第二章 轴对称课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 1　轴对称现象 练点1　轴对称图形 1. [母题 教材P42习题T3] 在美术字中，有些汉字可以看成是 轴对称图形.下列汉字中，是轴对称图形的是(　C　) A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 2. [情趋势·跨学科2023·衡阳] 下面四种化学仪器的示意图是 轴对称图形的是(　C　) A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 3. [2023·广东]下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的是 (　A　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 练点2　两个图形成轴对称 4. 如图，关于虚线成轴对称的有(　B　) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 5. 如图所示的两个图形关于直线 l 成轴对称，沿直线 l 对折， 下列说法：①点 A 与点 P 重合；②点 B 与点 M 重合；③点 C 与点 M 重合.其中正确的说法有(　C　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 (第5题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 纠易错　因对轴对称图形的定义理解不透而致错 6. [2024·淄博淄川区期中]如图所示的五角星是轴对称图形， 它的对称轴共有(　C　) A. 1条 B. 3条 C. 5条 D. 无数条 (第6题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 7. [新考向·传统文化2023·济南期末] 服饰文化是我国传统文 化的重要组成部分.下列传统服饰图纹是轴对称图形的是 (　A　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 8. [2023·德州陵城区一模]下列四个图形中，具有一个共同性 质，则下面四个数字中，满足上述性质的是(　C　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【点拨】 四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形 的只有8. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 9. 如图，在由边长相同的小正方形组成的桌球的桌面上有 M ， N 两个球，若要将 M 球射向桌面的一边，反弹一次后 击中 N 球，则 A ， B ， C ， D ，4个点中，可以使 M 球反 弹一次后击中 N 球的点是 点. D 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【点拨】 如图，易知 D 点即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 10. [新视角 动手操作题] 如图中的图形都是轴对称图形吗？ 如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴. 【解】第1，2，3，5个图形是轴对称图形；第4个图形不 是轴对称图形.所作的对称轴如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 2　探索轴对称的性质 练点1　轴对称的性质 1. [2024·泰安泰山区月考]如图，若△ ABC 与△A'B'C'关于直 线 MN 对称，BB'交 MN 于点 O ，则下列结论中，不一定 正确的是(　B　) A. AC ＝ A ' C ' B. AB ∥ B ' C ' C. AA '⊥ MN D. BO ＝ B ' O (第1题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 2. [2023·聊城月考]如图， P 为∠ AOB 内一点，分别作点 P 关 于直线 OA ， OB 的对称点 C ， D ，若∠ COD ＝70°，则 ∠ CPD 的度数是(　C　) A. 110° B. 135° C. 145° D. 155° (第2题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. [2023·泰安泰山区月考]如图， AD 是△ ABC 的对称轴， AC ＝8 cm， DC ＝4 cm，则△ ABC 的周长为 ⁠cm. 24　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点2　根据轴对称画图 4. 下面是四名同学作出的△ ABC 关于直线 MN 对称的图形 △A'B'C'，其中正确的是(　B　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. [新视角 动手操作题] 如图，已知△ ABC ，直线 l ，画出 △ ABC 关于直线 l 对称的图形. 【解】如图，分别画出点 A ， B ， C 关于直线 l 对称的点 A'，B'，C'，然后顺次连接即可.△A'B'C'即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 纠易错　因不能灵活应用轴对称的性质而致错 6. [新考向·身边的数学母题·教材P45习题T5] 小明从镜子里 看到镜子对面的电子时钟所显示的时间如图所示，则实际 时间是(　C　) A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 7. [2024·青岛市北区期末]如图，在△ ABC 中，∠ A ＝30°， ∠ B ＝50°，将△ ABC 沿 MN 和 EF 折叠，使点 A ， B 与 点 C 重合，则∠ NCF 的度数为(　C　) A. 18° B. 19° C. 20° D. 21° (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 因为∠ A ＝30°，∠ B ＝50°， 所以∠ ACB ＝100°. 因为将△ ABC 沿 MN 和 EF 折叠，使点 A ， B 与点 C 重 合，所以∠ ACN ＝∠ A ＝30°，∠ FCE ＝∠ B ＝50°. 所以∠ NCF ＝100°－30°－50°＝20°. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 8. [情境题·生活应用2023·聊城阳谷月考] 如图，直线 l 表示一 条河， A ， B 是两个新农村定居点.现要在 l 上的某点处修 建一个水泵站，直接向 A ， B 两地供水.现有如下四种管道 铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最 短的方案是(　D　) (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 A B C D 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 9. [新考向·身边的数学2023·德州期中] 从汽车的后视镜中看 见了某车牌上的号码如图所示，该车牌上的号码实际 是 ⁠. B6395　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [母题 教材P45习题T3] 下图是一个图形的一半，请你以 虚线为对称轴，不用圆规画出此图形的另一半. 【解】根据轴对称的性质，在已有的图形上找到关键 点，然后分别描出它们关于对称轴的对应点，再连接对 应点即可.所画图形如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. [2024·临沂月考]如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， ∠ A ＝50°，将该三角形折叠，使点 A 落在边 CB 上的点 A'处，折痕为 CD ，求∠A'DB的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】由题意得∠CA'D＝∠ A ＝50°， ∠ B ＝90°－∠ A ＝40°. 