3.1.1函数的概念及其表示教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1 函数的概念及其表示-教学设计 1、 教材分析 　　1.教材地位 　　本节课是《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（2019人教A版）第三章第一节《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用;在高等数学中，函数是基本数学对象;在实际应用中，函数是数学建模的重要基础. 　　2.教材特点 学生在初中学习了函数概念，函数定义采用“变量说”.高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性.与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域；引入抽象符号f（x）.　 2、 基于核心素养的教学目标 数学抽象（水平二） 直观想象（水平一） 逻辑推理（水平一） 情境与问题 能够在关联的情境中抽象出一般的函数的概念，能够将函数的概念推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择合适的函数描述问题。 能够在熟悉的情境中，能够建立图形、图表与数字之间的联系；体会图形与数量的关系。 能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质，找到函数关系。 知识与技能 能够用恰当的例子解释函数的概念；理解函数的条件；能够理解和构建初中函数与高中函数之间的联系。 能够在熟悉的数学情境中， 借助图表的性质发现数学规律；能够度量关系及其特有性质。 能够在熟悉的数学内容中，识别归纳推理、类比推理，理解其基本形式；能够通过归纳推理、类比推理证明、表述简单的函数关系。 思维与表达 能够理解用数学语言表达函数的概念；能够提炼出表示一类问题的函数，理解其中的数学思想。 能够通过图形直观认识数学问题；能够体会数形结合。 能够了解函数的概念之间的逻辑关系。 交流与反思 在交流的过程中，能够用一般的函数概念解释具体现象与问题。 能够在日常生活中利用图形直观进行数学交流。 能够在交流过程中，明确所函数概念的内涵，有条理地表达观点。 品格价值观 函数概念教学不仅重视数学的教学，而且重视学生的学习，体现学生的主体地位，促进学生在数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养的综合发展； 学生基于原有的认知基础，敢于质疑，认真反思，理解函数概念的内涵本质，逐步完善函数概念，并且发展了数学思维的深刻性、广泛性、灵活性； 积极参与课堂、动手操作、自主探索，努力激发学生数学学习的兴趣，培养良好的学习习惯，全方位提升学生的综合素养。 3、 教学重点与难点 教学重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养. 教学难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念;理解函数的对应关系f. 4、 教具准备 教科书、多媒体课件 5、 教学过程 教学过程 学生活动 教学设计意图 核心素养目标 情 境 引 入 客观世界中有各种各样的运动变化现象，例如：2021年6月，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号火箭，在酒泉卫星发射中心准时点火发射升空，接下来请大家回看一下发射的过程。 （视频播放） 【师】在这激动人心的时刻，我们为祖国感到骄傲的同时。请同学们思考：在这次发射过程中，有哪些量在改变？ 【师】这些变量与变量之间也存在着依赖的关系，这种变量间的对应关系，常常可用函数模型来刻画，那么什么是函数？ 【生】飞行的时间t，飞行的高度h，燃料的剩余量m，火箭的速度v，加速度a，……… 通过现实生活情境引入，激发学生学习兴趣。 复 习 回 顾 【师】在初中我们已经接触过函数的概念，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，你能说说初中函数的定义吗？ 带着这个定义我们来看两个小问题。 用函数关系式是L=4x，这个函数与正比例函数y=4x相同吗？ 第二个问题，y=x与  是同一函数吗？ 【师】可能大家心里有答案了，但是怎么解释呢？如果使用初中的定义好像不太够，所以要解决这些问题，就需要进一步学习函数的定义 【生】设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量. 【生】相互讨论，发出疑问。 通过复习初中所学函数的定义及基本初等函数，为进一步学习函数的概念打基础，建立知识间的联系。 探 索 新 知 首先看几个实际的问题 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350 km∕h后保持匀速运行半小时. （1） 在这半小时内，列车行进的路程S与运行时间t的关系如何表示？ （匀速运动S=速度乘以时间，所以s=350t） 这是一个函数吗？为什么？ （由于初中我们已经学习过函数怎样判断，所以这里，对于任意时刻t都有唯一确定的路程s与之对应，所以s是t的函数。） （2） 接下来有人说：“根据对应关系S=350 t，这趟列车加速到350 km∕h后，运行1 h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？ （我看很多同学都是同意的，我想问问认为正确的同学你知不知道列车运行1小时的速度是多少呢？题目只告诉我们列车运行半小时，因此这里的时间t是有范围的，如果按照不等式来解释的话，t应该大于等于0，小于等于0.5，我们现在习惯用集合的形式来表达自变量的取值范围。） （3） 那么在初中定义的基础上，你认为如何表述S与t的对应关系才是精确的？ （初中-对于任一时刻t，这里的任一时刻就有范围了，， 都有唯一确定的路程s,也不是所有的实数，也应该有范围，我们说在数集B1 ） （那经过这样的改动后，我们发现变量s与t的范围都非常精确。 这就使得初中的两个变量之间的对应关系 变量t到s的对应关系，改变成了两个集合之间的对应关系是集合A1到集合B1的对应关系。） 