在中，，，P为边上一动点，以为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先利用直角三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，由此可得出当时，取得最小值，此时． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ， 当时，取得最小值，此时， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、平行线间的距离等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 6. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1），D（3，2），则C的坐标是（　　） A. （2，﹣1） B. （﹣1，2） C. （2，1） D. （﹣2，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标特点得到ADBCx轴，故可求出D点坐标． 【详解】∵A（﹣1，2），D（3.2）， ∴ADx轴，AD=4 ∴ADBCx轴， ∵B（﹣2，﹣1）， ∴C的坐标是（2，﹣1） 故选A． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是发现坐标的特点求出ADx轴． 7. 已知平面直角坐标系中有O、A、B、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （ ） A. （4，－1） B. （4，1） C. （2，－1） D. （－2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】如图，∵四边形OABC是平行四边形，点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1）， ∴BC=AO=3， 故点C 的坐标为B（1-3，1），即（－2，1） 故选D． 【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 8. 下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 平行四边形的两组对角分别相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 对顶角相等 D. 如果a＞b，b＞0，那么a+b＞0 【答案】A 【解析】 【分析】分别写出原命题的逆命题后判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； B、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，是假命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角为对顶角，不成立，是假命题，不符合题意； D、逆命题为：若a+b＞0，则a＞0，b＞0，不成立，是假命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键． 二、填空题 9. 在中，若，则________； ________； ________． 【答案】 ①. ##100度 ②. ##80度 ③. ##100度 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，则，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 故答案为：，，． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设AC与BD交点为O，根据平行四边形的性质，可得AO=CO=2，BO=DO，根据勾股定理可得BO=，即可求BD的长． 【详解】设AC与BD的交点为O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC=4，AD∥BC AO=CO=2，BO=DO ∵AC⊥BC ∴ ∴BD= 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分是解题的关键． 11. 如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则AB＝_____cm． 【答案】4 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为20cm， ∴AB+BC＝10（cm），AO＝CO，BO＝DO， ∵△BOC的周长比△AOB的周长大2cm， ∴（BC+BO+CO）﹣（AB+AO+BO）＝2（cm）， ∴BC﹣AB＝2（cm）， ∴BC＝6（cm），AB＝4（cm）， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A与∠B度数之比为2:1，则∠A=________° 【答案】120 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补，可求∠A的度数． 【详解】∵∠A：∠B＝2：1 ∴设∠A＝2x，∠B＝x ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A＋∠B＝180 ∴2x＋x＝180 ∴x＝60 ∴∠A＝120 故答案为：120． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，AC⊥BC．则BD＝___． 【答案】5 【解析】 【分析】由，则由勾股定理求得的长，得出长，然后由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，， ， ， 故答案为5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质与勾股定理是解题的关键． 三、解答题 14. 平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F． （1）若AB=3，∠BAD=60°，求CE的长； （2）求证：AD=BF+CG． 【答案】（1）CE=2-3； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由“平行四边形的对角相等”推知∠C=∠BAD=60°，则通过30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到BC的长度，所以CE=BC-BE=BC-BG； （2）如图，延长GB至点P，使BP=CG．构建全等三角形：△ABP≌△BGC（SAS），由全等三角形的性质和平行四边形的对边相等得到BC=AP=AD、∠1=∠2．然后结合三角形外角的性质易证∠PAF=∠4，则AP=PF．所以结合图形知PF=PB+BF=CG+BF，则AD=BF+CG． 【小问1详解】 解：在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠C=60°． ∵BG垂直于CD， ∴∠BGC=90°，∠GBC=30°， ∴BC=2GC． 又∵AB=BG=BE=3，， ∴， ∴GC=， ∴BC=， ∴CE=BC-BE=BC-BG=2-3； 【小问2详解】 证明：如图，延长GB至点P，使BP=CG． 在△ABP与△BGC中， ， ∴△ABP≌△BGC（SAS）， ∴BC=AP=AD，∠1=∠2． ∵∠4=∠2+∠3． 又∵AB=BE， ∴∠5=∠3， ∴∠1+∠5=∠2+∠3=∠4，即∠PAF=∠4， ∴AP=PF． 又∵PF=PB+BF=CG+BF， ∴AD=BF+CG． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定推知AP=PF是解题的难点． 15. 如图，对角线相交于点O，过点O分别与AD，BC相交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，，试求四边形的周长． 【答案】（1）见详解 （2）17 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形的性质，采用AAS即可证明； （2）根据△AOE≌△COF，可得EO=OF，CF=AE，即有CF+ED=AE+ED=AD，EF=EO+OF=2EO，则四边形EFCD的周长为：EF+FC+ED+CD=2OE+AD+CD，即可求解． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，对角线AC、BD互相平分， ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，AO=CO， ∴△AOE≌△COF， 得证； 【小问2详解】 在（1）中已证明△AOE≌△COF， ∴EO=OF，CF=AE， ∴CF+ED=AE+ED=AD，EF=EO+OF=2EO， ∵四边形EFCD的周长为：EF+FC+ED+CD， ∴EF+FC+ED+CD=2OE+AD+CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD， ∵AB=4，BC=7，OE=3， ∴2OE+AD+CD=2OE+BC+AB=3×2+7+4=17， 即四边形EFCD的周长为17． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 16. 如图，在中，BD是它的一条对角线， （1）求证：； （2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； （3）连接BE，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）50° 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等； （2）根据垂直平分线的作法即可解答； （3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 四边形ABCD是平行四边形， ， ， 【小问2详解】 如图，EF即为所求； 【小问3详解】 BD的垂直平分线为EF， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 17. 已知：如图，在中，的平分线交于，的平分线交于，交于． （1）试说明：； （2）若将分成两部分，且，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质即可得出，是等腰三角形，得到，进而得到求解即可； （2）首先根据题意求出，然后根据平行四边形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，， ∴， ∴平行四边形的周长为； 所以平行四边形的周长为32． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18. 如图1，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，连接，若，，，求的面积； （3）如图3，连接，作关于直线对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，，恰好有，垂足为G，若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）52 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图2，过点A作于点G，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案； （3）如图3，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图1，∵四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， 即， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：如图2，过点A作于点G， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由（1）得：，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：如图3，过点E作交于点M，过点F作于点T，连接交的延长线于点N， 由（1）知， 四边形是平行四边形， 由（1）知， 四边形是菱形， ，， 又关于直线对称的，其中点的对应点分别为点，， ，，， 由（1）知四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 、是等腰直角三角形， 垂直平分， 即， 又，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， 又是等腰直角三角形， ， 故的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$