因为∠ CA ' D ＝180°－∠ BA ' D ，∠ B ＋∠ A ' DB ＝ 180°－∠ BA ' D ，所以∠ CA ' D ＝∠ B ＋∠ A ' DB . 所以∠A'DB＝∠CA'D－∠ B ＝10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. 如图，△ ABC 关于直线 AD 对称， E ， F 是 AD 上的两 点，且 AD ＝40， BC ＝60.求图中阴影部分的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】因为△ ABC 关于直线 AD 对称， 所以 S△ ABD ＝ S△ ACD . 因为 E ， F 是 AD 上的两点， 所以△ EFB 与△ EFC 关于直线 AD 成轴对称. 所以 S△ EFB ＝ S△ EFC ， 所以 S阴影部分＝ S△ ABD . 又因为 S△ ABC ＝ ×60×40＝1 200， 所以 S阴影部分＝ S△ ABC ＝600. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. 如图， P 是∠ AOB 外一点， M ， N 分别是∠ AOB 两边 上的点，点 P 关于 OA 对称的点 Q 在线段 MN 上，点 P 关 于 OB 对称的点 R 在线段 MN 的延长线上.若 PM ＝2.5 cm， PN ＝4 cm， MN ＝4.3 cm，求线段 QR 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】因为点 P 关于 OA 对称的点 Q 在线段 MN 上，点 P 关于 OB 对称的点 R 在线段 MN 的延长线上，所以 PM ＝ MQ ， PN ＝ RN . 又因为 PM ＝2.5 cm， PN ＝4 cm， 所以 MQ ＝2.5 cm， RN ＝4 cm. 因为 MN ＝4.3 cm， 所以 NQ ＝ MN － MQ ＝4.3－2.5＝1.8(cm). 所以 QR ＝ RN ＋ NQ ＝4＋1.8＝5.8(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. [学科素养 推理能力]如图，∠ O ＝30°，点 M ， N 分别 是边 OA ， OB 上的定点，点 P ， Q 分别是边 OB ， OA 上 的动点，∠ MPQ ＝α，∠ PQN ＝β，当 MP ＋ PQ ＋ QN 的值最小时，求β－α的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 【解】作点 M 关于 OB 对称的点M'，点 N 关于 OA 对称的 点N'，连接M'N'，交 OA 于点 Q ，交 OB 于点 P ，连接 MP ， NQ ，此时 MP ＋ PQ ＋ QN 的值最小. 由轴对称的性质得∠ OPM ＝∠OPM'，∠AQN'＝∠AQN ， 又因为∠OPM'＝∠ NPQ ，∠ OQP ＝∠AQN'，所以∠OPM ＝ (180°－α)，∠ OQP ＝ (180°－β). 因为∠ O ＋∠ OPQ ＋∠ OQP ＝180°， 所以30°＋ (180°－α)＋α＋ (180°－β)＝180°.解得β －α＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 3　简单的轴对称图形 微专题2 共顶点的等腰三角形——手拉手模型 例 如图，已知△ ABC 与△ ADE 都是等腰三角形，且它们的 顶角∠ BAC ＝∠ DAE ，连接 BD ， CE . 试说明： BD ＝ CE . 【解】因为△ ABC 与△ ADE 都是等腰三角形，且顶角∠ BAC ＝∠ DAE ，所以 AB ＝ AC ， AD ＝ AE . ∠ BAC －∠ DAC ＝ ∠ DAE －∠ DAC ，即∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ ABD 与△ ACE 中，因为 所以△ ABD ≌△ ACE (SAS)，所以 BD ＝ CE . 模型解读：背景：两个共顶点、等顶角的等腰三角形所组成 的图形. 已知：如图， CA ＝ CB ， CE ＝ CD ，∠ ACB ＝∠ ECD . 结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等，即△ ACE ≌△ BCD . 变式一　等腰三角形变为等腰直角三角形 1. 如图，已知△ ABC 与△ DEC 都是等腰三角形，∠ ACB ＝ ∠ DCE ＝90°，连接 BE ， AD . 试说明：△ ACD ≌△ BCE . 1 2 3 【解】因为∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°，所以∠ ACB ＋∠ ACE ＝∠ DCE ＋∠ ACE ，即∠ BCE ＝∠ ACD . 因为△ ABC 与△ DEC 都是等腰三角形，所以 AC ＝ BC ， DC ＝ EC . 在△ ACD 和△ BCE 中，因为所以 △ ACD ≌△ BCE (SAS). 1 2 3 2. 如图，△ ABC 与△ DCE 都是等腰直角三角形，其中 AC ＝ BC ， CD ＝ CE ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°，点 D 在 AB 上，连接 BE ，试说明： AB ⊥ BE . 1 2 3 【解】因为 AC ＝ BC ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°， 所以∠ A ＝∠ ABC ＝45°，∠ ACD ＝90°－∠ DCB ， ∠ BCE ＝90°－∠ DCB ，所以∠ ACD ＝∠ BCE . 在△ ACD 和△ BCE 中，因为 所以△ ACD ≌△ BCE (SAS)，所以∠ CBE ＝∠ A ＝45°. 又因为∠ ABC ＝45°，所以∠ ABE ＝∠ ABC ＋∠ CBE ＝ 45°＋45°＝90°，所以 AB ⊥ BE . 1 2 3 变式二　等腰三角形变为等边三角形 3. 如图，已知△ ABC 和△ ECD 都是等边三角形， B ， C ， D 在一条直线上，连接 AD ，交 CE 于点 H ，连接 BE ，交 AC 于点 F ，交 AD 于点 M ，连接 FH . 回答下列问题： (1)说明 BE ＝ AD ； 1 2 3 【解】因为△ ABC 和△ DEC 是等边三角形， 所以 AC ＝ BC ， CE ＝ CD ，∠ ACB ＝∠ ECD ＝60°， 所以∠ ACB ＋∠ ACE ＝∠ ECD ＋∠ ACE ， 即∠ BCE ＝∠ ACD . 在△ BCE 和△ ACD 中，因为 所以△ BCE ≌△ ACD (SAS)，所以 BE ＝ AD . 1 2 3 (2)说明 CF ＝ CH ； 【解】因为△ BCE ≌△ ACD ，所以∠ BEC ＝∠ ADC . 因为∠ FCE ＝180°－∠ ACB －∠ ECD ＝60°， 所以∠ FCE ＝∠ HCD . 在△ FCE 和△ HCD 中，因为 所以△ FCE ≌△ HCD (ASA)，所以 CF ＝ CH . 1 2 3 (3)说明△ FCH 是等边三角形； 【解】在△ CFH 中，因为 CF ＝ CH ，∠ FCH ＝60°， 所以△ FCH 是等边三角形. 1 2 3 (4)说明 FH ∥ BD ； 【解】因为△ FCH 是等边三角形，所以∠ FHC ＝60°.因为∠ HCD ＝60°，所以∠ FHC ＝∠ HCD ，所以 FH ∥ BD . 1 2 3 (5)求∠ EMD 的度数. 【解】因为∠ MHE ＝∠ CHD ，∠ BEC ＝∠ ADC ， 所以∠ EMH ＝∠ HCD ＝60°，即∠ EMD ＝60°. 1 2 3 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 3　简单的轴对称图形 微专题1 角平分线＋平行线构造等腰三角形 例 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， CD 是∠ ACB 的平分 线， DE ∥ BC ，交 AC 于点 E ，且∠ CDE ＝25°，求∠ A ， ∠ B 的度数. 【解】因为 CD 是∠ ACB 的平分线， 所以∠ ACD ＝∠ BCD . 