我们如果使用符号语言来表示对应关系就是s=350t，自变量的集合就是，函数值得集合就是。 这个是符号语言的表达。 我们注意这里有三件事情需要明确：首先对应关系，其次是自变量与函数值的集合。 如果使用初中的文字表述，我们应该改写成这样。 问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么： （1） 你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ （如果我们用w表示工资，d表示对应天数，那么w和d的对应关系应该是这样的w=350d） （2） 一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？ （我们怎么使用初中定义来判断它呢？所以w是d的函数） （3） 你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？ （我们回忆一下，刚才学习了两个形式的表示，首先是符号语言，明确对应关系，自变量的集合与函数值的集合， 对应关系是 自变量的集合记为A2，A2从天数1到6中来选取，我们用集合列举法来表示。同样的我们也用列举法6个数值放在B2的大括号中。 语言文字上来看，） 追问：我们发现问题1和2中的函数有相同的对应关系，问题1中s=350T，问题2中w=350d，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ （我们发现他们从对应关系上来说，只是换了一下字母，没有太大区别， 但是我们还需要考虑另外两件事，自变量的取值范围和函数的取值范围；或者说要考虑自变量的集合与函数值的集合，这两者都不一样，所以他们不是同一个函数。） 追问：那么你认为影响函数的要素有哪些呢？ （首先不仅仅要关注对应关系，而且还要关注到自变量的集合、函数值的集合。 这就是影响函数的三个要素，请大家记住它。） 问题3：（一个城市空气质量的好坏可以用空气质量指数来衡量。北京市这些年的空气质量是非常好的，经常能看见蓝天白云，那么前几年的情况如何呢？）如图所示是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）的变化图.（我们的横轴表示的是时间t，纵轴表示的是空气质量的指数AQI，简称I） （1） 那么如何根据该图确定中午12点的空气质量指数（AQI）的值I？　　 （从这个图可以看出，北京市的空气大部分都集中于绿色区域，还是非常优良的，在8点到12点之间出现了轻度污染的状况，空气质量指数的I值是越小越好。要找到中午12点的I值，我们不妨看到横轴上12点的位置，我们可以看出它的I值处于黄色区域） 追问：它的I值是多少，你能读出来吗？（有同学说好像是75，也有人说好像是80，看起来都很有道理，那么我要说点别的值，你是不是也能同意呢？） 追问：这就意味着中午12时的I值是不唯一的吗？（我们现在找I值的方法是用肉眼观察的方法，是看图的方法，这个图就是我们的对应关系，所以会存在误差，但是依然改变不了中午12时I值的唯一性） （2） 你认为这里的I是t的函数吗？（用初中的判断标准，因此I是t的函数，） 追问：如果是，你能仿照前面的方法描述I与t的精确对应关系吗？ 总结：所以我们在描述函数的精确关系时， 我们用哪两种语言来描述？一个是符号语言，一个是文字语言。 我们要关注哪三个要素？对应关系、自变量的集合和函数值的集合。 （从符号语言来看， 它的对应关系是一个图3.1.1，自变量的集合为图中0到24时所有的时间都能取到，我们用集合的描述法来表示它，记为； 函数值的集合是谁呢？从图像上看并没有给出函数值I的最大值和最小值，我们可不可以写成0小于I小于125呢？ 有同学认为这个125是不合适的，那写成0小于I小于130合适吗？也不能。可以看出这个时候函数值的集合根本表示不出来。怎么办？我们不妨取一个数值较大的集合，大到什么时候呢？不妨取0小于I小于150，这样总没错。 那么此时这里函数值得集合不是B3了，B3里面有很多多余的元素，我们把B3叫做函数值所在的集合。那么函数值的集合应该是B3集合的子集。不妨吧函数值得集合记为C3，那么C3是包含于B3的） 下面我们用文字语言来呈现。 下面我们来看最后一个问题 问题4： 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。 （1） 你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？ （从初中定义来解释，所以我们说他们俩构成函数关系） 追问：那么对应关系是谁呢？ （这个地方不太好找了，我们前面见到了解析式的对应关系，见到了图象的对应关系，这个里面是有一个表格来表示对应关系，于是这里的对应关系是表3.1-1，） （2） 如果是，你能仿照前面的说法给出精确的刻画吗？ 我们在描述函数的精确关系时，用两种语言，关注三个要素 （用符号语言刻画，第一个要素是对应关系 为表3.1-1， 第二个要素是自变量的取值构成的集合 不妨将表的所有十个年份以列举法的形式呈现出来 集合A4 第三个要素是函数值，以列举法呈现， 得集合B4 ） 再从文字语言上进行体会： 追问：那么你认为数集B4写成描述法 （我们根据恩格尔系数r的定义可知它确实属于这个范围，如果用列举法写成上述形式，它表示函数值的集合，所有的元素都呈现在其中，如果用描述法它表示函数值所在的集合。前者是后者的子集。） 问题5：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？ （前面的问题中提到了这些关键词，对应关系，自变量的集合，函数值的集合以及函数值所在的集合） 首先我们看对应关系，问题1/2的对应关系是解析式的形式，3是图象的形式，4是表格的形式，不管是哪一种形式，他们都可以统一个符号，叫做对应关系f 自变量的集合A1、A2、A3、A4，我们可以抽象成数集A 函数值所在的集合B1、B2、B3、B4，我们也可以抽象成数集B， 由此我们终于可以得出高中阶段对函数的定义是这样描述的。 新的定义也有新的记法，我们记作 这里函数的定义中有三性：任意性、存在性、唯一性 仅表示与x所对应的函数的一个符号，不表示乘积，f（x）也未必有解析式。 其中x叫自变量，它的取值范围A也有新的名字了，它叫做函数的定义域，与x值相对应的y值依然叫函数值，函数值的集合，这个描述法同学们非常不熟悉，它的描述对象是f（x），描述的语言是x属于定义域A，它叫做函数的值域） 我们还可以这样表示函数的值域 这里，值域为什么不像定义域一样，定义域就是集合A，值域为什么不是集合B呢？ 