第1讲 集合的概念与表示讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念与表示 一．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 二．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 四．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 五．集合的表示方法 1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法：(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法：又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【考点1 集合的概念的理解】 【例1】下列对象中不能构成一个集合的是（    ） ①．某校比较出名的教师 ②．方程的根 ③．不小于3的自然数 ④．所有锐角三角形 ⑤．无限接近0的实数 ⑥．中国最美乡村 ⑦．高一（2）班成绩优秀的学生 ⑧．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【变式1.1】①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④ 【变式1.2】给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点2 利用集合元素的特性求参数】 【例2.1】已知集合，，则（    ） 【例2.2】已知，则的取值为（   ） 【变式2.1】若，则的值是（    ） 【变式2.2】已知，，若集合，则的值为（    ） 【考点3 元素与集合的关系】 【例3.1】已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【例3.2】已知，若，则（    ） 【变式3.1】若集合，，则中元素的最大值为（    ） 【变式3.2】集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【考点4 确定集合中的元素】 【例4.1】若集合，则中的元素个数为（    ） 【例4.2】集合，，则中的元素个数为 【变式4.1】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） 【变式4.2】定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） 【考点5 根据集合中元素的个数求参数】 【例5.1】已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） 【例5.2】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） 【变式5.1】已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（    ） 【变式5.2】由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值范围是 【考点6 用列举法表示集合】 【例6】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)以内非负偶数的集合C； (4)方程的所有实数根组成的集合D； (5)一次函数与的图象的交点组成的集合E 【变式6】选择适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)不等式的所有正整数解组成的集合； (3)一次函数的图象与坐标轴的所有交点组成的集合． (4)不大于10的非负偶数组成的集合； (5)小于8的质数组成的集合； (6)方程的实数根组成的集合； (7)一次函数与的图象的交点组成的集合 【考点7 用描述法表示集合】 【例7】用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． (3)方程的所有实数根组成的集合； (4)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (5)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【变式7.1】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． (5)二次函数图象上的点组成的集合． (6)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (7)集合. 1.1 集合的概念与表示 一．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 二．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 四．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 五．集合的表示方法 1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法：(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法：又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【考点1 集合的概念的理解】 【例1】下列对象中不能构成一个集合的是（    ） ①．某校比较出名的教师 ②．方程的根 ③．不小于3的自然数 ④．所有锐角三角形 ⑤．无限接近0的实数 ⑥．中国最美乡村 ⑦．高一（2）班成绩优秀的学生 ⑧．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】①⑤⑥⑦； 【解析】①：比较出名的标准不清，故不能构成集合； ②：，方程根确定，可构成集合； ③：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； ④：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. ⑤“无限接近”没有判定标准，不满足确定性； ⑥“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性； ⑦“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性； ⑧“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性； 【变式1.1】①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合. 对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合， 对③，方程，，方程无实根，集合为空集， 对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合， 故选：B. 【变式1.2】给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确； ②因为好听的歌标准不确定，所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确； ③因为高一（1）班所有姓氏是确定的，所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的； ④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确， 因此正确的个数为1， 故选：B. 【考点2 利用集合元素的特性求参数】 【例2.1】已知集合，，则（    ） 【答案】 【解析】因，，故有：或， 由解得：或；由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去， 而时，符合题意. 【例2.2】已知，则的取值为（   ） 【答案】0或2 【解析】由元素和集合关系可知：或或，解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性，所以的取值为或. 【变式2.1】若，则的值是（    ） 【答案】-1 【解析】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得， 符合题意，两种情况代入得. 【变式2.2】已知，，若集合，则的值为（    ） 【答案】-1 【解析】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 【考点3 元素与集合的关系】 【例3.1】已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A. 【例3.2】已知，若，则（    ） 【答案】 【解析】且，则；且，则，所以. 【变式3.1】若集合，，则中元素的最大值为（    ） 【答案】7 【解析】由题意，. 【变式3.2】集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【解析】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数，奇数+偶数=奇数，所以，，如，但.所以B选项正确. 【考点4 确定集合中的元素】 【例4.1】若集合，则中的元素个数为（    ） 【答案】5 【解析】依题意可得，则中的元素个数为5. 【例4.2】集合，，则中的元素个数为 【答案】4 【解析】由题意，， 当；当；当； 当；当；当。 由集合中元素满足互异性，所以. 【变式4.1】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） 【答案】6 【解析】根据题意 ，集合B中共有6个元素， 【变式4.2】定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） 【答案】3 【解析】因为，，， 所以，故集合中的元素个数为3， 【考点5 根据集合中元素的个数求参数】 【例5.1】已知集合只有一个元素，则实数的值为 【答案】1或0 【解析】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得，所以或. 【例5.2】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） 【答案】 【解析】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且，所以实数m的取值范围为且. 【变式5.1】已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围 【答案】 【解析】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根， 当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，所以，解得． 综上，实数a的取值范围为． 【变式5.2】由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值范围是 【答案】， 【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即。 【考点6 用列举法表示集合】 【例6】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)以内非负偶数的集合C； (4)方程的所有实数根组成的集合D； (5)一次函数与的图象的交点组成的集合E 【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ， （4）的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ， （5）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 【变式6】选择适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)不等式的所有正整数解组成的集合； (3)一次函数的图象与坐标轴的所有交点组成的集合． (4)不大于10的非负偶数组成的集合； (5)小于8的质数组成的集合； (6)方程的实数根组成的集合； (7)一次函数与的图象的交点组成的集合 【解析】（1）由可得或， 所以方程的所有实数根组成的集合为 （2）由可得，由于为正整数，所以， 故不等式的所有正整数解组成的集合为， （3）令则，故的图象与轴的交点为， 令则，故的图象与轴的交点为， 因此一次函数的图象与坐标轴的所有交点组成的集合为. （4）不大于10的非负偶数有，所以； （5）小于8的质数有，所以； （6）方程的实数根为，所以． （7）由，得，所以一次函数与图象的交点为，所以集合为． 【考点7 用描述法表示集合】 【例7】用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． (3)方程的所有实数根组成的集合； (4)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (5)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【解析】（1）解不等式得，所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. （3）设方程的实数根为，并且满足条件，用描述法表示为. （4）设大于10且小于20的整数为，它满足条件，且，故用描述法表示为. （5）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 【变式7.1】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． (5)二次函数图象上的点组成的集合． (6)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (7)集合. 【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． （5）集合用描述法表示为. （6）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （7）集合用描述法表示为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$