因为 DE ∥ BC ，所以∠ EDC ＝∠ DCB ， 所以∠ ECD ＝∠ EDC ＝25°， 所以∠ ACB ＝50°. 又因为 AB ＝ AC ，所以∠ B ＝∠ ACB ＝50°， 所以∠ A ＝180°－∠ B －∠ ACB ＝80°. 方法点拨：有角平分线时，要善于利用相关的平行线(或过 角平分线上一点作角的一边的平行线)构造等腰三角形，它 能为证明结论提供更多的条件，这里体现出了角平分线与等 腰三角形之间的密切关系. 变式一　条件与结论互换 1. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， CD 为∠ ACB 的平分线. DE ∥ BC ，∠ A ＝40°，求∠ CDE 的度数. 1 2 3 【解】因为 AB ＝ AC ，∠ A ＝40°， 所以∠ ACB ＝∠ B ＝ ×(180°－40°)＝70°. 因为 CD 是∠ ACB 的平分线， 所以∠ BCD ＝ ∠ ACB ＝35°. 又因为 DE ∥ BC ，所以∠ CDE ＝∠ BCD ＝35°. 1 2 3 变式二　利用结论说理 2. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 是锐角，∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线相交于点 P . 试说明：点 P 到 BC 的距离小于 BC . 1 2 3 【解】如图，过点 P 作 PD ∥ AB 交 BC 于点 D ， PE ⊥ BC 于点 E . 因为 BP 平分∠ ABC ，所以∠ ABP ＝∠ PBD . 因为 PD ∥ AB ，所以∠ BPD ＝∠ ABP ， 所以∠ PBD ＝∠ BPD ，所以 BD ＝ PD . 所以 BD ＋ DE ＝ PD ＋ DE ， 易知 PD ＋ DE ＞ PE ， 1 2 3 所以 BD ＋ DE ＝ BE ＞ PE ， 所以 BC ＞ PE ， 即点 P 到 BC 的距离小于 BC . 1 2 3 变式三　改变图形形状，把条件与结论互换 3. [新视角 探究题]如图， AE 平分∠ BAC 交 CD 于点 E ，且 AC ＝ CE . (1)试说明： AB ∥ CD . 【解】因为 AE 平分∠ BAC ， 所以∠ BAE ＝∠ CAE . 因为 AC ＝ CE ， 所以∠ CAE ＝∠ CEA ， 所以∠ BAE ＝∠ CEA . 所以 AB ∥ CD . 1 2 3 (2)设 F 为线段 AC 上一动点，连接 EF ，试判断∠ BAF ， ∠ AFE ，∠ DEF 这三个角的度数之和是不是某一固定 值，若是，试求出这一固定值；若不是，请说明理由. 1 2 3 所以∠ BAF ＋∠ AFE ＋∠ DEF ＝∠ BAE ＋∠ EAF ＋∠ AFE ＋∠ FEA ＋∠ AED ＝(∠ BAE ＋∠ AED )＋(∠ EAF ＋∠ AFE ＋∠ FEA )＝180°＋180°＝360°. 【解】∠ BAF ，∠ AFE ，∠ DEF 这 三个角的度数之和是固定值. 由(1)知 AB ∥ CD ， 所以∠ BAE ＋∠ AED ＝180°. 1 2 3 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 3　简单的轴对称图形 第1课时　线段的垂直平分线 练点1　线段的垂直平分线的性质 1. 关于线段的垂直平分线有以下说法： ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等. 其中，正确的说法有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 2. [2024·济南市中区开学]如图，在△ ABC 中， AB 的垂直平 分线分别交 AB ， BC 于点 D ， E ，连接 AE ，若 AE ＝4， EC ＝2，则 BC 的长是(　B　) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 (第2题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 3. [2024·威海荣成市月考]如图，在△ ABC 中， BC ＝8， AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E ，连接 AD ， AE ，则△ ADE 的周长等于 ⁠. (第3题) 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 【点拨】 因为 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E ，所以 DA ＝ DB ， EA ＝ EC ，则△ ADE 的周 长＝ AD ＋ DE ＋ AE ＝ BD ＋ DE ＋ EC ＝ BC ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 练点2　线段的垂直平分线的作图 4. [母题·教材P47例1 2023·深圳三模] 下列尺规作图是作线段 的垂直平分线的是(　C　) A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 5. 如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B ， C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M ， N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD . 则下列结 论正确的是(　B　) B A. CD ＋ DB ＝ AB B. CD ＋ AD ＝ AB C. CD ＋ AC ＝ AB D. AD ＋ AC ＝ AB 【点拨】 根据题意得 MN 垂直平分 BC ， 所以 DC ＝ DB ，所以 AB ＝ AD ＋ DB ＝ AD ＋ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 纠易错　因对线段的垂直平分线的性质理解不准确而出错 6. 如图，已知直线 l 是 AB 的垂直平分线， M 是直线 l 上的一 点， D ， E 是 AB 上不同的点，则 AM ＝ BM 吗？ MD ＝ ME 吗？ 【解】 AM ＝ BM ，无法判断 MD 是否等于 ME . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 7. [新情境·生活应用2023·聊城东昌府区期末] 三条公路将 A ， B ， C 三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如 果在这个区域附近修建一个公园，要使公园到三个村庄的 距离都相等，那么这个公园应建的位置是△ ABC 的(　B　) B A. 三条高的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 8. 如图，直线 l ， m 相交于点 O ， P 为这两直线外一点，且 OP ＝2.8.若点 P 关于直线 l ， m 对称的点分别是点 P1， P2，则 P1， P2之间的距离可能是(　B　) A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 (第8题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 9. 如图，在△ ABC 中， AD 垂直平分 BC ，交 BC 于点 D ， EF 垂直平分 AB ，交 AB 于点 F ，交 AC 于点 E ，连接 BE ， BE ＋ CE ＝20，则 AB 的长为 ⁠. 20　 (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 又因为 BE ＋ CE ＝20，所以 AE ＋ CE ＝20，即 AC ＝20. 因为 AD 垂直平分 BC ，所以 AB ＝ AC ＝20. 【点拨】 因为 EF 垂直平分 AB ，所以 AE ＝ BE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 10. 如图，在△ ABC 中， AD 垂直平分 BC ，交 BC 于点 E ， CD ⊥ AC 于点 C ，若 AB ＝4， CD ＝3， AD ＝5，则 BE ＝ ⁠. 