我们回想刚才在问题3和问题4中谈到的两个概念，函数值的集合和函数值所在的集合是不一样的，值域是函数值的集合，它是函数值所在集合的子集，也就是说值域是集合B的子集。 有了新的定义，我们也有了对函数三要素的新的表达。对应关系我们给了字母f，自变量的取值范围我们叫做定义域，函数值的取值范围我们叫做值域， 【生】先独立思考并写出回答要点，再小组交流，教师收集要点，适当点评。 【生】学生对问题（3）可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范. 【生】学生阅读题目后，自主回答.　 【生】小组交流讨论，有些学生可能认为I不是时间t的函数。 【生】思考后，通过信息技术平台或其它方式对“恩格尔系数r是年份y的函数吗？”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评，从而解决问题（1）. 【生】让学生代表发言，教师给予点评，从而解决问题（2）. 　　学生给出的函数值取值范围可能是表中r的10个值，教师在肯定的基础上进行引导：根据恩格尔系数的定义，r的取值范围是B4={ r|0≤r≤1}，以B4为年份与所对应的r值所在的集合更具有一般性. 【生】充分思考，引导学生重新回顾用集合语言与对应关系刻画函数的过程. 问题（1）是为了让学生回顾初中所学函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题； 问题（2）是要激发认知冲突，发现其中的不严谨； 问题（3）是为了让学生关注到t的变化范围，并尝试用精确的语言表述. 问题（1）是引导学生使用不同方法，例如表格的形式；解析式；等等. 问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，同时训练抽象概括能力. 通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题. 学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的.实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射.为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点. 设计意图：与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生接受之.另外，对于函数值所在的集合B4的合理性，以教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释即可. 让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中，要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点. 初 步 应 用 问题6：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？（请同学们独立完成） 【师】在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习. 练习：请完成教科书中的练习第1题～第3题，　　 例一：你能构建一个问题情境，使其中函数的对应关系为y=x（10-x）吗？ 我们很容易想到可以构建一个长方形，长方形的周长是20，其中的一条边我们记为x，另一条边就是10-x，所以这个时候的y就表示长方形的面积。 从三个要素来解释，定义域是，记为集合A，值域由于是一个二次函数，它的开口向下有一个最大值，因此值域为， 【师】请独立完成教科书练习第4题； 例二： 例三： 问题7：那么现在回到我们初始的问题， 　　刚才啊如果借助初中的定义，我们解释不了这两个函数是为什么。那么学完今天的内容我们可以看出，正方形的周长l与边长x的关系显然不是。他们俩的定义域不一样，值域不一样，仅仅是对应关系一样。也不是相同的函数，只是有相同的对应关系。定义域值域都不一样。 【生】思考并派代表板演。 【生】自主练习，教师对学生的练习进行点评. 用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三个要素. 让学生在完成例1的过程中，进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解. 课 堂 小 结 那么学完了高中的知识，我们进行一个回顾和小结。 （1）与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识？ （初中函数与高中函数都有一个共性，都是在描述x与y的依赖关系，不同之处在于初中是变量与变量之间的对应关系，高中我们改变成集合与集合之间的对应关系。为的是精准的确定两个变量x与y的取值范围，将这个问题的描述更加精确。当然了高中的说法只是在初中的基础上进行一些改进，两者是不矛盾的，具有联系的） （2）什么是函数？其三要素是什么？ （3） 结合函数概念的学习，谈谈如何建立数学概念呢？ （首先我们看具体问题中都有共同的特征，我们用数学概念抽象出来这些共同的特征， 继续要给出这些新的概念的表示，比如函数有新的表示，从而将这些新的概念广泛的运用到各个学科中去， 那么我们刚才所构建的问题情境就是一种概念的运用。） 【生】学生思考后再进行全班交流 引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程、关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解. 布 置 作 业 今天的作业是： 1、教科书习题3.1第1，11，14题. 2、阅读课本 P75 页阅读材料《函数概念的发展历程》，以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会。 分层作业，让不同水平的学生都能得到较好的提升。从阅读材料中了解函数概念的发展史，使学生在数学史的背景中体会函数的价值，有利于数学核心素养的培养。 学科网（北京）股份有限公司 $$