2.4　 (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 所以 AC ＝ AB ＝4， BE ＝ CE . 易知 S△ ACD ＝ AD · CE ＝ AC · CD ， 所以 ×5× CE ＝ ×4×3， 解得 CE ＝2.4，所以 BE ＝ CE ＝2.4. 【点拨】 因为 AD 垂直平分 BC ， AB ＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 11. [2023·青岛市北区一模]如图，找一点 P ，使点 P 到 A ， B 两点的距离相等，并且点 P 到点 C 的距离等于 线段 AC 的长. 【解】如图，点 P 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 12. [2024·烟台蓬莱区期中]尺规作图(只保留作图痕迹，不要 求写出作法)：如图，已知△ ABC ，求作△ A1 B1 C1，使 △ A1 B1 C1≌△ ABC ，并作出 A1 C1边的中线. 【解】如图，△ A1 B1 C1，线段 B1 D 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 13. [母题 教材P47习题T2] 如图，在△ ABC 中， AB 与 AC 的 垂直平分线相交于点 O ，连接 OA ， OB ， OC ，若 OA ＝ 2， BC ＝3，求△ OBC 的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【解】因为 AB 与 AC 的垂直平分线相交于点 O ， OA ＝ 2，所以 OB ＝ OA ＝2， OC ＝ OA ＝2. 又因为 BC ＝3， 所以△ OBC 的周长＝ OB ＋ OC ＋ BC ＝2＋2＋3＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 14. [新视角·方案设计题2023·淄博临淄区月考] 如图，要在一 条笔直的公路 l 上建一个燃气站，向 l 同侧的 A ， B 两个 城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺 设管道的长度最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【解】如图，点 P 即为燃气站的位置. 沿 AP － PB 路线铺设管道，管道长度最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 15. [新视角·探究题] 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝3， AC ＝4， BC ＝5， EF 垂直平分 BC ， P 为直线 EF 上 的任一点，则 AP ＋ BP 的最小值是(　B　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 【点拨】 连接 PC . 因为 EF 是 BC 的垂直平分线，所以 BP ＝ PC . 所以 PA ＋ BP ＝ AP ＋ PC . 当点 A ， P ， C 在一条直线上时， PA ＋ BP 有最小值， 最小值为4. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 3　简单的轴对称图形 第2课时　角平分线 练点1　角平分线的性质 1. 如图， OP 为∠ AOB 的平分线， PC ⊥ OA ， PD ⊥ OB ， 垂足分别是 C ， D ，则下列结论错误的是(　B　) A. PC ＝ PD B. ∠ CPO ＝∠ DOP C. ∠ CPO ＝∠ DPO D. OC ＝ OD (第1题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 2. [母题·教材P49随堂练习T2 2023·德州期中] 如图， AP 平分 ∠ CAB ， PD ⊥ AC 于点 D ，若 PD ＝6， E 是边 AB 上一 动点，关于线段 PE 长度的表述正确的是(　D　) A. PE ＝6 B. PE ＞6 C. PE ≤6 D. PE ≥6 (第2题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. [2023·菏泽期中]如图，在△ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝ 2， BC ＝5， BD 是∠ ABC 的平分线，设△ ABD 和△ BDC 的面积分别是 S1， S2，则 ＝ 　 　. 　 (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 【点拨】 过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E . 因为∠ A ＝90°，所以 DA ⊥ BA ， 因为 BD 是∠ ABC 的平分线，所以 DE ＝ DA . 又因为 S1＝ AB · AD ， S2＝ BC · DE ， 所以 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点2　角平分线的作图 4. 观察下列作图痕迹，所作线段 CD 为△ ABC 的角平分线的 是(　C　) A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. 如图，作∠ AOB 的平分线 OP 的依据是 .(填全等三 角形的一种判定方法) (第5题) SSS　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 6. [新视角·动手操作题2023·滨州期末] 如图，在直线 MN 上 求作一点 P ，使点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等.(要求用 尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和说明过程) 【解】如图，点 P 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 纠易错　因考虑问题不全面而出错 7. [情境题·生活应用2023·菏泽期末] 随着人们生活水平的不 断提高，汽车逐步进入到千家万户，某市要在三条相互交 叉的公路(如图所示)附近建一个加油站，要求它到三条公 路的距离都相等，这样可供选择的地址有 处. 4　 (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 【点拨】 如图所示，可供选择的地址有四处. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 8. 如图，射线 OC 是∠ AOB 的平分线， D 是射线 OC 上一 点， DP ⊥ OA 于点 P ， DP ＝4，若点 Q 是射线 OB 上一 点， OQ ＝3，则△ ODQ 的面积为(　D　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 作 DE ⊥ OB 于点 E . 因为 OC 是∠ AOB 的平分线， DP ⊥ OA ， DE ⊥ OB ， 所以 DE ＝ DP ＝4，所以 S△ ODQ ＝ ×3×4＝6. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 9. [2024·聊城东昌府区期末]如图，△ ABC 的三边 AC ， BC ， AB 的长分别是8，12，16， O 是△ ABC 三条角平分 线的交点，则 S△ OAB ∶ S△ OBC ∶ S△ OAC ＝(　A　) A. 4∶3∶2 B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 因为 O 是△ ABC 三条角平分线的交点， 所以点 O 到 AB ， AC ， BC 的距离相等， 设点 O 到 AB ， AC ， BC 的距离为 h ， 所以 S△ OAB ∶ S△ OBC ∶ S△ OAC ＝ ∶( h · BC )∶ ＝ AB ∶ BC ∶ AC ＝16∶12∶8＝4∶3∶2. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [2024·滨州邹平市期末]如图，在△ ABC 中， BD 平分 ∠ ABC ， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ BC 于点 F ， S△ ABC ＝ 18， AB ＝8， BC ＝4，则 DE ＝ ⁠. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 因为 BD 是∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB ， DF ⊥ BC ，所 以 DE ＝ DF . 又因为 S△ ABC ＝ S△ ABD ＋ S△ BDC ＝ AB · DE ＋ BC · DF ＝18， 所以 ×8 DE ＋ ×4 DE ＝18.解得 DE ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. [新考向·知识情境化2024·青岛胶州市模拟] 如图，某城市 公园里有三个景点 A ， B ， C ， l1， l3表示直路，而 l2表 示弯路.想在 S 区里修建一座公厕 P ，使它到直路 l1和 l3的 距离相等，且到景点 B 和 C 的距离也相等.求点 P 位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】如图，设 l1和 l3交于点 E ， 以点 E 为圆心，以适当的长为半径画弧分别交 l1， l3于点 M ， N ，分别以 M ， N 为圆心，以大于 MN 的长为半径 画弧，在∠ MEN 的内部交于点 F ，作射线 EF . 连接 BC ，分别以 B ， C 为圆心，以大于 BC 的长为半径画弧，两弧交于点 T ， H ，作直线 TH 与射线 EF 交于 点 P ，则点 P 即为所求作的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. [2024·日照东港区月考]如图，在四边形 ABCD 中，已知 BD 为∠ ABC 的平分线， AB ＝ BC ，点 P 在 BD 上， PM ⊥ AD 于点 M ， PN ⊥ CD 于点 N ，试说明： PM ＝ PN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】因为 BD 为∠ ABC 的平分线， 所以∠ ABD ＝∠ CBD . 在△ ABD 和△ CBD 中，因为 所以△ ABD ≌△ CBD (SAS). 所以∠ ADB ＝∠ CDB . 又因为点 P 在 BD 上， PM ⊥ AD ， PN ⊥ CD ， 所以 PM ＝ PN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. 如图，在四边形 ABCD 中， AC 为∠ BAD 的平分线， AB ＝ AD ，点 E ， F 分别在 AB ， AD 上，且 AE ＝ DF ，连 接 CE ， CF . 请说明：四边形 AECF 的面积为四边形 ABCD 面积的一半. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】如图，过点 C 分别作 CG ⊥ AB 于点 G ， CH ⊥ AD 于点 H . 因为 AC 为∠ BAD 的平分线， CG ⊥ AB ， CH ⊥ AD ， 所以 CG ＝ CH . 又因为 AB ＝ AD ， AE ＝ DF ， 所以 S△ ABC ＝ S△ ACD ＝ S四边形 ABCD ， S△ AEC ＝ S△ CDF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 所以 S四边形 AECF ＝ S△ AEC ＋ S△ ACF ＝ S△ CDF ＋ S△ ACF ＝ S△ ACD ＝ S四边形 ABCD . 所以四边形 AECF 的面积为四边形 ABCD 面积的一半. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. [新视角 推理探究题] 感知：如图①，在四边形 ABDC 中， AD 平分∠ BAC ，∠ B ＋∠ C ＝180°，∠ B ＝90°. 易知 DB ＝ DC . 探究：如图②，在四边形 ABDC 中， AD 平分∠ BAC ， ∠ ABD ＋∠ ACD ＝180°，且∠ ABD ＜90°.试说明： DB ＝ DC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 【解】如图②，过点 D 分别作 DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC ，交 AC 的延长线于点 F ，则∠ DEB ＝∠ F ＝90°.因 为 AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，所以 DE ＝ DF . 因为∠ ABD ＋∠ ACD ＝180°，∠ ACD ＋∠ FCD ＝180°，所以∠ ABD ＝∠ FCD . 在△ DFC 和△ DEB 中，因为 所以△ DFC ≌△ DEB (AAS). 所以 DB ＝ DC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 3　简单的轴对称图形 第3课时　等腰三角形的性质 练点1　等腰三角形的对称性 1. [2023·淄博期末]等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 (　D　) A. 过顶点的直线 B. 腰上的中线所在的直线 C. 腰上的高所在的直线 D. 顶角的平分线所在的直线 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 2. 如图所示的三角形中是轴对称图形的个数为 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 练点2　等腰三角形的“三线合一” 3. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ， CD 平分∠ ACB . 若 AC ＝5， AD ＝4，则△ ABC 的周长为(　D　) A. 11 B. 14 C. 16 D. 18 (第3题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 4. [2024·泰安期中]如图，在△ ABC 中， BC ＝ AC ， CE ⊥ AB 于点 E ， BD ⊥ AC 于点 D ，交 CE 于点 F ，且 BD ＝ CD . 若 CF ＝4，则 BE 的值为(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 【点拨】 因为 CE ⊥ AB 于点 E ， BD ⊥ AC 于点 D ， 所以∠ ADB ＝∠ FDC ＝∠ AEC ＝90°， 所以∠ ABD ＝∠ FCD ＝90°－∠ A ， 在△ ABD 和△ FCD 中，因为 所以△ ABD ≌△ FCD ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 所以 AB ＝ CF ＝4. 又因为 BC ＝ AC ， CE ⊥ AB 于点 E ， 所以 BE ＝ AB ＝2. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 5. [2024·潍坊青州期中]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上， AE ＝ AF ， AO 是△ AEF 的 边 EF 上的中线， AO 的延长线交 BC 于点 D ，那么 AD ⊥ BC 吗？为什么？ 【解】 AD ⊥ BC . 理由如下： 因为 AE ＝ AF ， AO 是△ AEF 的边 EF 上的中线， 所以∠ OAE ＝∠ OAF ， 又因为 AB ＝ AC ， 所以 AD ⊥ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 练点3　“等边对等角” 6. [母题·教材P51随堂练习T3 2023·宿迁]若等腰三角形有一 个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是(　C　) A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 7. 如图，直线 a ∥ b ，直线 l 与直线 a ， b 分别相交于点 A ， B ，点 C 在直线 b 上，且 CA ＝ CB . 若∠1＝32°，则∠2 的度数为(　C　) A. 32° B. 58° C. 74° D. 75° (第7题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 练点4　等边三角形的性质 8. 如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 的中点，连接 AD ，则∠ BAD 的大小为 ⁠. (第8题) 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 9. [2023·临沂兰山区二模]如图，直线 a ∥ b ，等边三角形 ABC 的顶点 C 在直线 b 上，∠2＝39°，则∠1的度数为 (　A　) A. 81° B. 71° C. 61° D. 51° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 纠易错　因忽视分类讨论导致漏解 10. [2024·菏泽月考]已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰 的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为(　C　) A. 50° B. 130° C. 50°或130° D. 65°或130° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 ①如图①，等腰三角形 ABC 为锐角三角形. 因为 BD ⊥ AC ，∠ ABD ＝40°， 所以∠ A ＝50°，即顶角的度数为50°. 【点拨】 ②如图②，等腰三角形 ABC 为钝角三角形. 因为 BD ⊥ AC ，∠ DBA ＝40°， 所以∠ BAD ＝50°，所以∠ BAC ＝130°. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 11. [2023·金昌]如图， BD 是等边三角形 ABC 的边 AC 上的 高，以点 D 为圆心， DB 长为半径作弧交 BC 的延长线于 点 E ，则∠ DEC ＝(　C　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 因为△ ABC 是等边三角形， 所以∠ ABC ＝60°. 因为 BD 是边 AC 上的高，所以 BD 平分∠ ABC ， 所以∠ CBD ＝ ∠ ABC ＝30°. 易知 BD ＝ ED ，所以∠ DEC ＝∠ CBD ＝30°. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 12. [2023·河北]四边形 ABCD 的边长如图所示，对角线 AC 的 长度随四边形形状的改变而变化.当△ ABC 为等腰三角形 时，对角线 AC 的长为(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (第12题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 因为△ ABC 为等腰三角形， 所以 AB ＝ AC 或 AC ＝ BC ， 当 AC ＝ BC ＝4时， AD ＋ CD ＝4＝ AC ，此时不满足三 角形三边关系定理， 当 AC ＝ AB ＝3时.满足三角形三边关系定理， 所以 AC ＝3. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 13. [新视角·规律探究题2023·威海模拟] 如图，在第1个△ ABA1中，∠ B ＝30°， AB ＝ A1 B ，在 A1 B 上取一点 C ，延长 AA1到 A2，使得 A1 A2＝ A1 C ；在 A2 C 上取一点 D ，延长 A1 A2到 A3，使得 A2 A3＝ A2 D ；…按此作法进行下去，第 n 个三角形的以 An 为顶点的内角的度数为(　B　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 因为在△ ABA1中，∠ B ＝30°， AB ＝ A1 B ，所以∠ BA1 A ＝ (180°－∠ B )＝75°. 因为 A1 A2＝ A1 C ，∠ CA2 A1＋∠ A1 CA2＋∠ CA1 A2＝ 180°＝∠ BA1 A ＋∠ CA1 A2， 所以∠ CA2 A1＝∠ A1 CA2＝ ∠ BA1 A ＝ ＝37.5°， 同理可得∠ DA3 A2＝18.75°，∠ EA4 A3＝9.375°，…， 所以第 n 个三角形的以 An 为顶点的内角的度数为 . 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 14. [2023·锦州]如图，在△ ABC 中， BC 的垂直平分线交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，连接 CE . 若 CE ＝ CA ，∠ ACE ＝40°，则∠ B 的度数为 ⁠. 35°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 因为 CE ＝ AC ，所以∠ A ＝∠ AEC . 又因为∠ A ＋∠ AEC ＋∠ ACE ＝180°，∠ ACE ＝40°， 所以∠ AEC ＝70°. 因为 DE 垂直平分 BC ， 所以 BE ＝ CE ，所以∠ B ＝∠ BCE . 因为∠ AEC ＝180°－∠ BEC ＝∠ B ＋∠ BCE ， 所以∠ B ＝35°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 15. [2023·烟台一模]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36°，以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交 AC 于点 D ，连接 BD ，过点 B 且平行于 AC 的直线与过点 D 且平 行于 AB 的直线交于点 E ，连接 CE ，求∠ CED 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【解】因为 AB ＝ AC ，∠ A ＝36°，∠ A ＋∠ BCD ＋ ∠ ABC ＝180°，所以∠ BCD ＝∠ ABC ＝72°. 因为 AB ∥ DE ，所以∠ CDE ＝∠ A ＝36°. 因为 AC ∥ BE ， 所以∠ BED ＝∠ CDE ＝36°，∠ CBE ＝∠ BCD ＝72°. 因为 BC ＝ BD ，所以∠ CDE ＋∠ BDE ＝∠ BCD ＝72°， 所以∠ BDE ＝36°，所以∠ BDE ＝∠ BED ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 所以 BD ＝ BE ，所以 BC ＝ BE ，所以∠ CEB ＝∠ BCE . 因为∠ CEB ＋∠ BCE ＋∠ CBE ＝180°，所以∠ CEB ＝ 54°， 所以∠ CED ＝∠ CEB －∠ BED ＝54°－36°＝18°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 16. [新视角 推理探究题] 【数学理解】(1)如图①，在等边三 角形 ABC 内，作 DB ＝ DC ，且∠ BDC ＝80°， E 是 △ DBC 内一点，且∠ CBE ＝10°， BE ＝ BD ，求∠ BCE 的度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 【解】连接 AD . 因为△ ABC 是等边三角形，所以 AB ＝ AC ＝ BC ，∠ BAC ＝∠ ABC ＝60°.又因为 DB ＝ DC ， AD ＝ AD ，所以△ ABD ≌△ ACD ，所以∠ BAD ＝∠ CAD ＝30°.因为∠ BDC ＝80°， BD ＝ DC ，所以 ∠ DBC ＝∠ DCB ＝50°，所以∠ ABD ＝60°－50°＝ 10°＝∠ CBE . 又因为 AB ＝ BC ， BD ＝ BE ，所以△ ABD ≌△ CBE (SAS).所以∠ BCE ＝∠ BAD ＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 【联系拓展】(2)联系图①的特点，解决下列问题：如图 ②，在△ DBC 中， DB ＝ DC ，∠ BDC ＝80°， E 是 △ DBC 内一点，且∠ CBE ＝10°，∠ BCE ＝30°，连接 DE ，请直接写出∠ CDE 的度数. 【解】(2)∠ CDE ＝10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 【点拨】 如图，作等边三角形 ABC ，连接 AD . 易知∠ ABD ＝10°，△ ABD ≌△ CBE . 所以 BD ＝ BE . 所以∠ BDE ＝∠ BED . 又因为∠ DBE ＝60°－10°－10°＝40°， 所以∠ BDE ＝ (180°－∠ DBE )＝70°. 所以∠ CDE ＝∠ BDC －∠ BDE ＝80°－70°＝10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 3　简单的轴对称图形 第4课时　等腰三角形的判定以及含30 °角的直角三角形的性质 练点1　等腰三角形的判定 1. 下列三角形中，不是等腰三角形的是(　A　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 2. 在△ ABC 中，∠ A ＝80°，∠ B ＝50°，若 AB ＝6 cm， 则 AC 的长为(　C　) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 3. [2023·济南莱芜区三模]如图， P 是∠ AOB 的平分线 OC 上 一点，点 Q 在 OA 上，且 PQ ∥ OB ，若 PQ ＝2，则线段 OQ 的长是(　D　) A. 1.8 B. 2.5 C. 3 D. 2 (第3题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 练点2　等边三角形的判定 4. [2024·淄博期末]在△ ABC 中， AB ＝ AC ，若∠ B ＝ 60°，则△ ABC 的形状为(　B　) A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 5. 若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的是 (　C　) A. 这个三角形是钝角三角形 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形是等边三角形 D. 不存在这样的三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 6. [新考向·知识情境化母题·教材P53随堂练习T1] 如图，在 一个池塘旁有一条笔直的小路( B ， C 为小路的端点)和一 棵小树( A 为小树的位置)，测得∠ ABC ＝60°，∠ ACB ＝ 60°， BC ＝58米，则 AC ＝ 米. 58　 (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 【点拨】 因为∠ ABC ＝60°，∠ ACB ＝60°， 所以∠ BAC ＝60°，所以∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ BAC ， 所以△ ABC 是等边三角形，所以 AC ＝ BC ＝58米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 练点3　含30 °角的直角三角形的性质 7. 如图，某研究学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间 的距离，在学校附近选一点 C ，利用测量仪器测得∠ A ＝ 60°，∠ C ＝90°， AC ＝2 km.据此，可求得学校 A 与工 厂 B 之间的距离 AB 等于(　D　) D A. 2 km B. 3 km C. 3.5 km D. 4 km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 8. [新视角·探究题2023·烟台栖霞期中] 如图，在△ ABC 中， ∠ ABC ＝90°， D 是 BC 边延长线上的一点，并且 CD ＝ CA ，∠ ADC ＝15°，则 AB 与 CD 的数量关系是 ⁠ ⁠. CD ＝ 2 AB 　 (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 【点拨】 因为 CD ＝ CA ， 所以∠ CAD ＝∠ ADC . 又因为∠ ADC ＝15°，所以∠ CAD ＝15°. 易得∠ ACB ＝30°. 又因为∠ ABC ＝90°，所以 AC ＝2 AB ，所以 CD ＝2 AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 9. [新情境·科技创新2023·贵州] 5月26日，“2023中国国际大 数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有 许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图 所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是 (　B　) A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【点拨】 如图，作 AD ⊥ BC 于点 D ，则∠ ADB ＝90°. 在△ ABC 中，因为∠ BAC ＝120°， AB ＝ AC ， 所以∠ B ＝∠ C ＝ (180°－∠ BAC )＝30°. 又因为∠ ADB ＝90°，所以 AD ＝ AB ＝ ×12＝6(m). 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 10. 如图，在下列三角形中，若 AB ＝ AC ，则能被一条直线 分成两个小的等腰三角形的有(　D　) A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【点拨】 ①作∠ B 或∠ C 的平分线即可； ③过点 A 作 BC 的垂线即可； ④在△ ABC 内作∠ BAE ＝72°或∠ CAE ＝72°，则直 线 AE 可以把△ ABC 分成两个小的等腰三角形. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 11. [2023·江西]将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示 的方式放置，已知∠α＝60°，点 B ， C 表示的刻度分别 为1 cm，3 cm，则线段 AB 的长为 ⁠ cm. 2　 (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 所以∠ ACB ＝∠α＝60°. 又因为∠ A ＝60°，所以∠ ABC ＝180°－∠ ACB －∠ A ＝180°－60°－60°＝60°， 所以∠ A ＝∠ ABC ＝∠ ACB ， 所以△ ABC 是等边三角形， 所以 AB ＝ BC ＝3－1＝2(cm). 【点拨】 因为直尺的两条长边相互平行， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 12. [2023·泰安东平一模]如图，在△ ABC 中， AB ＝10， AC ＝8，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于点 O ， MN 过点 O ，且 MN ∥ BC ，分别交 AB ， AC 于点 M ， N . 则△ AMN 的周长为 ⁠. 18　 (第12题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 所以∠ ABO ＝∠ OBC ，∠ ACO ＝∠ OCB . 因为 MN ∥ BC ，所以∠ MOB ＝∠ OBC ， 所以∠ ABO ＝∠ MOB ，所以 BM ＝ OM . 同理可得 CN ＝ ON . 所以△ AMN 的周长是 AM ＋ NM ＋ AN ＝ AM ＋ OM ＋ ON ＋ AN ＝ AM ＋ BM ＋ CN ＋ AN ＝ AB ＋ AC ＝10＋8 ＝18. 【点拨】 因为在△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于点 O ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 13. [新视角 开放型问题] 如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ A ＝36°， AB ＝ AC ， BD 是△ ABC 的角平分线.若在边 AB 上截取 BE ＝ BC ，连接 DE ，试判断图中还有哪些三 角形是等腰三角形，并选择其中一个说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【解】图中还有△ ABD ，△ BCD ，△ BED ，△ AED 都 是等腰三角形.理由：因为∠ A ＝36°， AB ＝ AC ，所以 ∠ ABC ＝∠ C ＝ (180°－∠ A )＝72°.因为 BD 平分 ∠ ABC ，所以∠ ABD ＝∠ DBC ＝ ∠ ABC ＝36°.所以 ∠ A ＝∠ ABD ，所以 AD ＝ DB . 所以△ ADB 是等腰三角形. 因为∠ DBC ＝36°，∠ C ＝72°，所以∠ BDC ＝180° －∠ DBC －∠ C ＝72°.所以∠ BDC ＝∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 所以 BD ＝ BC . 所以△ BDC 是等腰三角形.因为 BE ＝ BC ， 所以 BE ＝ BD . 所以△ BED 是等腰三角形.所以∠ BED ＝ ∠ BDE ＝ (180°－∠ ABD )＝72°.所以∠ AED ＝180°－ 72°＝108°，所以∠ ADE ＝180°－∠ AED －∠ A ＝36°. 所以∠ A ＝∠ ADE . 所以 AE ＝ DE . 所以△ AED 是等腰三角 形.(任选其一说明理由即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 14. [2023·青岛市北区期中]如图，在△ ABC 中， D 为 AC 边 上一点， DE ⊥ AB 于点 E ， ED 的延长线与 BC 的延长线 交于点 F ，且 CD ＝ CF . (1)试说明：△ ABC 是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【解】因为 CD ＝ CF ，所以∠ F ＝∠ CDF . 又因为∠ ADE ＝∠ CDF ， 所以∠ F ＝∠ ADE . 因为 DE ⊥ AB ， 所以∠ F ＋∠ B ＝90°，∠ ADE ＋∠ A ＝90°，所以∠ B ＝∠ A ，所以△ ABC 是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 (2)当∠ F ＝ °时，△ ABC 是等边三角形？请说明 你的结论. 【解】由(1)知∠ B ＋∠ F ＝90°，所以∠ B ＝90°－∠ F ＝90°－30°＝60°.又由(1)知△ ABC 是等腰三角形，所以△ ABC 是等边三角形. 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 15. [新视角 动点探究题] 在边长为9的等边三角形 ABC 中， P 是 AB 上一动点，以每秒1个单位的速度从点 A 向点 B 运 动，设运动时间为 t 秒. (1)如图①，若 Q 是 BC 上一点，且 BQ ＝6， PQ ∥ AC ， 求 t 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 【解】因为△ ABC 是等边三角形，所以∠ C ＝∠ A ＝ ∠ B ＝60°.因为 PQ ∥ AC ，所以∠ BQP ＝∠ C ＝ 60°，∠ BPQ ＝∠ A ＝60°. 又因为∠ B ＝60°，所以∠ B ＝∠ BQP ＝∠ BPQ . 所 以△ BPQ 是等边三角形，所以 BP ＝ BQ ＝6.由题意可 知 AP ＝ t ，则 BP ＝9－ t ，所以9－ t ＝6，解得 t ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 (2)如图②，若点 P 开始运动的同时，点 Q 以每秒2个单位 的速度从点 B 经点 C 向点 A 运动，当 t 为何值时，△ APQ 为等边三角形？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 【解】如图①，当点 Q 在边 BC 上时，△ APQ 不可能 为等边三角形； 如图②，当点 Q 在边 AC 上时，若△ APQ 为等边三角 形，则 AP ＝ AQ ，由题意可知 AP ＝ t ， BC ＋ CQ ＝2 t ，所以 AQ ＝ BC ＋ AC －( BC ＋ CQ )＝ 9＋9－2 t ＝18－2 t ，所以18－2 t ＝ t ，解得 t ＝6.所以 当 t ＝6时，△ APQ 为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第二章　轴对称 4　利用轴对称进行设计 练点1　剪纸中的轴对称 1. [新考向 传统文化] 剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法有 很多，下面是一种剪纸的方法.如图，先将一张正方形纸片 折叠2次，然后剪出图形，再展开，即可得到图案. 下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是(　C　) C 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 2. [母题·教材P57习题T2 2023·威海文登区期末] 如图，将一 张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形.在得到 的三角形的三个内角附近各剪去一个圆，然后将纸片展 开，得到的图案是(　A　) 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 A B C D 【答案】A 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 练点2　设计轴对称图形 3. [新视角 方案设计题] 要在一块长方形的空地上修建一个花 坛，要求修建花坛的部分(阴影部分)为轴对称图形，图中 的设计符合要求的有(　A　) A. 4个　B　.3个 C. 2个 D. 1个 A 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 4. [2024·东营月考]如图，在正方形网格中，每个小正方形的 边长都为1，已有两个小正方形被涂色，再将图中其余的 一个小正方形涂色，使整个图案构成一个轴对称图形，那 么涂法共有(　C　) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 【点拨】 如图所示： 共5种. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 5. 下列各图中的每个小正方形的边长都等于1，并且都已经 添加了一部分阴影，请再对每个图形添加一部分阴影. (1)使得图①成为轴对称图形； 【解】如图①所示(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 (2)使得图②成为至少有2条对称轴且阴影部分面积不超过6 的图形. 【解】如图②所示(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 6. [新视角·图案设计题母题·教材P57习题T1] 以给出的图形 “○○，△△， ”(两个相等的圆、两个相等的三角 形、一组平行线)为构件，设计一个构思独特且有意义的 轴对称图形.如图①是符合要求的一个图形，你还能构思出 其他的图形吗？请在图②中画出与之不同的一个图形，并 写出一句贴切的解说词. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 【解】能.答案不唯一，如图所示. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 $$